平面解析几何ppt课件

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中学数学教学比较重视建立坐标观念，而较忽视 解析几何中运动变化思想。无论是理解解析几何 思想本质(没有点动成线，何谈曲线方程)还是理 解数学学科发展，这都是不利的。
如所知，数学进步的一次重要飞跃是从常量数学 到变量数学。而变量数学的创立有两个主要标志： 解析几何和微积分。解析几何之所以列入，很重 要的在于它奠定了从动态角度解决一系列复杂代 数和几何问题的理论基础。以运动为基础，方程 与曲线统一起来，代数学与几何学统一起来，运 动也由此顺理成章地进入了代数学，产生了函数。
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中学课本通常这样定义曲线的方程：
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某 种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x, y)=0的实 数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的 曲线。
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牛顿在这基础上，将曲线看作是动点的路径，把 物体运动的轨迹表示为参数方程x=x(t), y=y(t). 然 后研究流数x’(t)和y’(t)；莱布尼茨则从曲线的切 线入手研究曲线性质，在坐标系上观察曲线在一 点的切线斜率的变化。由此，诞生了微积分.
而追溯函数的来源，它正是对各种特殊的曲线的 概括，从而最终成为描述运动的工具.
通常称条件(1)为方程的完备性(或曲线的纯粹性)， 称条件(2)为方程的纯粹性(或曲线的完备性)。但 曲线方程为什么要满足纯粹性与完备性？
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8.2 问题研究
1、如何理解解析几何的基本思想？
解析几何的基本思想当然是数形结合。但是，数 形结合思想是以两个重要的思想观念为基础的： 一是坐标观念，一是运动变化的思想。
坐标观念通过位置量化，解决了点的代数化问题， 而运动变化思想则通过引入点动成线观念，实现 了曲线的代数化。笛卡尔的重要贡献在于他把运 动与变化的思想引入数学，从动态的角度解决几 何问题，把曲线看作是运动的轨迹。
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解析几何的教学要重视使学生经历“几何问题代 数化——处理代数问题——分析代数结果的几何 意义——解决几何问题”的过程，不断体会数形 结合的思想。
在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生 经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代 数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问 题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结 果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应 贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地 体会“数形结合”的思想方法。
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在“平面解析几何初步”模块中，学生将在平面 直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代 数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想， 初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥 曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系， 掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已 学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的 对应关系，进一步体会数形结合的思想。
8 平面解析几何
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8.1 内容概述
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其 本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了 数形结合的重要数学思想。
与课程改革前相比，中学解析几何变化不大，主 体内容仍然是：直线与方程、圆与方程、圆锥曲 线与方程。只是前两者作为必修模块，统称为平 面解析几何初步，第三者则放到选修1-1和选修 2-1中。另外，还在平面解析几何初步中增加了 一点空间直角坐标系的简单知识。
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还有一点值得注意的是，坐标系与参数方程在多 年退出后又作为选修专题4-4重新进入了中学数 学。该专题是解析几何初步、平面向量、三角函 数等知识的综合应用和进一步深化。其中，极坐 标系和参数方程是重点内容，而对于柱坐标系、 球坐标系等则只要求学生作简单了解。
在“坐标系与参数方程”专题中，学生将了解曲 线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数 学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力， 体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和 实践能力。
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从某种程度上讲，解析几何对变量数学的意义较 之微积分更为基本，它奠定了微积分研究的基础。
解析几何的历史贡献就在于它将坐标观念与运动 变化思想结合到一起。在解析几何创立之前，方 程是静态的，人们只关注如何求出方程的根。几 何研究虽然把曲线看作动点运动的轨迹，但是曲 线不能计算。只当解析几何把动点形成的曲线看 作是“坐标(数)”变化的结果，变数才破土而出。
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具体而言，运用坐标表示，使得几何的“点”和 代数的“数”之间构成对应关系，进而根据点动 成线，把曲线上的“几何点集”，和满足方程的 “坐标数集”对应起来，并且能够相互转换。通 过坐标把曲线的性质译成了代数的语言，使许多 曲线有了一般的表示法和统一的研究手段。
总之，解析几何的基本手段是用坐标表示数，用 方程表示曲线，用代数方法来研究几何图形。这 种数和形之间的转换能力，是“数学双基”的一 部分，是数学思想的华彩乐章。
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直线和圆是最简单的几何图形。圆锥曲线在数学 上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的 几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社 会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用。
在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星 运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使 学生了解圆锥曲线的背景与应用。教师可以向学 生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅 球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。
“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数， 运动进入了数学.有了变数，辩证法进入了数学. 有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.” （恩格斯《自然辩证法》 ）
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2、曲线的方程为什么要满足纯粹性与完备性？
曲线的方程和方程的曲线是解析几何的基本概念 和理论基石，它反映了曲线和方程之间的统一。
曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 曲线的方程则是平面上具有某种几何性质的点的 坐标之间关系的反映，这样几何中的形和代数中 的数就统一起来，研究曲线的几何问题可以转化 为研究方程的代数问题；反过来，代数问题也可 以转化为几何问题来研究。