大学物理：2气体动理论
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互作用力。 （4）分子间、分子与器壁间的碰撞—弹性碰撞
4
2、关于分子集体运动的统计假设 （1）通过碰撞分子速度不断变化
（2）无外场时，平衡态分子按位置均匀分布
n
dN dV
N V
（3）平衡态分子速度取向各方向等概率
vx vy vz 0
v
2
x
v
2
y
vz2
1 3
v
2
5
二、理想气体压强公式的推导
平衡态 忽略重力 分子看成质点
kT。
13
一、气体分子的自由度（degree of freedom） 力学对自由度的定义：确定物体空间位置的
独立坐标的数目。
这里，只考虑那些对能量有贡献的自由度。
分子能量表达式中平方项的数目与自由度有关。
1、单原子分子（如 He，Ne）
质点，只有平动自由度 t 3 , (x, y, z)
能量表达式中包括 3 个平方项。
热学
Heat
第2章 气体动理论
2005年秋季学期 编
目 录 △：自学 §2.1理想气体的压强
【演示】气体压强模拟 §2.2 温度的微观意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律
【演示】伽尔顿板 速率分布
△§2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证 §2.6 玻耳兹曼分布 能量均分定理的证明(补充)
△§2.7 实际气体等温线
2
§2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 △§2.10 输运过程 【演示】空气粘滞（卧式转盘）
3
§2.1 理想气体的压强 【演示】气体压强模拟
一、理想气体的微观假设
1、关于每个分子力学性质的假设
（1）质点 (分子线度<<分子间平均距离) （2）遵从牛顿力学规律 （3）除碰撞瞬间，分子间、分子与器壁间无相
非直对线称型轴分子（如H2O）转动自z 由度为3
1 2
I
H. O .
H.
12I
x
y
1 2
I
r 3, ( , , ) 18
直线型分子（如CO2）转动自由度为2 （3）振动自由度
非直线型分子（如H2O） 由n（>2）个原子组成的分子，一般最多有 3n个自由度，其中3个平动，3个转动，其余为
振动自由度 s 3n 6，例如n=3
I
I i
1 2
Ii tAm
ni
v
2 ix
vix 0
i
i
压强：
P
F A
I tA
m
ni
v
2 ix
7
i
求统计平均值：
P m
nivi2x nm
ni n
v
2 ix
nmv
2 x
i
i
v
2 x
1 3
v
2
P
2 3
n t
t
1 2
mv2
—平动动能的统计平均值
压强（宏观量）与分子平动动能（微观
量）的统计平均值成正比。 8
1 eV 热能相当温度～ 104 K
(kT ~ 1.61019 J , k 1.381023 J/K)
常温（T~300K，能量~10－2eV）：振动能
级难跃迁，对能量变化不起作用。 “冻结”
振动自由度，分子可视为刚性。
本体坐标系
转动 r 2, ( , )
16
振动自由度为1
m1
m2
微振动～简谐振动 ？
动能
1 2
v2
势能
1 2
2
2个平方项
振动自由度s
1，但
s
2s 2
kT
kT
。
双原子分子的平均能量
t
r 2
2s
kT
32 2
21 kT
7 2
kT
17
3、多原子分子 平动 + 转动 + 振动
（1）平动自由度为3
（2）转动自由度
和固体）分子的每一个自由度的平均动能都
相等，而且都等于
1 2
kT。
分子运动总平均能量：
i 2
kT,
i t r 2s
物理解释：分子频繁碰撞，统计地看，能量在
各个自由度上均分。转动？振动？§2.6证明。
21
平动能量连续 转动能级间隔小 振动能级间隔大
102 ~ 104eV
100 ~ 102 eV
分子平均能量： t
t 2
kT
3 2
kT
14
2、双原子分子（如 O2 ，H2 ，CO ） 平动 + 转动 + 振动
刚性分子：平动 + 转动 平动自由度为3
m1
平动 t 3 , (x, y, z) C(x, y, z) 质心
m2
15
转动自由度为2
z
1 2
I
对称轴
m1
I 0
y
C
m2
x
1 2
I
自由度 对能量无贡献
方均根速率：由 1 mv2 3 kT
2
2
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 RT
M
M
11
§2.3 能量均分定理 一个分子的能量，总能写成关于坐标和速度
的平方项之和：
质心平动动能：12
m
(v
2 x
v
2 y
v
2 z
)
绕过质心轴的转动动能：12 I 2
原子间的振动动能：12 v2
－约化质量， v－相对速度。
m－分子质量
N—分子总数
V—体积
n N —分子数密度
ni
V Ni
V
—速度为vi 分子数密度
n ni , N Ni
i
i
6
一个分子对A冲量：
A x
2m vix
t 内所有v i 分子对A冲量：
vi t
Ii (nivix tA)(2m vix )
vix t
2ni m vi2x tA
t 内所有分子对A冲量：
s 336 3
t
r 2
2s
kT
3
3 2
23
kT
6kT 19
直线型分子 s 3n 5
例如CO2 s 3 3 5 4
O=C=O O=C=O
对称伸缩 反对称伸缩
O=C=O O=C=O
面内变形
面外变形
分子的平均能量：
t
r 2
2s
kT
32 2
24
kT
13 kT
2
20
二 、能量均分定理
在温度 T 的平衡态下，物质（气体、液体
如何取小体元 V vix t A ？
宏观小 微观大
宏观小：
A
x 例如 V 109cm3
vi t
vix t
微观大： 标准状态下空气
n 2.7 1019 cm-3 N n V 2.7 1010
涨落0 9
§2.2 温度的微观意义
P
2 3
n t
（统计力学）
P nkT （热力学）
t
3 2
kT
热力学温度是分子平均平动动能的量度。
下面会看到，分子热运动的平均转动和平 均振动动能，也都和温度有关。
温度反映了物体内部分子无规则运动的激 烈程度。
10
（1）温度描述热力学系统的平衡态
（2）温度是一个统计概念，描述大量分子的 集体状态。
（3）温度所反映的运动，是在质心系中表现 的分子的无规则运动（热运动）。
振动包
原子间的振动势能：1
2
2
括二个 平方项
－等效劲度系数， －键长的变化。
12
在温度 T 的平衡态下，一个分子的能量的 统计平均值是多少？
对于平动动能，已经知道
1 2
mv
2
1 2
kT
,
x, y, z
一般地，后面将证明：
在温度 T 的平衡态下，分子能量表达式中
任何一个平方项的统计平均值都等于
1 2
4
2、关于分子集体运动的统计假设 （1）通过碰撞分子速度不断变化
（2）无外场时，平衡态分子按位置均匀分布
n
dN dV
N V
（3）平衡态分子速度取向各方向等概率
vx vy vz 0
v
2
x
v
2
y
vz2
1 3
v
2
5
二、理想气体压强公式的推导
平衡态 忽略重力 分子看成质点
kT。
13
一、气体分子的自由度（degree of freedom） 力学对自由度的定义：确定物体空间位置的
独立坐标的数目。
这里，只考虑那些对能量有贡献的自由度。
分子能量表达式中平方项的数目与自由度有关。
1、单原子分子（如 He，Ne）
质点，只有平动自由度 t 3 , (x, y, z)
能量表达式中包括 3 个平方项。
热学
Heat
第2章 气体动理论
2005年秋季学期 编
目 录 △：自学 §2.1理想气体的压强
【演示】气体压强模拟 §2.2 温度的微观意义 §2.3 能量均分定理 §2.4 麦克斯韦速率分布律
【演示】伽尔顿板 速率分布
△§2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证 §2.6 玻耳兹曼分布 能量均分定理的证明(补充)
△§2.7 实际气体等温线
2
§2.8 范德瓦耳斯方程 §2.9 气体分子的平均自由程 △§2.10 输运过程 【演示】空气粘滞（卧式转盘）
3
§2.1 理想气体的压强 【演示】气体压强模拟
一、理想气体的微观假设
1、关于每个分子力学性质的假设
（1）质点 (分子线度<<分子间平均距离) （2）遵从牛顿力学规律 （3）除碰撞瞬间，分子间、分子与器壁间无相
非直对线称型轴分子（如H2O）转动自z 由度为3
1 2
I
H. O .
H.
12I
x
y
1 2
I
r 3, ( , , ) 18
直线型分子（如CO2）转动自由度为2 （3）振动自由度
非直线型分子（如H2O） 由n（>2）个原子组成的分子，一般最多有 3n个自由度，其中3个平动，3个转动，其余为
振动自由度 s 3n 6，例如n=3
I
I i
1 2
Ii tAm
ni
v
2 ix
vix 0
i
i
压强：
P
F A
I tA
m
ni
v
2 ix
7
i
求统计平均值：
P m
nivi2x nm
ni n
v
2 ix
nmv
2 x
i
i
v
2 x
1 3
v
2
P
2 3
n t
t
1 2
mv2
—平动动能的统计平均值
压强（宏观量）与分子平动动能（微观
量）的统计平均值成正比。 8
1 eV 热能相当温度～ 104 K
(kT ~ 1.61019 J , k 1.381023 J/K)
常温（T~300K，能量~10－2eV）：振动能
级难跃迁，对能量变化不起作用。 “冻结”
振动自由度，分子可视为刚性。
本体坐标系
转动 r 2, ( , )
16
振动自由度为1
m1
m2
微振动～简谐振动 ？
动能
1 2
v2
势能
1 2
2
2个平方项
振动自由度s
1，但
s
2s 2
kT
kT
。
双原子分子的平均能量
t
r 2
2s
kT
32 2
21 kT
7 2
kT
17
3、多原子分子 平动 + 转动 + 振动
（1）平动自由度为3
（2）转动自由度
和固体）分子的每一个自由度的平均动能都
相等，而且都等于
1 2
kT。
分子运动总平均能量：
i 2
kT,
i t r 2s
物理解释：分子频繁碰撞，统计地看，能量在
各个自由度上均分。转动？振动？§2.6证明。
21
平动能量连续 转动能级间隔小 振动能级间隔大
102 ~ 104eV
100 ~ 102 eV
分子平均能量： t
t 2
kT
3 2
kT
14
2、双原子分子（如 O2 ，H2 ，CO ） 平动 + 转动 + 振动
刚性分子：平动 + 转动 平动自由度为3
m1
平动 t 3 , (x, y, z) C(x, y, z) 质心
m2
15
转动自由度为2
z
1 2
I
对称轴
m1
I 0
y
C
m2
x
1 2
I
自由度 对能量无贡献
方均根速率：由 1 mv2 3 kT
2
2
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 RT
M
M
11
§2.3 能量均分定理 一个分子的能量，总能写成关于坐标和速度
的平方项之和：
质心平动动能：12
m
(v
2 x
v
2 y
v
2 z
)
绕过质心轴的转动动能：12 I 2
原子间的振动动能：12 v2
－约化质量， v－相对速度。
m－分子质量
N—分子总数
V—体积
n N —分子数密度
ni
V Ni
V
—速度为vi 分子数密度
n ni , N Ni
i
i
6
一个分子对A冲量：
A x
2m vix
t 内所有v i 分子对A冲量：
vi t
Ii (nivix tA)(2m vix )
vix t
2ni m vi2x tA
t 内所有分子对A冲量：
s 336 3
t
r 2
2s
kT
3
3 2
23
kT
6kT 19
直线型分子 s 3n 5
例如CO2 s 3 3 5 4
O=C=O O=C=O
对称伸缩 反对称伸缩
O=C=O O=C=O
面内变形
面外变形
分子的平均能量：
t
r 2
2s
kT
32 2
24
kT
13 kT
2
20
二 、能量均分定理
在温度 T 的平衡态下，物质（气体、液体
如何取小体元 V vix t A ？
宏观小 微观大
宏观小：
A
x 例如 V 109cm3
vi t
vix t
微观大： 标准状态下空气
n 2.7 1019 cm-3 N n V 2.7 1010
涨落0 9
§2.2 温度的微观意义
P
2 3
n t
（统计力学）
P nkT （热力学）
t
3 2
kT
热力学温度是分子平均平动动能的量度。
下面会看到，分子热运动的平均转动和平 均振动动能，也都和温度有关。
温度反映了物体内部分子无规则运动的激 烈程度。
10
（1）温度描述热力学系统的平衡态
（2）温度是一个统计概念，描述大量分子的 集体状态。
（3）温度所反映的运动，是在质心系中表现 的分子的无规则运动（热运动）。
振动包
原子间的振动势能：1
2
2
括二个 平方项
－等效劲度系数， －键长的变化。
12
在温度 T 的平衡态下，一个分子的能量的 统计平均值是多少？
对于平动动能，已经知道
1 2
mv
2
1 2
kT
,
x, y, z
一般地，后面将证明：
在温度 T 的平衡态下，分子能量表达式中
任何一个平方项的统计平均值都等于
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