专升本高等数学测试题(答案)

专升本高等数学测试题

1. 函数y 1 sin x 是（D ）．

（A）奇函数；（B）偶函数；（C）单调增加函数；（D）有界函数．解析因为 1 sin x 1，即0 1 sin x 2 , 所以函数y 1 sin x 为有界函数．

x

2.若f (u) 可导，且y f (e ) ，则有（ B ）；

（A ）y f x

d '(

e ；（B）dy

f '(e x ；

x )d x

x )e d

（C）dy f (e x )e x dx ；（D）dy [ f (e x )]' e x dx ．

解析y f (e x ) 可以看作由y f (u)和u e x 复合而成的复合函数

由复合函数求导法x f u x

y f (u) e ( ) e ，

所以y y x f x

d d '(

e ．

x )e x d

3.

x =( B );

e dx

(A) 不收敛;(B)1; (C) －１; (D)0.

解析

x

e dx e x

0 1 1．

x

4. y 2y y (x 1)e 的特解形式可设为（ A ）；

(A) x ax b ；(B) x( a x b)e ；2

( )e x x 2 ( )e x

x

x

(C) (a x b)e；(D)

2 (ax b)x ．

2 r

解析特征方程为r 2 1 0 ，特征根为r1 = r2 =1．=1 是特征方程的特征重根，于是有y x ax b ．

2 ( )e x p

2 2 ( C )，其中D ：1≤5. x y dxdy

D

2 y2

x ≤4；

(A)

2π 4

2

d r d r；(B)

0 1

2 π 4

d r d r；

0 1

(C)

2π 2 2

d r dr ；(D)

0 1

2 π 2

d r d r．

0 1

解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．

当x

y

r

r

c os

sin

时，dx dy rd r d，由于1 ≤ 2 y 2

x ≤ 4 ，D 表示为 1 r 2 ，0 2π，故

D

2 2 d d

x y dxdy r r r

2π 2

2

d r dr ．

0 1 D

1

x 6.函数 y =

arcsin(

1) 2

2

3 x

的定义域

解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小 于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解

.即

3 3 x 2

x 2

x 1 0 0 , 1, , 推

得 3 0 x x 4 ,

3 ,

即 0

x

3 , 因此，所给函数的定义域为 [0, 3) .

7. 求极限

2

lim

x

2

2

x 2

x

=

解：原式=

(2 x 2)( 2 lim

x

(

2

2 x)( 2

x

x 2) 2)

=

1 lim

x

2

2 x

2

=

1 4

. （ 恒等变换 之后“ 能代就代 ”）

8. 求极限

x

sin t dt π

1

lim

x

1 cos π

1

x

=

解： 此极限是“ 0 0

”型未定型，由洛必达法则，得

x

sin t dt

π

1

lim

x

1 cos π

1

x =

x

( sin t dt)

π

1

lim

x

1 (1 cos x)

π

sin x π =

lim

lim (

x

sin x 1

x 1

π π

1 π

) 1 π

9.曲线

x

y

t, 3

t ,

在点（ 1，1）处切线的斜率

解：由题意知：

1 1

t , ,

3

t

t 1,

dy dx

3

(t )

2

t 3t

1

t 1

t

1

3

,

(t)

曲线在点（1，1）处切线的斜率为 3

10. 方程y'' 2y' y 0, 的通解为

解：特征方程r 2 2r 1 0 , 特征根 1

r1 r ,

2

通解为x

y (C1 C2 x)e .