第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。
解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。
解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
第六章近独立粒子的最概然分布
近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
第六章_近独立粒子的最概然分布
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。
《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲
《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲习题6.1试证明，在体积V内，在；到「d；的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：D（；）d ；：^2^2m ；场；h证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。
在六维相空间，相体积兀d.二dxdydzdp x dp y dp z内的微观量子态为：d dxdydzdp x dp y dp zh3「h3体积V =L3内，动量在范围 P x ~ P x dP x,P y ~ P y dP y,P z ~ P z dP z的自由粒子量子态数。
dxdydzdp x dp y dp z Vdp x dp y dp z VP2sin ^dPd^d :对积分，可得体积V = L3内自由粒子动量大小在P~ P dP范围的量子态2二二VP2 sinrdPd 闭，VP2dP'二h30 0 h3由；哙进行变量代换：PS/，dP5）l2；“代入上式可得：在体积V内，在；到；d；的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：2兀V “3；1；D（；）d 32m 2；2d ；h其中D（J为在；到「d；的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度证毕习题6.2试证明，对子一维自由粒子，在长度L内，在；到「d；的能量范围内，量子态数为:2L C m证明：一维粒子局域于宏观长度 L 内运动，其能量值和动量值是准连续 的。
在二维相空间，相体积兀 d 二dxdp x 内的微观量子态为:d . dxdp x在长度x 二L 内，动量在范围P x ~巳• dP x 的自由粒子量子态数。
dxdp xLdp x对P x 在范围-P -dP ~ -P 及P ~ P dP 积分，可得在长度X = L 内，自由粒子 动量大小在P ~ P dP 范围的量子态习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在；到「d ；的能量范围内，量子态数为证明：二维粒子局域于宏观面积 L 2内运动，其能量值和动量值是准连续 的。
第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m
V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间
热力学与统计物理教案：第六章 近独立粒子的最概然分布
为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条 件下，经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性： 粒子 波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算，量子态的描述
热力学统计物理第六章近独立粒子及其最概然分布22P课件
L nx ,
nx 0,1,2,
又 ：k x
2
kx
2
L
nx , nx
0,1,2,
代入德布罗意关系式：px kx
px
2
L
nx
因此，一维自由粒子的量子数：1 nx
nx
px2 2m
2 22
m
nx2 L
nx 0,1,2,
b.三维
2
px L nx
N
E i
i 1
二.经典物理中微观运动状态的描述
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
2）描述方式： 相空间中N个点。
三.量子物理中微观运动状态的描述
1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动）
2）描述方式： a.对于某一个粒子的各个量子态 b.对应于每一个量子态的粒子数
3）.玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。 如：电子、质子、中子等。
py
2
L
ny
pz
2
L
nz
nx 0,1,2,
量子数：3个
nx , ny , nz
n
p2 2m
p
2 x
p
2 y
2m
pz2
2 22
m
nx2
n
2 y
nz2
L3
简并度：6
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
b）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。 如：光子、Л介子等。
c）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子 的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
第六章近独立粒子的最概然分布
它可表述为：
n 对一种随机现象做 次独立试验，每次试验只计指定的事件发生与否. 已知在每次试验时发生指定事件的概率为 p ,求在 n 次试验中有 μ 次
发生指定事件的概率。
2009-4-16
12
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
个基本事件之和，则发生事件 A 的概率为
p ( A) = nA
N
这种说法叫做概率的古典定义。
2009-4-16
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物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
例：在容器中有 N 个理想气体分子，设想把容器划分为等容积的两部分，
n 求有且仅有 个分子出现在左边的概率.
解： p(r, B) = 2 × 3 = 6 5 5 25
1. 5 独立试验序列问题
“独立试验序列问题”是一种有普遍意义的问题的模型。 下面通过一个例子，说明和谓“独立试验序列问题”。
2009-4-16
11
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
验中，第
i
种结果出现
ni
次。 比值 ni n
反映了这一结果
出现的机会或可能性
若在实验观测的次数增大时， ni n
趋于稳定： 值 pi
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
lim ni n→∞ n
→
pi
pi 就叫做第 i 种结果出现的概率。概率也叫或然率或几率。 是否能由上式得 ni = npi ？
第六章近独立粒子的最概然分布
S=klnW 并且称k 为玻尔兹曼常数。
§6.1 粒子运动状态的经典描述
1.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。
例如：气体中的分子； 金属中的离子和电子； 辐射场中的光子。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
pz2 )
等能面：px2 py2 pz2 2m
等能面是动量空间半径为 2m 的球面。
相空间体积（能量小于或等于ε）：
dxdydz dpxdpydpz
4 V (2m )3/2
3
③线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = -kx 作用下，将在原点附近作圆频率 ω= ������/������ 的简谐振动，称为线性谐振子。
玻
在麦氏速度分布律的基础上，第一次考虑
尔 兹
了重力对分子运动的影响，建立了更全面的玻
曼
尔兹曼分布律，建立了玻尔兹曼熵公式。
dN
n0
(
m
2kT
3
)2
e
(
K
P
)
/
kT dv
x
dv
y dv
z
dxdydz
1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，
玻尔兹曼写道：“（热力学）第二定律是关于几率的定律，”在
气体中双原子分子的振动，晶体中的原子或离子在平衡位置附 近的振动均可看作是简谐运动。
自由度：1 μ空间维数：2
广义坐标 : q x,
广义动量: p px mx
能量： p2 1 m2x2
第6章 近独立粒子的最概然分布
西北师范大学物理与电子工程学院
6.1
粒子运动状态的经典描述
（2）、线性谐振子（自由度为1）
p2 1 ;能量ε 坐标x;动量p x mx mω2 x 2 2m 2
p
能量椭圆：
p2 x2 1 2ε 2m ε mω2
n=2 n=1 n=0 x
（3）、转子(自由度为2)
坐标θ , φ;动量pθ mr θ , pφ mr sin θ φ;
西北师范大学物理与电子工程学院
6.3
系统微观运动状态的描述
（3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一 个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数最多只能为1，受泡利不相容原理的限制。
自旋角动量在外磁场方向上的投影Sz只能取两个值： S z 在外磁场方向的投影相应为： Z 在外磁场B中的势能为： μB
e 2m
1 2
e B 2m
将S z 表为S z m S , 描述粒子的自旋状态只 要一个量子数 m s， 1 它只能取两个分立的值 。 2
3
L 量子态数为： dn x dn y dnz dp x dp y dpz 2 π
由测不准关系：pq h 对应μ空间的一个体积元，量子相格。
自由度为r，相格大小为： q1， ，qr p1， ，pr hr
因此dnx dn y dnz 表示：Vdpx dp y dpz除以相格大小 hr而得到的 三维自由粒子在 Vdpx dp y dpz内的量子态数
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
热力学与物理统计第六章03讲述
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标，那么，该如何描述粒子的运动状态？
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
S 2 s(s 1) 2
其中s称为自旋量子数，可以是整数或半整数。 例如电子的自旋量子数为1/2 对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其 本征方向（z轴）上的投影Sz。
共2s+1个可能的值。对于电子，有2个可能值。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋角动量与自旋磁矩 质量为 m ，电荷为 - e 的电子，
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
由于不确定关系，xp h 。
p p
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e
S
m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外
磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强
度。电子自旋角动量在z投影为
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋磁矩在z投影为
电子在外磁场中能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统
华南师范大学信息光电子科技学院 热力学 第六章近独立粒子的最概然分布
在一条直线上运动。
自由度为2, 空间为4维，
分解为两个二维子空间x px，y py表示， 在一个平面上运动。
自由度为3, 空间为6维，
分解为三个二维子空间x px，y py，z pz表示， 在三维空间运动。
二、几种典型粒子运动的经典描述
（一）自由粒子； （二）线性谐振子； （三）转子；
共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为空间。
粒子某时刻的力学运动状态（q1, q2,......,qr ; p1, p2,......,pr）
可以用空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的
代表点。当粒子的运动状态随时间改变，代表点相应
地在空间中移动，形成空间中的一条轨道。
目录
❖ 一、μ空间 ❖ 二、几种典型粒子运动的经典描述
（一）自由粒子运动的经典描述
自由粒子是不受力的作用而作自由运动的粒子。
自由粒子在空间运动，自由度为3，位置由x, y, z来确定，
与之共轭的动量为：px mx, py my, pz mz。 m为粒子的质量，自由粒子的能量即为其动能：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
（一）自由粒子运动的经典描述
（二）线性谐振子的经典描述
线性谐振子是质量为 m的粒子在弹性力 F Ax的作用下， 沿x轴在平衡位置附近做简 谐运动。
线性谐振子也是热力学中常用的模型，在一定条 件下，分子内原子的振动、晶体中原子或离子在 其平衡位置附近的振动都可看作简谐运动。
线性谐振子相关经典描述： A m；p mx; 总能量： p2 A x2 p2 1 m 2 x2
k
px
k x
2
第六章 近独立粒子的最概然分布教案资料
热力学与统计物理课程教案第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。
这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。
1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r 。
经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标r q q q ,,,21 和与之共轭的r 个广义动量r p p p ,,,21 在该时刻的数值确定。
粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：()r r p p p q q q εε,,,;,,,2121 = 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。
为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态（r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 ）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。
当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。
2、下面介绍统计物理中用到的几个例子 （1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。
粒子在任一时刻的位置可由坐标z y x ,,确定，与之共轭的动量为：⋅⋅⋅===z m p y m p x m p z y x ,, 自由粒子的能量就是它的动能：()22221z y x p p p mε++=， 对应的μ空间是6维的。
（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为⋅=x m p x ，它的能量是其动能和势能之和：2222221222x m m p x A m p ωε+=+=以x 和p 为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。
热力学-统计物理第六章近独立粒子的最概然分布
又
E N
j 0
nj N
j N p j j
j 0
0 pj 1
p
j
j
1
是个概率。
找到微观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。
目的：求出系统在热平衡状态的概率分布。
二、可分辨和不可分辨粒子系统 微观粒子全同性原理 (量子理论)： 微观粒子（位置可以在大范围变化——非定域系） 是不可分辨的。 x x 波粒 二相性 重叠
研究对象的描述——引入何种假设、模型，如何 描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前 3节）。
如何求出概率分布——这是核心（第六章后5节）。
如何求出热力学量的统计表达式（七 、八 两章）。
主要内容
系统微观状态的经典描述和量子描述 等概率原理及微观状态分布 玻耳兹曼统计
玻色统计与费米统计
h3大小的相格内只能有一个运动状态；对于有r 个自
由度的粒子，hr相体积内只能有一个状态。所以在相 体积之dw内的量了态数为
dp V L3 ，p p 中的量子态数
，与动量的方向无关，积分之 球极坐 标系变 换
V dn 3 h
4V 2 p sin dpdd 3 p dp. h
空间中的一个 “点”进行描述。
相点：运动状态 相轨道：运动状态的变化 相体积：粒子状态代表点在μ空间所能充斥的范围。
二、 常见粒子微观运动状态描述实例
1、自由粒子
三维空间中，如果是直角坐标， 三个坐标 x, y, z 三个动量 能量 运动状态
, px mx
, py my
pz mz
L
x
即，一个量子态对应粒子相空间一个 h 大小的体积元。 三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元 h3。 则相空间体积 Vdpx dp中量子态数为 y dpz
第六章 近独立粒子的最概然分布 - 副本
2 kx nx L
2 px nx L
L ny
L ny
2 kz nz L
pz 2 nz L
2 ky ny L
2 py ny L
能
量：
2 2 2 2 x nx 2 mL
2 2 2 2 y ny 2 mL
2 2 2 2 z nz 2 mL
相空间 2维 2r 维
p2 A 2 p2 1 能量 是其动能和势能之和 m 2 x 2 x 2m 2 2m 2
中北大学
物理系
以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时 刻运动状态由μ空间中的一点表示。 如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹就由如下方程确定：
p2 2 m x2 2 m 2 1
由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所 以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元， 称为相格,相格的大小为h.
一、经典描述 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子 的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该 时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数 即 更一般 ε = ε （ q1、q2、…qr ， p1、p2、…pr） ε = ε （qi、pi、λi ） （i = 1、2、…r） λ为非参量
上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。
线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为 ħ ，其大小取决于振子的圆频率。
中北大学
物理系
（三）自由粒子 空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边 长为L的方盒子中运动。
y
A' 0 A
在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：
高教热统答案第六章
第六章 近独立粒子的最概然分布习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量 子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。
()εεεεd mh L d D 2+= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围内， 量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。
ϕPdPd hSdP dP h S dn y x 22== (s －面积)因m P 22=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS m 22= ()22hmS D πε=⇒ (s=L 2) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。
试求在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。
解：φθθd dpd p hVdp dp dp h V dn z y x sin 233==由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是⎰⎰===ππεππφθθεε200322323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D 以上已经代入了 c d p d cp =⇒=εε于是， 32)(4)(hc V D επε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。
热力学统计物理第六章近独立粒子的最概然分布
若粒子有内部运动, 则 r 更大。如双原子分子, φ, p , pφ
一般地，设粒子的自由度为 r ， 其力学运动状态由粒子 的 r 个广义坐标 q1、q2、…qr 和相应的 r 个广义动量 p1、 p2、… pr 共 2r 个量的值确定。粒子能量ε： ε=ε( q1、q2、…qr ，p1、p2、…pr ) 。 总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐 标和动量共同描述的方法。
热统
而 S z （自旋方向取向量子化） 2 e e B e B B ms 所以 z 2m 2m m 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 m s
2
13
2 自由粒子 （1）一维自由粒子： 自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数 要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即
能级为
2
1 ， n 2
px
x
n 0, 1, 2,
热统 21
相邻两个状态之间所夹的面积为
2 1 1 n 1 n ( n 1 ) ( n ) h 2 2 推广之：粒子的一个状态在 空间中占有的体积为相格 hr
② 3D自由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积 V 中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，μ空间是 6 维的。 粒子能量 ε= ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m 动量子空间的半径 p p 2 p 2 p 2 2m x y z
热统
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热力学与统计物理学
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近独立粒子的 最概然分布
Boltzmann分布 Bose分布 Fermi分布 微正则分布 正则分布 巨正则分布
平衡态统计理论
系综理论
统 计 物 理 学
涨落理论（选讲）
非平衡态统计理论 （选讲）
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【μ空间】 由 r 个坐标分量和 r 个动量分量组成的2r 维直角坐标空间 称为μ空间
【代表点】 m空间中的一个点代表了粒子在某时刻的力学状态，这样的 一个点称为粒子运动状态的代表点。 当粒子随时间而运动时，代表点在m空间中描绘一条曲线。 1. 自由粒子 自由粒子在3D空间中运动时，自由度是3，粒子在某时 刻的位置可由坐标(x,y,z)表示，共轭的动量为
§6.2 系统微观运动状态的描述
每个粒子运动状态一般用量子数描述，但由大量微观粒 子组成的宏观系统的微观运动状态又如何描述？ 所谓系统的微观运动状态就是它的力学运动状态。这里 限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统，更普遍的情形放 在系综中讨论。 【全同粒子】 具有完全相同属性(相同的质量、电荷、自旋等等)的同 类粒子。 【近独立粒子】 是指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能 量远小于单个粒子的平均能量，整个系统的能量约为单个粒 子的能量之和。 15
q1...qr p1...pr h
r
因此，若给定m空间相体积dq1…dqrdp1…dpr，也就可以求出 相格个数（ m空间相体积/hr），即量子态数。 在极坐标中， p p sin cos x
p y p sin sin p p cos z
e m B B 2m
因此，描述粒子的自旋状态只需一个量子数ms＝±1/2。
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2. 线性谐振子 线性谐振子的能量为
n (n 1 )
2
(n 0,1,...)
显然，谐振子的能量是等间隔的，大小只决定于振子的频率 ，n是量子数。 3. 自由粒子 设自由粒子处于边长为L的立方容器中。为了确定粒子 的可能状态，需要知道de Broglie波在回壁的边界条件。采 用周期性边界条件， de Broglie波波长l的整数倍等于容器 的边长L：
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为了研究系统的宏观特性，没有必要、实际上也不可能 追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概 率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。 因此，确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问 题。 2. 等概率原理 等概率原理认为，对于处在平衡状态的孤立系统，系统 各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
一、 经典描述
设粒子的自由度为 r ，则粒子在任何一时刻的力学状态 可由 r 个广义坐标 qi 和 r 个与之共轭的广义动量 pi 在该时刻 的数值确定（i＝1,2,…,r）。粒子的能量是qi 和pi的函数：
qi , pi ;(r 1, 2,..., r)
若存在外场，能量还是外场的函数。
dn L dp x x 2 L dp dn y 2 y dn L dp z z 2
dnx dny dnz V3 dpx dpy dpz h
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3 V L
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【理解】 粒子的运动状态由r个qi和r个pi描述，因此每一个状态 必定对应于m空间中的一个最小体积（相格）：
量子系统（粒子 不可分辨）
Fermi系统：一个 个体量学
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【实例】 设系统由2个粒子组成，粒子的个体量子态为3，则 （1）对于Boltamann系统，微观状态数为32＝9； （2）对于Bose系统，微观状态数为C31 ＋C32 ＝6； （3）对于Fermi系统，微观状态数为C31 ＝3； 【注意】 力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学，在 量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。两
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L nx lx L ny ly L nz lz
n , n , n
x y
z
0, 1, 2,...
2 2 nx kx lx L 2 2 ny k y ly L 2 2 kz nz lz L
p k
2 p x L nx 2 ny py L 2 p z L nz
nx,ny,nz是表征3D自由粒子运动状态的量子数。系统的能量 10 为：
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1 2 2 2 2 px p y pz 2m m
px mx, py my, pz mz
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自由粒子的能量（动能）：
1 2 2 2 p p p x y z 2m
对于3D的自由粒子， m空间是6D的，粒子的一个运动状态 （x,y,z;px,py,pz）相当于m空间中的一个代表点。
2. 线性谐振子 质量为m的粒子在弹性力 F＝-kx 作用下，将在原点附 近作简谐运动。 振子的频率为 k / m 系统能量为
p2 1 m 2 x 2 2m 2
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显然，振子的运动状态可由2D m空间（x,p）的一个点代表。
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二、 量子描述
微观粒子普遍具有粒子和波动的二象性。一方面它们是 客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下又可以观察 到干涉、衍射等波动现象。 对自由粒子，德布罗意（de Broglie）关系指出，
, p k
其中k为波矢，k＝2π/l 。 粒子与波动二象性的一个重要特征是，微观粒子不可能 同时具有确定的动量和坐标，或者确定的能量和时间：
第六章 近独立粒子的最概然分布
§6.1 粒子运动状态的描述； §6.2 系统微观运动状态的描述；
§6.3 Boltzmann分布；
§6.4 Bose分布与Fermi分布
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§6.1 粒子运动状态的描述
粒子的运动状态是指组成系统的微观粒子（如分子、离 子、光子等）的力学运动状态。 严格说，微观粒子应当遵从量子力学运动规律，但在一 定条件（极限）下，粒子的运动状态可以用经典规律描述。
则在体积V，～+d，～+d，p～p+dp范围内，自由粒 子的状态数为 2
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Vp sin d dpd d 3 h
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而在体积V、p～p+dp范围内，自由粒子的状态数为
Vp 2 V p 2 dp d 3 dp sin d d 43 h h 0 0
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一、经典描述
设粒子的自由度为r。任一时刻，第i个粒子的力学运动状 态由 r 个广义坐标 qi1, …, qir 和 r 个广义动量 pi1, …, pir 的数 值确定。当组成系统的N个粒子在某一时刻的力学运动状态都 确定时，也就确定了整个系统在该时刻的微观运动状态。 因此，确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量。 在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。在含有多个全同 粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，在交换前 后，系统的力学运动状态是不同的。 一个粒子在某一时刻的力学运动状态可用m空间中的一个 点表示．由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状 态可在m空间中用N个点表示。如果交换两个代表点在m空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
热力学· 统计物理
—统计物理学部分
热力学：以热现象4个基本实验定律（热力学第0～3定 律）为基础，应用数学方法，得到有关物质的各种宏观性质 之间的关系、宏观过程进行的方向与限度。但是，热力学理 论不能得出具体物质的特性、不能解释涨落现象。 统计物理学：认为物质的宏观特性是大量微观粒子运动 的集体表现，宏观物理量是微观物理量的统计平均值。 （1）可以解释热力学基本实验定律； （2）可以获得具体物质的特性； （3）可以解释涨落现象。
qp ~ h, Et ~ h
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子 态由一组量子数表征，其数目等于粒子的自由度数。
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1. 自旋状态 对于自旋角动量为h/2的粒子，其自旋磁矩m与自旋角动 量S之比为
m
e S m
若在z方向外加磁场，则S在z方向上的投影取2个值Sz ＝msh＝±h/2，自旋磁矩在z的投影取mz＝m eh/2m。 粒子在外场中的势能为
2
2
2 2 nx ny nz2
L2
2 2 2 显然，系统的能级仅取决于 nx ny nz , 因此，处于一个能级 2 2 2 的量子状态一般有多个。如 nx ny nz 1 ，
1, 0, 0 nx , ny , nz 0, 1, 0 0, 0, 1
共6个可能状态。 多种状态对应于一个能级的现象称为简并，其中状态的 个数称为简并度。
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自由粒子的量子态由（nx,ny,nz）或（px,py,pz）确定，3 个分量中任意变动一个，则成为另外一个量子态。 对于一定动量变化范围内，量子态数由（dnx,dny,dnz ） 给出，其中dnx 1（取整数）：
者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述
。微观粒子实际上遵从量子力学规律，但在一定的极限条件 下，可以由量子统计得到经典统计的结果。因此，经典统计
在一定条件下还是有意义的。
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