浙江省诸暨市牌头中学人教版高一数学必修一2.3幂函数(练习) 答案和解析
人教A版精编数学必修1练习：第二章 2.3 幂函数 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是( )解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为( )A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( )A ．a a <a bB. b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b 解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a .答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2，∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1，∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1.答案：17．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误．答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________. 解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2.答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；当x ＝1时，f (x )＝g (x )；当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝x 223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3.又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32，故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a )B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a ) D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减． 因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：令f (x )＝x 12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.答案：B 3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0.答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1. ∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313- 5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2，又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12.又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32. 6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。
人教版高一数学必修一2.3幂函数
2．3幂函数班级______________座号_________学生_______________一． 选择题：1.已知，则（ ）A ． B. C. D. 2. 设1{1,1,,3}2α∈-，则使幂函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ）A. 1,3B. -1,1C.-1,3D.-1,1,33. 已知幂函数()a x x f =的图像经过点()2,2，函数g （x ）= log ()a x k +，若0<x 时()0≥x g 无解，则k 的范围是（ ）A.2≥kB.1-≤kC.11≤≤-kD.1≤k4．已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( )A. B.C. D.二．填空题：5. 已知幂函数f (x )＝(m 2－2m －2) 21m m x +-的图像与坐标轴没有交点，则 m ＝__________________．6. 已知函数()()()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ，则满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是_____.7. 若关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5，求实数a 的取值范围4213332,3,25a b c ===b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<22(),()2,()log x f x x g x h x x ===(4,)a ∈+∞()()()f a g a h a >>()()()g a f a h a >>()()()g a h a f a >>()()()f a h a g a >>三．解答题：8．已知函数f（x）＝(a2－3a＋2)x a2－5a＋5(a为常数)，问a为何值时，f（x）（1）是幂函数；（2）是正比例函数；（3）是反比例函数。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x α-2的图象过定点( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )A.f (x )=x -1B.f (x )=x -2C.f (x )=x 3D.f (x )=x 123.下列结论中,正确的是( )A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=x α都是增函数12D.当幂指数α=-1时,幂函数y=x α在其整个定义域上是减函数4.已知当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1 B.α<0C.α<1D.α>1α<1.5.已知a=1.,b=0.,c=,则( )2129-121.1A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b0.,c==1.,9-12=(910)-12=(109)121.1112∵>0,且1.2>>1.1,12109∴1.>1.,即a>b>c.212>(109)121126.如图是幂函数y=x m 与y=x n 在第一象限内的图象,则( )A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m 在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n 在(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n 的图象在y=x -1的图象的下方,故n<-1.故选B .7.若(a+1<(3-2a ,则a 的取值范围是 .)13)13f (x )=的定义域为R ,且为单调递增函数,x 13所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<.23-∞,23)8.已知幂函数f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,并且f (x )在第一象限内是单调递减函数,则m= .x m 2-2m -3f (x )=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称,所以函数f (x )是偶函数,所以m 2-2m-3为偶数,所x m 2-2m -3以m 2-2m 为奇数.又因为f (x )在第一象限内是单调递减函数,故m=1.9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.12x 12x 1210.已知函数y=(a 2-3a+2)(a 为常数),问:x a 2-5a +5(1)当a 为何值时,此函数为幂函数?(2)当a 为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a 为何值时,此函数为反比例函数?.由题意知a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0,解得a=.3±52(2)由题意知解得a=4.{a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0,(3)由题意知解得a=3.{a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0,11.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4.能力提升1.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( )A.-2B.1C.2D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A .(-b 2,1)b 22.函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,若a ,b ∈R ,且xm 2+m -3f (x 1)-f (x2)x 1-x 2a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,x m 2+m -3当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足>0,f (x 1)-f (x 2)x1-x 2函数是单调增函数,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .3.已知幂函数f (x )=mx n 的图象过点(,2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (ln 2),则( )22A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<aD.a<b<cf (x )=mx n 的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )为22{m =1,(2)n =22⇒{m =1,n =3,单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f (ln 2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .4.给出幂函数:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=;⑤f (x )=.其中满足条件f (x 2>x 1>0)x 1x (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2的函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A .5.若幂函数y=(m ,n ∈N *且m ,n 互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 . x m n①m ,n 是奇数且<1;②m是偶数,n 是奇数,且>1;③m 是偶数,n 是奇数,且<1;④m ,n 是偶数,且>1.m n m n m n m n ,函数y=为偶函数,m 为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<1,选③.x mn m n 6.幂函数f (x )=(m 2-3m+3)·在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= . x m 2-2m +1f (x )=(m 2-3m+3)是幂函数,得m 2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f (x )=x 是增函数;当x m 2-2m +1m=1时,f (x )=1是常函数.7.已知函数f (x )=若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .{2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2.,则当0<k<1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.8.已知幂函数f (x )=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.x m 2-4m +2(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ].∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].9.已知幂函数f (x )=x (2-k )(1+k ),k ∈Z ,且f (x )在(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式.(2)若F (x )=2f (x )-4x+3在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.(3)试判断是否存在正数q ,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q 的值;[-4,178]若不存在,请说明理由.由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2.又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2.(2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3.要使函数在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.12(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1.假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g (x )在[-1,2]上的最小值2q -12q 12q 只能在x=-1或x=2处取得,又g (2)=-1≠-4,从而必有g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其对称轴x=∈[-1,2],∴g (x )在[-1,2]上的最大值为g =-2×+3×+1=,符合题34(34)(34)234178意.∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为.[-4,178]。
人教版高中数学必修一《幂函数》综合练习题含答案
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
高一数学上册 第二章初等函数之幂函数知识点及练习题(含答案)
〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．2.3幂函数的图象及性质1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 232．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________． 5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．26．下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －347．已知幂函数的图象y ＝x m2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________ ．11．函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．12．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？13．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．答案1. 解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2.解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3.解析：选C.∵y ＝x 0，可知x≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4.解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x≠01－x≥0，∴x<1.答案：(－∞，1)5 解析：选C.设f(x)＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f(x)＝x －12，所以f(4)＝4－12＝12.6 解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x≥0；C.y ＝x －13＝13x，x≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.7 解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.8 解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．9 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10 解析：设f(x)＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f(x)＝x 1211 解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f(x)＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.12 解：(1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m≠0⇒m ＝1. (2)若f(x)为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m≠0⇒m ＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±213 解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意． ∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．.。
人教新课标版数学高一-必修一练习2.3幂函数
1．下列函数中，是幂函数的为( )A ．y ＝－x 12B ．y ＝3x 2C ．y ＝1xD ．y ＝2x解析：幂函数的形式为y ＝x α，A是y ＝－1×x 12；B 是y ＝3×x 2；D 是指数函数，故A 、B 、D 都不是幂函数.只有C ：y ＝1x＝x －1符合幂函数的定义． 答案：C2．给出四个说法：①当α＝0时，y ＝x α的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x α在第一象限为减函数，则α<0.其中正确的说法个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：显然①错误；②中y ＝x －1的图象不过(0，0)；根据幂函数图象可知，③④正确． 答案：B3．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1，2，3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1，3. 又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.答案：A4．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)x m 2＋2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0.答案：A5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (9)＝________． 解析：设幂函数f (x )＝x α.∵过点⎝⎛⎭⎫2，22，∴2α＝22， ∴α＝－12，∴f (x )＝x 12-， ∴f (9)＝912-＝13. 答案：13 6．已知幂函数f (x )＝x12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 12-＝1x(x >0)，故易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数.又f (a ＋1)<f (10－2a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.答案：(3，5)7．比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5； (2)(－23)－1与(－35)－1； (3)(23)34与(34)23.解：(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5. (2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35， ∴(－23)－1>(－35)－1. (3)∵函数y 1＝(23)x 为减函数， 又34>23，∴(23)23>(23)34. 又∵幂函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23， ∴(34)23>(23)23. ∴(34)23>(23)34. 8．已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x 213m -为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性． 解：由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13,定义域为R ， y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数． 当m ＝1时，y ＝x23-，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为y ＝x 23-＝1x 23＝13x 2,∴函数y ＝x 23-为偶函数．又－23<0，∴y ＝x 23-在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.如图所示，函数的图像大致为（）．A B C D【答案】C【解析】的定义域为,，图像关于轴对称，可排除选项A,B；又因为当时，，所以选C.【考点】函数的图像与性质.2.幂函数的图象经过点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象经过点，则有，解得，所以．【考点】幂函数的解析式与图象．3.已知幂函数的图像过点，则【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以得，因此故.【考点】幂函数的解析式.4. .（填“”或“”）.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，，所以【考点】幂函数的性质5.对于幂函数，若，则，大小关系是（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有成立，故答案选A.【考点】幂函数的单调性点评：本题主要考查幂函数的单调性，幂函数的图象特征，属于中档题．6.三个数，，之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为对于比较大小，先分析各自的大致范围，然后确定大小关系。
由于根据指数函数和幂函数和对数函数的性质可知，，，，那么可知选择C.【考点】本试题主要是考查了幂函数、对数函数与指数函数的单调性，以及值域的应用。
属于基础题。
点评：解决该试题的核心是对于幂值、对数值和指数值范围的判定，先分类，再在各个类里面比较大小，注意常用中间变量0，1来比较大小。
7.设f(x)=,用二分法求方程=0在内近似值的过程中得f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【答案】B【解析】因为f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,所以由函数零点存在定理知，方程的根落在区间（1.25，1.5），选B.【考点】本题主要考查函数零点存在定理。
人教版数学高一A版必修1练习 2.3 幂函数
第二章 2.31．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3解析：函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 答案：B2．函数y ＝x 43 的图象是( )解析：y ＝x 43 为偶函数，图象关于y 轴对称，又43＞1，在第一象限内，图象为下凸递增的．答案：A3．下列命题中，不正确的是( )A ．幂函数y ＝x －1是奇函数B ．幂函数y ＝x 2是偶函数C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数D ．y ＝x 12 既不是奇函数，又不是偶函数解析：∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x，∴A 正确； (－x )2＝x 2，∴B 正确；－x ＝x 不恒成立，∴C 不正确；y ＝x 12 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D 正确．故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.答案：－25．幂函数f (x )＝x α的图象过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． 解析：由题设知f (3)＝9，即3α＝9，∴α＝2.∴f (x )＝x 2，其增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)．问：(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？解：(1)根据幂函数的定义，得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，解得a ＝3±52. (2)根据正比例函数的定义，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0， 解得a ＝4.。
人教版数学高一必修1人教A版练习 2.3幂函数
A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x ＝4x ，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征． 答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2 D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)，可得4α＝2，即22α＝2，所以2α＝1，α＝12， 即f (x )＝x 12.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22. 答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a 解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c . 答案：B二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ， 所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数．所以m ＝1.答案：18．若f (x )＝x α是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f （4）f （2）＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13. 答案：13三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？(2)f (x )是正比例函数？(3)f (x )是反比例函数？(4)f (x )是二次函数？解：(1)因为f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45. (3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0， 故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，所以α＝12，所以f (x )＝x 12. (2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0<x ≤100.所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2 D ．无法确定 解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22. 因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2. 答案：A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x 为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 3．已知幂函数f (x )＝x 1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，所以m 与m ＋1必定有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0.所以m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. 故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2.若上述函数是幂函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】形如的函数，是幂函数。
所以幂函数有，共两个，故选C。
【考点】本题主要考查幂函数的概念。
点评：简单题，形如的函数，是幂函数。
3.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
4.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
5.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点，所以，解得，所以在第一象限单调递减.因为，所以，所以.【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增.6.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数是幂函数，则即。
2018版人教A版浙江专版必修一课后作业：第二章 基本初
学习目标 1.理解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数.梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图.2.五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征思考 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质.答案 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0<x <1时，x 5＝x 3·x 2<x 3，当x >1时，x 5＝x 3·x 2>x 3，结合两函数性质，可得图象如下：梳理 一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.类型一 幂函数的概念 例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数.跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 B解析 因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数. 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x ).解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x ). 引申探究若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象.解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 注意本题中对f (x )＞g (x )，f (x )＝g (x )的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于( ) A.1B.2C.3D.无法确定答案 A解析 由条件知，M (13，23)、N (23，13)，∴13＝(23)α，23＝(13)β， ∴(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小 例3 设a ＝2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2325⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >a D.c >b >a答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴2323⎛⎫ ⎪⎝⎭<1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴2323⎛⎫⎪⎝⎭>2325⎛⎫⎪⎝⎭，即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与()250.3. 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数. 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35.∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>250.3.② 由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>250.3.命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31m a -+<()332m a --的a 的取值范围.解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()()1133132a a ---<-.因为y ＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是{a |a <－1或23<a <32}.反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21mmx +(m ∈N *).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围. 解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数. 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数. (2)∵2＝122＝212m m+，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ∴f (x )＝12x ，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数. ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.1.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2.已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值等于( ) A.16 B.116 C.2 D.12答案 D3.设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A.1,3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3答案 A4.下列是y ＝23x 的图象的是( )答案 B5.以下结论正确的是( )A.当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 答案 D1.幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.3.在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.课时作业一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a ，故选C.4．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.6．若α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 ∵幂函数y ＝x α是奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增， ∴α＝13，1,3.故选A.7．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝13x y ＝12x-在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3答案 D解析 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝13x 在第一象限内的图象为C 2，y ＝12x -在第一象限内的图象为C 3，故选D.二、填空题8．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)答案 > 解析 ∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.9．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x 2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．10．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是__________________．答案f(x)＝x－1解析∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1<m<1.∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.11．已知x2>13x，则x的取值范围是________________．答案(－∞，0)∪(1，＋∞)解析作出函数y＝x2和y＝13x的图象(如图所示)．由图象易知x<0或x>1.12．已知函数f(x)＝13ax-在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________. 答案 3解析取值验证．当α＝1时，y＝x0，不满足；当α＝2时，y＝13x-，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，∴在(－∞，0)上也是减函数，不满足；当α＝3时，y＝23x-满足题意．13．已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：①0<b<a<1；②－1<a<b<0；③1<a<b；④－1<b<a<0；⑤a＝b.其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号) 答案①③⑤解析首先画出y1＝12x与y2＝13x的图象(如图)，已知12a＝13b＝m，作直线y＝m.若m＝0或1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.从图象知，成立的是①③⑤.三、解答题14．已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，求m 的值． 解 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53. 又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1.15．已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)由于幂函数f (x )＝xm 2－2m －3在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )＝a ·x －4＋(a －2)x . 当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )， 所以F (x )＝2x 4是偶函数； 当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝a x 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数． 16．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，∴α＝12，∴f (x )＝12x . (2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g(x)的定义域为(0,100]，又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．。
【金版教程】人教版高中数学必修一练习：2.3.2幂函数的应用(含答案解析)
一、选择题1．下列幂函数中，定义域不是R 的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x12C ．y ＝x35D ．y ＝x 43答案 B解析 B 中y ＝x12 ＝x ，定义域为{x|x≥0}．A 中y ＝x ，C 中y ＝x35 ＝5x 3，D 中y＝x 43 ＝3x 4，定义域均为R.2．[2015·襄阳四校高一期中]设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α组成的集合为( )A ．{－1,1}B ．{1,3} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，3D ．{－1,3}答案 B解析 满足定义域为R 的有1，3；满足奇函数的有－1，1,3.选B.3．[2015·哈尔滨高一检测]已知f(x)＝x 2015－ax －7，f(－3)＝10，则f(3)的值为( )A ．3B ．17C ．－10D ．－24答案 D解析 f(－3)＋f(3)＝(－3)2015＋a 3－7＋32015－a3－7＝－14，∵f(－3)＝10，∴f(3)＝－24.4．下列不等式在a<b<0的条件下不能成立的是( )A ．a －1>b －1B ．a 13 <b 13C ．b 2<a 2D ．a － 23 >b － 23答案 D解析 分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13 ，y ＝x 2，y ＝x －23 ，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，而y ＝x 13 ，y ＝x －23为(－∞，0)上的增函数，从而D 不成立．5．[2016·荆门高一检测]函数y ＝|x| 9n(n ∈N ，n>9)的图象可能是()答案 C解析 ∵n ∈N 且n>9，∴0<9n<1，∴y ＝|x|9n在(0，＋∞)上单调递增且增的比较慢．又∵y ＝|x| 9n是偶函数，∴选C. 二、填空题6．[2015·深圳高一检测]若y ＝ax a2－12是幂函数，则该函数的值域是________．答案 [0，＋∞) 解析 ∵y ＝axa 2－12为幂函数，∴a ＝1，∴y ＝x12＝x ，∴值域为y≥0.7．比较大小(填“>”或“<”)： (1)⎝⎛⎭⎫250.5________⎝⎛⎭⎫130.5； (2)(－π)3________(－3)3. 答案 (1)> (2)<解析 (1)幂函数y ＝x12 在区间[0，＋∞)上是增函数，又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)幂函数y ＝x 3在区间(－∞，＋∞)上是增函数，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3. 8．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13解析 设f(x)＝x α， 则＝4α2α＝2α＝3，∴α＝log 23，即f(x)＝x log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13. 三、解答题9.已知函数y ＝x23.(1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限内的图象如右图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间． 解 (1)y ＝x 23 ＝3x 2，定义域为实数集R. (2)设y ＝f(x)，因为f(－x)＝3－2＝3x 2＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．(3)因为函数为偶函数，则作出它在第一象限内的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝x 23的图象，如图所示．根据图象易知：函数y ＝x 23在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数． 10．[2016·广州高一检测]幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g(x)的图象上，(1)求f(x)，g(x)的解析式．(2)x 为何值时f(x)>g(x)，x 为何值时f(x)<g(x)?解 (1)设f(x)＝x α，则(2)α＝2，所以α＝2，所以f(x)＝x 2.设g(x)＝x β，则(－2)β＝14，所以β＝－2，所以g(x)＝x －2(x≠0)．(2)从图象可知，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．。
高中数学 2.3幂函数检测题(含解析)新人教版必修1-新人教版高一必修1数学试题
2.3 幂函数一、填空题1.在函数222123y y x y x x y x x=,=,=+,=中,幂函数的个数为_______个. 解析显然,根据幂函数定义可知,只有21y x=是幂函数. 答案 12. 在幂函数y ＝x 4，y ＝x 14，y ＝x －3，y ＝x －12，y ＝x －2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．解析 由幂函数的性质容易得出答案.答案 y ＝x －3y ＝x 4；y ＝x －2y ＝x 14；y ＝x －123.设a =0.1270b ,=.128c ,=log 30.7,则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析∵幂函数12y x =在(0),+∞上是增函数,∴0<a <b .∵log 30.7<0,∴c <a <b .答案 c <a <b4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12.∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 325．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．解析 当α＝1,3时，y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y ＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，不符合要求；当α＝12时，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．答案 1,36．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析 设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝(2)m 得m ＝2，由14＝(－2)n ，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝22＋(－1)－2＝5.答案 57.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为________．解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3，又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.∵m 2－2m －3为偶数，经验证m ＝1符合题意．答案 18.已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案 ±19．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析 命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.答案 ①④⑤10 .若1122(1)(32)a a --+<-,则a 的取值X 围是. 解析令12()f x x -=,则f (x )在(0),+∞上是减函数,故得10320132a a a a +>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩解得3232a <<. 答案32()32, 11．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n ＞0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是________．解析幂函数y ＝x n ，当n <0时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．答案 ②⑤12.若函数f (x )=1212020(3)0x x x x x -⎧,>,⎪⎪-,=,⎨⎪⎪+,<,⎩则f (f (f (0)))=.解析f (f (f (0)))=f (f (-2))=f (12(23)-+)12(1)11f -===.答案113．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 二、解答题14．幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，某某数m 的值．解析因为函数是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，∴m 2－3m ＋2＝0，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1或m ＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m ＝1或m ＝2.15.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,某某数m 的取值X 围.解析:令2()21f x mx mx =++,当m >0时,f (1)=3m +1<0,即13m <-,舍去. 当m <0时,3m +1>0,即13m >-. ∴103m -<<. 16．已知函数y ＝415－2x －x 2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间．解析 这是复合函数问题，利用换元法．令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t .(1)由15－2x －x 2≥0，得－5≤x ≤3，故函数的定义域为[－5,3]，∴t ＝16－(x ＋1)2∈[0,16]，∴函数的值域为[0,2]．(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x ＝－1，∴x ∈[－5，－1]时，t 随x 的增大而增大；x ∈(－1,3]时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈[0,16]时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝415－2x －x 2的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．17.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值X 围是. 解析当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当20a -≠时,2204(2)16(2)0a a a -<,⎧⎨∆=-+-<,⎩解之得-2<a <2.∴a 的取值X 围是22a -<≤.18．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意． ②当a 2＞1时，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103.③当a 2＜0时，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. 综上，f (x )在区间[0,1]上的最大值为2时a ＝103或－6.。
高中数学必修1单元配套练习试题2.3 幂函数及参考答案
2.3 幂函数姓名:___________班级:______________________1.下列函数中是幂函数的是( )①y＝−x 2;②y＝2x ;③y＝x π;④y＝(x −1)3;⑤y＝1x 2;⑥y＝x 2＋1x .A.①③⑤B.①②⑤C.③⑤ D .只有⑤ 2.幂函数f(x)的图象过点(4,12),那么f(8)的值为( )A.24 B.64 C.2 2 D. 1643.函数f(x)＝(m 2−m −1)1m x-+是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m 的取值集合是( ) A.{m|m ＝−1或m ＝2} B.{m|−1＜m ＜2} C.{2} D.{−1} 4.下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是( ) A. y ＝12x B. y ＝4xC. y ＝2x-D. y ＝13x5.函数f(x)＝1nx x a-+(n∈Z ,a ＞0且a≠1)的图象必过定点( )A.(1,1)B.(1,2)C.( −1,0)D.( −1,1) 6.下列命题中正确的是( )A.当α＝0时,函数y ＝x α的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点C.幂函数y ＝x 0的定义域是RD.幂函数的图象不可能在第四象限7.设α∈{−2,−1,−12,13,12,1,2,3},则使f(x)＝x α为奇函数,且在(0,+∞)上递增的α的个数是( )A.1B.2C.3D.4 8.在同一坐标系内,函数y ＝x a(a≠0)和y ＝ax −1a的图象可能是( )9.比较下列各组数的大小:(1)25.1-与25.09-的大小关系是______;(2)232-⎛- ⎝⎭,23107⎛⎫-⎪⎝⎭,431.1-的大小关系是______.10.已知幂函数f(x)＝12x-,若f(a+1)＜f(10−2a),则实数a 的取值范围是________.11.已知实数a 、b 满足等式1132a b =,下列五个关系式:①0＜b ＜a ＜1;②−1＜a ＜b ＜0; ③1＜a ＜b;④−1＜b ＜a ＜0;⑤a＝b. 其中可能成立的式子有________.12.已知函数f(x)＝mx −2x 且f(4)＝72. (1)求m 的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.13.已知点)2在幂函数f(x)的图象上,点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数g(x)的图象上,问当x 为何值时,(1)f(x)＞g(x);(2)f(x)＝g(x);(3)f(x)＜g(x).14.已知幂函数f(x)＝223m m x--+,其中−2＜m ＜2,m∈Z ,满足:(1)f(x)是区间(0,+∞)上的增函数;(2)对任意的x∈R ,都有f(−x) +f(x)＝0.求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域.参考答案1.C【解析】y ＝−x 2的系数是−1而不是1,故不是幂函数;y ＝2x 是指数函数;y ＝(x −1)3的底数是x −1而不是x,故不是幂函数;y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式,也不是幂函数.y ＝1x 2＝x −2和y＝x π具有幂函数y ＝x α的形式,所以选C.考点:幂函数的概念. 2.A【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α,依题意得,12＝4α,即22α＝2−1,∴α＝−12.∴幂函数的解析式为y ＝12x -,∴f(8)＝128-＝18＝122＝24, 故选A. 考点:幂函数的概念.3.C【解析】由条件知211,10,m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得m ＝2.考点:幂函数的概念. 4.B【解析】函数y ＝12x ,y ＝13x 不是偶函数,函数y ＝2x -是偶函数,但其图象不过点(0,0).函数 y ＝4x 的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选B. 考点:幂函数的简单性质. 5.B【解析】因为f(1)＝111na-+＝1+1＝2,所以f(x)＝1n x x a-+(n∈Z ,a ＞0且a≠1)的图象必过定点(1,2),故选B.考点:幂函数的图象及应用. 6.D【解析】当α＝0时,函数y ＝x α的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象不是直线,故A 和C 不 正确;当α＜0时,函数y ＝x α的图象不过(0,0)点,故B 不正确;当x ＞0,α∈R 时,y ＝x α＞0,则幂函数的图象都不在第四象限,故D 正确. 考点:幂函数的图象. 7.C【解析】f(x)为奇函数,则α＝−1,13,1,3,f(x)在(0,+∞)上递增,则α＝13,1,3,故选C.考点:幂函数的基本性质. 8.C【解析】当a ＜0时,函数y ＝ax −1a 是减函数,且在y 轴上的截距−1a＞0,结合图象排除A,C,D,又y ＝x a在(0,+∞)上是减函数,∴B 项也不正确.当a ＞0时,y ＝ax −1a 是增函数,−1a＜0,结合图象排除B,D 选项,当a ＞0时,y ＝x a在(0,+∞)上是增函数,故A 项不正确,故选C.考点:幂函数的单调性与奇偶性综合. 9.(1) 225.1 5.09--<(2)22433310 1.172--⎛⎛⎫->-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】 1)∵2y x -=在(0,+∞)上为减函数,且5.1＞5.09,∴225.1 5.09--<.(2))22332-⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭,2233101077⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵23y x =在(0,+∞)上为增函数,且1017>>,∴22331017⎛⎫>> ⎪⎝⎭.又44331.1=11--<,∴22433310 1.172--⎛⎛⎫->-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭.考点:幂函数比较大小. 10.(3,5) 【解析】f(x)＝12x-＝1x(x ＞0),易知f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(a+1)＜f(10−2a),∴10,1020,1102,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得1,5,3,a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩∴3＜a ＜5. 考点:幂函数的单调性. 11.①③⑤【解析】首先画出y ＝12x 与y ＝13x 的图象(如图所示),设1132a b m ==,作直线y ＝m.如果 m ＝0或1,则a ＝b;如果0＜m ＜1,则0＜b ＜a ＜1;如果m ＞1,则1＜a ＜b.从图象看一目了然,故可能成立的是①③⑤.考点:幂函数的图象及单调性. 12. (1)1(2)奇函数(3)略【解析】(1)因为f(4)＝72,所以274=42m -,所以m ＝1. (2)由(1)知f(x)＝2x x-,因为f(x)的定义域为{x|x≠0}, ()()22==f x x x f x x x ⎛⎫-=----- ⎪-⎝⎭,所以f(x)是奇函数. (3) f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下: 设120x x >>,则()()()1212121212222=1=f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎝⎭⎝-⎪⎭. 因为120x x >>,所以120x x ->,12210x x +>,所以()()12f x f x >, 所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 【考点】幂函数的单调性与奇偶性综合. 13.略【解析】设f(x)＝x α,由题意得2＝α⇒α＝2,∴f(x)＝x 2.同理可求出()2g x x -=,在同一坐标系内作出y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象,如图所示.由图象可知:(1)当x ＞1或x ＜−1时,f(x)＞g(x). (2)当x ＝±1时,f(x)＝g(x).(3)当−1＜x ＜0或0＜x ＜1时,f(x)＜g(x). 考点:幂函数的图象. 14.略【解析】因为−2＜m ＜2,m∈Z ,所以m ＝−1,0,1.因为对任意的x∈R ,都有f(−x) +f(x)＝0,即f(−x)＝−f(x),所以f(x)是奇函数.当m ＝−1时,f(x)＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2);当m ＝1时,f(x)＝x 0,条件(1)、(2)都不满足;当m ＝0时,f(x)＝x 3,条件(1)、(2)都满足,当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0, 27]. 考点:幂函数的单调性与奇偶性.。
高一数学人教A版必修1课后训练：2.3 幂函数 Word版含解析
课后训练基础巩固1．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α＞0B ．α＜0 C ．α＝0D ．不能确定2．下列函数是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．13y x =B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －23．已知幂函数f (x )满足f =⎝⎭f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x －3B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝3x4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝15．幂函数的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)6．函数43y x =的图象是( )7．23112T ⎛⎫=⎪⎝⎭，23215T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13312T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系式正确的是( )A ．T 1＜T 2＜T 3B ．T 3＜T 1＜T 2C ．T 2＜T 3＜T 1D ．T 2＜T 1＜T 38．若249y x αα--=是偶函数，并且在(0，＋∞)上是减函数，则整数α＝__________． 9．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是__________．10．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．11．求下列函数的定义域： (1)1132(32)(23) y x x -=-+-；(2)1212x y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭． 12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，(1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数； (4)f (x )是幂函数． 能力提升13．如图所示，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，12±四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，12-，12，2 B ．2，12，12-，－2C ．12-，－2,2，12D ．2，12，－2，12-14．三个数a ＝30.7，b ＝0.73，c ＝log 30.7的大小顺序为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a15．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x＞12x ＞lg x B ．2x＞lg x ＞12x C ．12x ＞2x ＞lg x D ．lg x ＞12x ＞2x 16．(压轴题)已知f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+．(1)求证：f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．错题记录参考答案1．A 点拨：当α＞0时，幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数． 2．B 点拨：∵y ＝x 2是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．也可以画图观察，可知选B ．3．A 点拨：设f (x )＝x α，∵由题意知α=⎝⎭132233α-=，∴α＝－3．∴f (x )＝x －3．4．B 点拨：由已知2233120m m m m ⎧-+=⎪⎨--≤⎪⎩，，得m ＝1或m ＝2．5．C 点拨：设幂函数f (x )＝x α，将12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入得α＝－2，所以f (x )＝21x ，易知其单调增区间为(－∞，0)．6．A 点拨：f (－x )＝4433()x x -===＝f (x )，又函数的定义域为R ，故f (x )为偶函数．又43＞1，所以当x ∈(1，＋∞)时，x ＜43x ． 7．D 点拨：构造函数23y x =，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则223311>25⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 2＜T 1；构造函数12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭，此函数在R 上是减函数，则213311<22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 1＜T 3． 故T 2＜T 1＜T 3．8．－1,5,3,1点拨：由函数249y x αα－－＝的图象关于y 轴对称，即f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，可得α2－4α－9＝2k (k 为负整数)．当k ＝－2时，解得α＝5或α＝－1；当k ＝－6时，解得α＝3或α＝1．故α的值为－1,5,3,1．9．[0，＋∞)点拨：∵幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，∴8α＝4，则23α=． ∴23y x ==∴函数y ＝x α的值域是[0，＋∞)． 10．18-点拨：∵函数y ＝x －3＝31x 在(－∞，0)上单调递减，∴当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝311(2)8=--． 11．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足320230.x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x >，即所求函数的定义域为2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭． (2)要使函数有意义，x 的取值需满足12x +-＞0，解得x ＜－1，即所求函数的定义域为(－∞，－1)．12．解：(1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得45m =-，此时m 2－m －1≠0，故45m =-． (2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得25m =-，此时m 2－m －1≠0，故25m =-．(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，解得m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1．(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．13．B 点拨：随着α的增大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为曲线C 1，C 2，C 3，C 4，所以对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，12-，－2． 14．C 点拨：由于a ，b ＞0，c ＜0，故c 最小．又30.7＞0.70.7＞0.73，所以a ＞b ．故a ＞b ＞c ．15．A 点拨：易知当x ∈(0,1)时，2x和12x 的值都大于0，lg x 的值小于0，得lg x 最小． 在同一坐标系中作出函数y ＝2x与y ＝12x 的图象， 如下图所示，由图可知2x＞12x ，故选A ．16．解：(1)证明：函数f (x )的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵f (－x )＝11113333()()55x x x x ------=-＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝11113333112211()()55x x x x -----＝11331211331211()15x x x x ⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝1111111111 3333333333 4422224444555555-------+---⋅⋅=-＝0．同理f(9)－5f(3)g(3)＝0．猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0．证明：∵f(x2)－5f(x)g(x)＝2211112222 3333333333555555x x x x x x x x x x -------+---⋅⋅=-＝0(x≠0)，∴f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立．。
2.3幂函数习题（带答案）-人教版数学高一上必修1第二章
2.3幂函数习题（带答案）-人教版数学高一上必修1第二章第二章基本初等函数（1）2.3 幂函数测试题知识点：幂函数的概念1、下列函数中是幂函数的是( )A.y=B.y=2x-2C.y=x+1D.y=12、下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x23、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )A.y=x+2B.y=C.y=D.y=x34、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③D.②③⑤6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.8、比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=110、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-411、在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-112、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.知识点：常见幂函数的图像和性质14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2D.y=15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-416、幂函数y=x-2的图象大致是( )17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.【参考答案】符合幂函数的定义y=, .是非奇非偶函数,y=得...:=3,==:由题意得解得过点y=a是幂函数y=, y=,y=x,y=在各自定义域上均是增函数在区间,,f(x)±则有=3,f(x)=f==== :。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》练习题及答案
人教新课标数学必修I 2.3事函数练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号 填在题后的括号内（每小题 5分，共50分）.1.下列函数中既是偶函数又是A.B.C.2.1〜2.函数y x 2在区间［万,2］上的最大值是 A.1B. 1C 443 .下列所给出的函数中，是募函数的是A33c 3A y xB. y xC. y 2x44 .函数y x 3的图象是B.募函数的图象都经过（0, 0）和（1, 1）点C.若募函数y x 是奇函数，则 y x 是定义域上的增函数D.募函数的图象不可能出现在第四象限16 .函数y x 3和y x 3图象满足 A.关于原点对称 B .关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x 对称7 .函数y x | x |,x R ,满足A.是奇函数又是减函数 C,是奇函数又是增函数B,是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数8 .函数y Vx 22x 24的单调递减区间是5.下列命题中正确的是 A.当0时函数y x 的图象是一条直线D.()D.4()3.D. y x 1( )B. [ 6, )C. ( ,1]D. [ 1,) A. ( , 6]9.如图1 — 9所示，募函数y x 在第一象限的图象，比较 0, 1, 2, 3, 4,1的大小（11 .函数 的定义域是 .12 .的解析式是.213 . y Xa是偶函数，且在（0,）是减函数，则整数 a 的值是 ^（1）kn工14. 募函数y X m （m, n,k N*, m,n 互质）图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的奇偶性为^三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 （共76分）.15. （ 12分）比较下列各组中两个值大小 (1)16. （12分）已知募函数轴对称，试确 的解析式A. B. C.D.10. 对于募函数f(x) 4X5,若 0 X 1X2,f(X 1 X 2 一 f (X 1)大小关系是X 1 X 2、 A. f(--2)2 f （X 1）f （X 2） B f (X 1 X 2) f(X 1)f(X 2)22C.f （X 1）f （X 2）D.无法确定 、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）317. （ 12分）求证：函数 y x 在R 上为奇函数且为增函数18. （ 12分）下面六个募函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系后，商品卖出个数减少 bx 成，税率是新定价的 a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10,设售货款扣 除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.20. （ 14分）利用募函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）3（1）y x 2； （2）y2⑷ y x ; （5）y12x 3； （3）y x 3；1；（6） y x 219.、CCBAD DCADA4二、11 . ；12 . f (x) X 3(X 0) ; 13 . 5;14. m,k 为奇数，n 是偶数；6解：(1) 函数yx 11在(0,)上是增函数且0 0.6650.71彳 ⑵函数y X 3在(0,)上增函数且0 0.88 0.89555550.8930.88" 0.89§，即 (0.88户 (。
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浙江省诸暨市牌头中学人教版高一数学必修一2.3幂函数（练习）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下四个函数：y=x 0；y=2x -；y=()21x +；132y x =⋅中是幂函数的有 （ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中：①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）； ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=x n 的图象是一条直线； ④当n ＞0时，幂函数y=x n 是增函数；⑤当n ＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x 的值增大而减小． 其中正确的是 （ ） A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤3．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为（ ）A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12D ．.2，12，－2，－124．设p∈1112,1,,,,1,2,3232⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，则使p y x =的图象关于原点对称且通过原点的p 值个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．下列函数中是R 上增函数的是（ ） A ．1y x -= B ．2yxC ．35y x =D ．2yx6．已知53()8af x x bx x=++-，且f （-2）=10，则f （2）= （ ） A ．-26 B ．-18C ．-10D ．10二、填空题7．121.2a =，120.9b -=，121.1c =的大小关系为________．8．当01x <<时，幂函数p y x =的图象在直线y=x 的上方，则p 的取值范围是________。
9．函数()()331f x x =-+的图象的对称中心是________。
10．若123x x >成立，则x 的取值范围是___________．三、解答题 11．已知函数()22pp y x p N --=∈的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求p 的值，并画出图象． 12．已知()23()*m f x xm N -+=∈，且()()35f f <。
求满足()()132m m a a --+<-的实数a 的取值范围。
13．已知函数()()232m m f x x m Z +-=∈为偶函数，且在()0,∞+上为增函数．（1）求m 的值；（2）若()()()()log 0,1a g x f x ax a a =->≠在[2，3]上为增函数，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】形如(y x αα=为常数）的函数为幂函数，所以只有y=x 0；y=2x -为幂函数.故选B. 2．D 【解析】当1y x -=时，不过(0,0)点，①错误；当0x >时，0y >，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对 当0n =时，ny x =中0x ≠，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；2y x =在(−∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错．幂函数ny x =，当n 0<时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．⑤对 故选D. 3．B 【分析】在图象中，作出直线1x m =>，根据直线x m =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α应是从大到小排列．【详解】在图象中，作出直线1x m =>，直线x m =和曲线的交点依次为,,,A B C D ,所以A B C D y y y y >>>，所以C A B D m m m m αααα>>>， 所以A B C D αααα>>>，所以可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为 2，12，－12，－2 故选：B 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．C 【解析】p y x =的图象关于原点对称，即函数为奇函数，所以排除122--，，12，2. 函数通过原点，所以0p >,排除122--，，1-. 所以p 的可能值为1,1,33. 故选C. 5．C 【解析】A.1y x -=在(),0∞-和()0,∞+单调递减；B.2 y x =在(),0∞-单减，在()0,∞+单调递增；C.35 y x ==R 上单增；D.221y x x-==,偶函数，在(),0∞-单增，在()0,∞+单调递减. 故选C.点睛：对于形如n my x =的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为y ，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论. 6．A 【解析】()538a f x x bx x=++-,()()()()538a f x x b x x -=-++---. ()() 16f x f x +-=-.()210f -=,所以()()216226f f =---=-.故选A.点睛：本题主要考查函数的中心对称性，由()()2f x f x m +-=，知函数()f x 关于()0,?m 中心对称；由()()2f x a f a x m ++-=, 知函数()f x 关于()n,?m 中心对称. 7．1211221.20.91.1a b c -=>=>=【解析】121.2a =，1122100.9()9b -==，121.1c =.令()12f x x=，函数在()0,∞+单调递增，所以()()101.1 1.29f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1112221.20.9 1.1a b c -=>=>=. 8．1p < 【解析】当01x <<时,幂函数py x =的图象都在直线y =x 的上方， 则此时p x x >， ∵01x <<，∴1p <， 9．（3，1） 【解析】易知函数()3g x x =为奇函数，即函数关于原点对称，()() 31f x g x =-+，即将()g x 的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到()f x .所以函数()()331f x x =-+的图象的对称中心是（3，1）.点睛：本题主要考查函数的中心对称性，由()()2f x f x m +-=，知函数()f x 关于()0,?m 中心对称；由()()2f x a f a x m ++-=, 知函数()f x 关于()n,?m 中心对称,也可以通过奇函数平移得到对称中心. 10．()(),01,-∞⋃+∞【详解】如图所示，分别画出函数2yx 与13y x =的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），由图象可知不等式123x x >的解集为()(),01,-∞⋃+∞. 11．p=0，1或2 【解析】 已知函数()22p p y x p N --=∈的图象与x 、y 轴都无公共点可知：22p p --≤0，即12p -≤≤. 因为p N ∈，所以p 的可能取值为0、1、2. 因为函数()22pp y x p N --=∈的图象关于y 轴对称，所以22p p --为偶数， 故p =0、1p =都不符合题意. 所以p =0或1p =.当p =2时，有0y x =，其图象如图（1）. 当p =0或1p =时，2y x -=，其图象如图（2）.12．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：根据幂函数单调性可以确定指数230m -+>，进而根据参数为非负整数，即可确定指数，进而利用函数1y x=的单调性解不等式即可. 试题解析：()()23*m f x x m N -+=∈是幂函数，且()()35f f <所以230m -+>,解得32m <，又*m N ∈，所以1m =. ()()132mma a --+<-即为()()1111132132a a a a--+<-⇒<+-. 10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得：1a <-或2332a <<. 答案为：()23,1,32⎛⎫-∞-⋃⎪⎝⎭. 13．（1）1m =；（2）12a << 【详解】试题分析：（1）根据幂函数的性质，在()0,∞+上为增函数，则指数大于0，结合参数为整数，检验奇偶性即可；（2）根据符合函数“同增异减”的原则求参即可，注意定义域保证真数部分大于0. 试题解析：（1）1m =；（2）12a <<（1）函数()232m m f x x +-=是幂函数，且在()0,∞+上为增函数，所以2320m m +->.得：31m 2-<<.又m Z ∈，所以01m =，. 又函数()()232m mf x x m Z +-=∈为偶函数，当0m =时，()3f x x =，不成立；当1m =时，()2f x x =，成立.所以1m =.（2）()()()()()2log log ,0,1a a g x f x ax x ax a a =-=->≠.()()2log a g x x ax =-由log a y u =和2u x ax =-复合而成当01a <<时log a y u =减函数,故2u x ax =-在[2，3]为减函数，故不满足条件． 当1a >时，log a y u =增函数，故2u x ax =-在[2，3]为增函数，只需：222220aa ⎧≤⎪⎨⎪->⎩求得12a <<.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.同时，在解决复合函数问题时要注意定义域.。