苏教版数学高一- 选修2-1教师用书 第二章 圆锥曲线与方程

第2章圆锥曲线与方程

2．1圆锥曲线

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，掌握椭圆、抛物线的定义，了解双曲线的定义，并能用数学符号或自然语言描述．2．过程与方法

(1)通过用平面截圆锥面，体会圆锥曲线的形状及产生过程，归纳圆锥曲线的定义内涵，通过数形结合，由具体形象抽象出概念．

(2)通过具体动点轨迹的判定过程，体会定义法求动点轨迹的方法．

3．情感、态度与价值观

通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们透过现象揭示事物内在本质的思维方式，提高他们认识事物的能力．

●重点难点

重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义．

难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．

教学时，应从回顾圆的定义入手，结合冷却塔、油罐车、探照灯等实例，激发学生的探究兴趣，通过平面按不同的角度截割圆锥曲面的动画效果，使学生生动的认识椭圆、抛物线、双曲线的形象，抽象出三种圆锥曲线的概念．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课作为圆锥曲线的起始课程，安排本章的开篇，本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系．根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义，这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养．

●教学流程

回顾初中有关圆的概念，作为三种圆锥曲线定义的铺垫．⇒通过用平面去截圆锥面得到不同曲线的动画，展示圆锥曲线的产生过程，揭示圆锥曲线的定义内涵．⇒由形象到具体，由具体到抽象，抽象出圆锥曲线的定义，通过生活中的实例，理解概念实质，通过举反例，诠释概念内涵．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆定义及应用，判别动点轨迹是否为椭圆，求椭圆上一点到焦点的距离．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义及应用，判别动点轨迹是否为双曲线，求双曲线上一点到焦点的距离．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握抛物线定义及应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.

课标解读

1.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形．(重点、难点)

2．了解双曲线的定义和几何图形．(重点)

3．双曲线与椭圆定义的区别．(易混点)

圆锥曲线

1．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什么？

【提示】圆．

2．函数y＝x2的图象是什么？

【提示】开口向上的抛物线．

3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？

【提示】圆、椭圆．

1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.

定义(自然语言)数学语言

双曲线

平面内到两个定点F1，F2距离的差的绝对

值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹

叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线

的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距

|PF1－PF2|＝2a＜F1F2

抛物线

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在

l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定

点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物

线的准线

PF＝d，其中d为点P到l的距离

椭圆的定义及应用

下列说法中不正确的是________．

①已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；

②已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；

③到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；

④到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．

【思路探究】

判定是否为椭圆回顾椭圆定义分析距离满足条件

【自主解答】①中F1F2＝8，故到F1、F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.

②中到F1、F2两点的距离之和6小于F1F2，故这样的轨迹不存在．

③中点(5,3)到F1、F2的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410>F1F2＝8，故

③中是椭圆的轨迹．

④中是线段F1F2的垂直平分线．

【答案】①②④

1．判断动点P的运动轨迹是否为椭圆，关键分析两点：

(1)点P到两定点的距离之和是否为常数．

(2)该常数是否满足大于两定点间的距离．

如果满足以上两条，则动点P的轨迹便为椭圆．

2．椭圆定义不仅可以用来判定动点轨迹形状，也可由椭圆求解其他问题．

图2－1－1

如图2－1－1，已知F1，F2为椭圆两焦点，直线AB过F1，若椭圆上任一点M满足MF1＋MF2＝8，F1F2＝6，求△ABF2的周长．

【解】由椭圆定义，AF1＋AF2＝8，BF1＋BF2＝8，

∴△ABF2周长为16.

双曲线的定义及应用

曲线上的点到两个定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6，(2)10，(3)12.满足条件的曲线若存在，是什么样的曲线？若不存在，请说明理由．【思路探究】

求F1F1→将常数与F1F2比较大小→由定义判别