第六章近独立粒子的最概然分布

考虑到 p 2 2m ,

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V (2m)3/ 2 1/ 2d D( )d d 23 h
其中，D()为单位能量间隔内的可能状态数，即态密度。 上述结果中，未考虑粒子的自旋。若考虑自旋，上述状 态数应乘以2，为什么？
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二、量子描述
1. 全同性原理 全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中 ，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运 动状态。 确定全同、近独立粒子系统微观状态的基本思路： （1）经典粒子系统：确定每个粒子的个体量子态（即每 个粒子的运动状态）； （2）量子系统：确定每一个量子态上的粒子数。 2. 微观粒子类别
§6.2 系统微观运动状态的描述
每个粒子运动状态一般用量子数描述，但由大量微观粒 子组成的宏观系统的微观运动状态又如何描述？ 所谓系统的微观运动状态就是它的力学运动状态。这里 限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统，更普遍的情形放 在系综中讨论。 【全同粒子】 具有完全相同属性(相同的质量、电荷、自旋等等)的同 类粒子。 【近独立粒子】 是指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能 量远小于单个粒子的平均能量，整个系统的能量约为单个粒 子的能量之和。 15
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L nx lx L ny ly L nz lz
n , n , n
x y
z
0, 1, 2,...
2 2 nx kx lx L 2 2 ny k y ly L 2 2 kz nz lz L
者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述
。微观粒子实际上遵从量子力学规律，但在一定的极限条件 下，可以由量子统计得到经典统计的结果。因此，经典统计
在一定条件下还是有意义的。
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三、等几率原理
1. 宏观状态与微观状态 热力学中研究的是宏观物质系统的特性——宏观状态。 宏观状态由几个宏观参量表征，处在平衡态的系统的所有宏 观物理量就都具有确定值，即系统处于一个确定的平衡态。 统计物理研究的是系统的微观状态，即力学运动状态。 在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的， 而且微观状态不断地发生着极其复杂的变化。这些微观状态 中的绝大部分都可以满足 宏观状态条件，都是有可能实现的 统计物理学认为： 宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现，宏 观物理量是相应微观物理量的统计平均值。
共6个可能状态。 多种状态对应于一个能级的现象称为简并，其中状态的 个数称为简并度。
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自由粒子的量子态由（nx,ny,nz）或（px,py,pz）确定，3 个分量中任意变动一个，则成为另外一个量子态。 对于一定动量变化范围内，量子态数由（dnx,dny,dnz ） 给出，其中dnx 1（取整数）：
q1...qr p1...pr h
r
因此，若给定m空间相体积dq1…dqrdp1…dpr，也就可以求出 相格个数（ m空间相体积/hr），即量子态数。 在极坐标中， p p sin cos x
p y p sin sin p p cos z
px mx, py my来自百度文库 pz mz
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自由粒子的能量（动能）：
1 2 2 2 p p p x y z 2m
对于3D的自由粒子， m空间是6D的，粒子的一个运动状态 （x,y,z;px,py,pz）相当于m空间中的一个代表点。
一、 经典描述
设粒子的自由度为 r ，则粒子在任何一时刻的力学状态 可由 r 个广义坐标 qi 和 r 个与之共轭的广义动量 pi 在该时刻 的数值确定（i＝1,2,…,r）。粒子的能量是qi 和pi的函数：
qi , pi ;(r 1, 2,..., r)
若存在外场，能量还是外场的函数。
qp ~ h, Et ~ h
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子 态由一组量子数表征，其数目等于粒子的自由度数。
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1. 自旋状态 对于自旋角动量为h/2的粒子，其自旋磁矩m与自旋角动 量S之比为
m
e S m
若在z方向外加磁场，则S在z方向上的投影取2个值Sz ＝msh＝±h/2，自旋磁矩在z的投影取mz＝m eh/2m。 粒子在外场中的势能为
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为了研究系统的宏观特性，没有必要、实际上也不可能 追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概 率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。 因此，确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问 题。 2. 等概率原理 等概率原理认为，对于处在平衡状态的孤立系统，系统 各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
微观粒子可分为Bose子和Fermi子两类。其中Fermi子 遵从Pauli不相容原理。
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经典粒子系统： Boltzmann系统 （粒子可分辨） 全同近独立粒子系统
可以有任意个粒子 处于同一量子态 Bose系统：一个个 体量子态容纳的 Bose子不受限制
则在体积V，～+d，～+d，p～p+dp范围内，自由粒 子的状态数为 2
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Vp sin d dpd d 3 h
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而在体积V、p～p+dp范围内，自由粒子的状态数为
Vp 2 V p 2 dp d 3 dp sin d d 43 h h 0 0
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【μ空间】 由 r 个坐标分量和 r 个动量分量组成的2r 维直角坐标空间 称为μ空间
【代表点】 m空间中的一个点代表了粒子在某时刻的力学状态，这样的 一个点称为粒子运动状态的代表点。 当粒子随时间而运动时，代表点在m空间中描绘一条曲线。 1. 自由粒子 自由粒子在3D空间中运动时，自由度是3，粒子在某时 刻的位置可由坐标(x,y,z)表示，共轭的动量为
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一、经典描述
设粒子的自由度为r。任一时刻，第i个粒子的力学运动状 态由 r 个广义坐标 qi1, …, qir 和 r 个广义动量 pi1, …, pir 的数 值确定。当组成系统的N个粒子在某一时刻的力学运动状态都 确定时，也就确定了整个系统在该时刻的微观运动状态。 因此，确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量。 在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。在含有多个全同 粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，在交换前 后，系统的力学运动状态是不同的。 一个粒子在某一时刻的力学运动状态可用m空间中的一个 点表示．由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状 态可在m空间中用N个点表示。如果交换两个代表点在m空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
第六章 近独立粒子的最概然分布
§6.1 粒子运动状态的描述； §6.2 系统微观运动状态的描述；
§6.3 Boltzmann分布；
§6.4 Bose分布与Fermi分布
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§6.1 粒子运动状态的描述
粒子的运动状态是指组成系统的微观粒子（如分子、离 子、光子等）的力学运动状态。 严格说，微观粒子应当遵从量子力学运动规律，但在一 定条件（极限）下，粒子的运动状态可以用经典规律描述。
热力学· 统计物理
—统计物理学部分
热力学：以热现象4个基本实验定律（热力学第0～3定 律）为基础，应用数学方法，得到有关物质的各种宏观性质 之间的关系、宏观过程进行的方向与限度。但是，热力学理 论不能得出具体物质的特性、不能解释涨落现象。 统计物理学：认为物质的宏观特性是大量微观粒子运动 的集体表现，宏观物理量是微观物理量的统计平均值。 （1）可以解释热力学基本实验定律； （2）可以获得具体物质的特性； （3）可以解释涨落现象。
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近独立粒子的 最概然分布
Boltzmann分布 Bose分布 Fermi分布 微正则分布 正则分布 巨正则分布
平衡态统计理论
系综理论
统 计 物 理 学
涨落理论（选讲）
非平衡态统计理论 （选讲）
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e m B B 2m
因此，描述粒子的自旋状态只需一个量子数ms＝±1/2。
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2. 线性谐振子 线性谐振子的能量为
n (n 1 )
2
(n 0,1,...)
显然，谐振子的能量是等间隔的，大小只决定于振子的频率 ，n是量子数。 3. 自由粒子 设自由粒子处于边长为L的立方容器中。为了确定粒子 的可能状态，需要知道de Broglie波在回壁的边界条件。采 用周期性边界条件， de Broglie波波长l的整数倍等于容器 的边长L：
p k
2 p x L nx 2 ny py L 2 p z L nz
nx,ny,nz是表征3D自由粒子运动状态的量子数。系统的能量 10 为：
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1 2 2 2 2 px p y pz 2m m
2. 线性谐振子 质量为m的粒子在弹性力 F＝-kx 作用下，将在原点附 近作简谐运动。 振子的频率为 k / m 系统能量为
p2 1 m 2 x 2 2m 2
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显然，振子的运动状态可由2D m空间（x,p）的一个点代表。
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2
2
2 2 nx ny nz2
L2
2 2 2 显然，系统的能级仅取决于 nx ny nz , 因此，处于一个能级 2 2 2 的量子状态一般有多个。如 nx ny nz 1 ，
1, 0, 0 nx , ny , nz 0, 1, 0 0, 0, 1
量子系统（粒子 不可分辨）
Fermi系统：一个 个体量子态容纳的 Fermi子最多1个
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【实例】 设系统由2个粒子组成，粒子的个体量子态为3，则 （1）对于Boltamann系统，微观状态数为32＝9； （2）对于Bose系统，微观状态数为C31 ＋C32 ＝6； （3）对于Fermi系统，微观状态数为C31 ＝3； 【注意】 力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学，在 量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。两
二、 量子描述
微观粒子普遍具有粒子和波动的二象性。一方面它们是 客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下又可以观察 到干涉、衍射等波动现象。 对自由粒子，德布罗意（de Broglie）关系指出，
, p k
其中k为波矢，k＝2π/l 。 粒子与波动二象性的一个重要特征是，微观粒子不可能 同时具有确定的动量和坐标，或者确定的能量和时间：
dn L dp x x 2 L dp dn y 2 y dn L dp z z 2
dnx dny dnz V3 dpx dpy dpz h
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3 V L
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【理解】 粒子的运动状态由r个qi和r个pi描述，因此每一个状态 必定对应于m空间中的一个最小体积（相格）：