上海市普陀区2019-2020学年第一学期高三数学一模(期末)质量调研考试题及解析

上海市普陀区2019-2020学年第一学期高三质量调研

数 学2019.12

一、填空题

1. 若抛物线2y mx =的焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则实数m 的值为____________ 2. 132lim 31

n n

n n +→∞+=+____________ 3. 不等式11x

>的解集为____________ 4. 已知i 为虚数单位，若复数11z mi i =

++是实数，则实数m 的值为____________ 5. 设函数()()log 4a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =____________ 6. ()63111x x ⎛⎫+− ⎪⎝

⎭展开式中含2x 项的系数为____________（结果用数值表示） 7. 各项都不为零的等差数列{}()*N n a n ∈满足22810230a a a −+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =____________

8. 设椭圆()2

22:11x y a a

Γ+=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP 是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =，则Γ的长轴长等于____________

9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有____________

10. 已知函数()()()()22815,,f x x x ax bx c a b c R =++++∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1,2]上有 解，则实数a 的取值范围是____________

11. 设P 是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外

接圆的一条动弦，则PM PN ⋅的取值范围为____________

12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()

y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）

已知(

)()

()22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实

数a 的取值范围为____________

二、选择题

13.“{}1,2m ∈”是“lnm <1”成立的（ ）

A . 充分非必要条件

B . 必要非充分条件

C . 充要条件

D . 既非充分也非必要条件

14. 设集合{}{}|1,1,3,A x x a B b =−==−，若A B ⊆，则对应的实数对(),a b 有（ ）

A . 1对

B . 2对

C . 3对

D . 4对

15. 已知两个不同平面,αβ和三条不重合的直线,,a b c ，则下列命题中正确的是（ ）

A . 若a //α，b αβ⋂=，则a //b

B . 若,a b 在平面α内，且,c a c b ⊥⊥，则c α⊥

C . 若,,a b c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与,,a b c 都相交

D . 若,αβ分别经过两异面直线,a b ，且c αβ⋂=，则c 必与a 或b 相交

16. 若直线2:

12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点11,P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ab 的最大值为（ ） A . 76

B . 4−

C . 5−

D . 6−

三、解答题

17. 如图所示的三棱锥P -ABC 的三条棱P A 、AB 、AC 两两互相垂直，AB =AC =2P A =2，点D 在棱AC 上，且

()0AD AC λλ=>.

（1）当12λ=

时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小；

（2）当三棱锥D -PBC 的体积为2

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时，求λ的值.

18. 设函数()221

x

x f x a −=. （1）当4a =−时，解不等式()5f x <；

（2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.

19. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建，如图所示，平行四边

形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且OA =60米，∠AOB =60°，设POB θ∠=.

（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；

（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.

20. 已知双曲线()22

22:10,0x y a b a b

Γ−=>>的焦距为4，直线():40l x my m R −−=∈与Γ交于两个不同的点D 、E ，且m =0时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；

（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，

求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.

21. 数列{}n a 与{}n b 满足11,n n n a a b a a +==−，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.

（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13

−的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；