(整理)14-5线段的最大值与最小值的解题策略.

14-5线段最大值与最小值的解题思路

回顾：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短 一、两点之间线段最短、垂线段最短

线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

例1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，

()

0,43C ，延长AC 到点D,使CD=

1

2

AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y

轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径： 简化图形→转化题意→由果索因→画图说理 课堂练习：1如图，在△ABC 中，AC=BC=2，

∠ACB=90。，D 是BC 边的中点，

E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是________

2在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，

BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别

是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是__

看数据的特殊性，30° P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍． P 点在GH 上运动速度等于它在直线GA 上运动速度．

求GH+GA 的最小值．

D

C B

A A

B

C D

A B C

D

例2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，∠DCB 的平分线CE 交DB 于点E ，若点P,Q 分别是CD 和CE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（ ） A.2 B. 22 C.4 D. 24 已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

图1 图2 图3

二、三角形两边之和大于第三边

求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。 例1.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =

1

2

. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；

（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD

中点，求线段CF 长度的最大值．

B C

A D E F

B D E A F

C B A C 1图2图备图

课堂练习

（西城8）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C

分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 A ． 222+ B ．52 C 。 62 D ． 6 三、线段差的问题

已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求max

PB

PA -。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，max

PB

PA AB -=。

先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分） 【材料一】：如图⑴，直线l 上有1A 、2A 两个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 的距离之和最小，很明显点P 的位置可取在1A 和2A 之间的任何地方，此时距离之和为1A 到2A 的距离.

如图⑵，直线l 上依次有1A 、2A 、3A 三个点，若在直线l 上要确定一点P ，且使点P 到点1A 、2A 、3A 的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点2A 处，此时距离之和为

1A 到3A 的距离. (想一想，这是为什么？)

不难知道，如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 四个点，同样要确定一点P ，使它到

各点的距离之和最小，则点P 应取在点2A 和3A 之间的任何地方；如果直线l 上依次有1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，则相应点P 的位置应取在点3A 的位置.

【材料二】：数轴上任意两点a 、b 之间的距离可以表示为a b -.

【问题一】：若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、25A 共25个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 ；

若已知直线l 上依次有点1A 、2A 、3A 、……、50A 共50个点，要确定一点P ，使它到已知各点的距离之和最小，则点P 的位置应取在 . 【问题二】：现要求112397x x x x x x +++-+-+-+

+-的最小值，

根据问题一的解答思路，可知当x 值为 时，上式有最小值为

. 图⑴ 图⑵

A 3

A 2

l

A 1A 2l

A 1