苏教版数学高一- 选修2-1教师用书 第二章 圆锥曲线与方程

第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，掌握椭圆、抛物线的定义，了解双曲线的定义，并能用数学符号或自然语言描述．2．过程与方法(1)通过用平面截圆锥面，体会圆锥曲线的形状及产生过程，归纳圆锥曲线的定义内涵，通过数形结合，由具体形象抽象出概念．(2)通过具体动点轨迹的判定过程，体会定义法求动点轨迹的方法．3．情感、态度与价值观通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们透过现象揭示事物内在本质的思维方式，提高他们认识事物的能力．●重点难点重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义．难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．教学时，应从回顾圆的定义入手，结合冷却塔、油罐车、探照灯等实例，激发学生的探究兴趣，通过平面按不同的角度截割圆锥曲面的动画效果，使学生生动的认识椭圆、抛物线、双曲线的形象，抽象出三种圆锥曲线的概念．(教师用书独具)●教学建议本节课作为圆锥曲线的起始课程，安排本章的开篇，本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系．根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义，这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养．●教学流程回顾初中有关圆的概念，作为三种圆锥曲线定义的铺垫．⇒通过用平面去截圆锥面得到不同曲线的动画，展示圆锥曲线的产生过程，揭示圆锥曲线的定义内涵．⇒由形象到具体，由具体到抽象，抽象出圆锥曲线的定义，通过生活中的实例，理解概念实质，通过举反例，诠释概念内涵．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆定义及应用，判别动点轨迹是否为椭圆，求椭圆上一点到焦点的距离．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义及应用，判别动点轨迹是否为双曲线，求双曲线上一点到焦点的距离．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握抛物线定义及应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形．(重点、难点)2．了解双曲线的定义和几何图形．(重点)3．双曲线与椭圆定义的区别．(易混点)圆锥曲线1．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什么？【提示】圆．2．函数y＝x2的图象是什么？【提示】开口向上的抛物线．3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？【提示】圆、椭圆．1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.定义(自然语言)数学语言双曲线平面内到两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距|PF1－PF2|＝2a＜F1F2抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线PF＝d，其中d为点P到l的距离椭圆的定义及应用下列说法中不正确的是________．①已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；②已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；③到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．【思路探究】判定是否为椭圆回顾椭圆定义分析距离满足条件【自主解答】①中F1F2＝8，故到F1、F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.②中到F1、F2两点的距离之和6小于F1F2，故这样的轨迹不存在．③中点(5,3)到F1、F2的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410>F1F2＝8，故③中是椭圆的轨迹．④中是线段F1F2的垂直平分线．【答案】①②④1．判断动点P的运动轨迹是否为椭圆，关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数．(2)该常数是否满足大于两定点间的距离．如果满足以上两条，则动点P的轨迹便为椭圆．2．椭圆定义不仅可以用来判定动点轨迹形状，也可由椭圆求解其他问题．图2－1－1如图2－1－1，已知F1，F2为椭圆两焦点，直线AB过F1，若椭圆上任一点M满足MF1＋MF2＝8，F1F2＝6，求△ABF2的周长．【解】由椭圆定义，AF1＋AF2＝8，BF1＋BF2＝8，∴△ABF2周长为16.双曲线的定义及应用曲线上的点到两个定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6，(2)10，(3)12.满足条件的曲线若存在，是什么样的曲线？若不存在，请说明理由．【思路探究】求F1F1→将常数与F1F2比较大小→由定义判别【自主解答】(1)∵F1F2＝10>6，∴满足该条件的曲线是双曲线．(2)∵F1F2＝10，∴满足该条件的曲线不是双曲线，而是两条射线．(3)∵F1F2＝10<12，∴满足条件的点不存在．1．到两定点距离差的绝对值为一个常数时，动点轨迹不一定是双曲线，应与焦距比较大小．2．本例(1)中，若将“绝对值”去掉，则轨迹只是双曲线的一支．若一个动点P到两个定点F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，试讨论点P的轨迹．【解】∵F1F2＝2，故有(1)当a＝2时，P点轨迹是两条射线y＝0(x≥1)或y＝0(x≤－1)；(2)当a＝0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，即y轴；(3)当0＜a＜2时，轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线；(4)当a＞2时，轨迹不存在．抛物线的定义及应用若动点M到点F(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，那么点M 的轨迹是什么图形？【思路探究】由题意知MF＝d(d为点M到直线x＝－3的距离)，可根据抛物线的定义确定点M的轨迹是抛物线．【自主解答】由题意知，动点M到点F(3,0)和定直线x＝－3的距离相等，点F(3,0)不在定直线x＝－3上，所以由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F(3,0)为焦点，直线x ＝－3为准线的抛物线．1．本题中动点M的轨迹是抛物线，在求解的过程中一定要判断点F是否在给定的定直线x＝－3上，当F在定直线x＝－3上时，动点M的轨迹是以F点为垂足的定直线x＝－3的垂线；当F不在定直线x＝－3上时，动点M的轨迹才是抛物线．2．利用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定直线与到定点的距离是否相等．如图2－1－2所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，侧面AA1B1B内有一动点P，满足P到平面AA1D1D的距离与到直线BC的距离总相等，则P点的轨迹是________．图2－1－2【解析】如题图，PM是点P到平面AA1D1D的距离，PB是P到直线BC的距离，故PM＝PB，所以P的轨迹是以AA1为准线，点B为焦点的一段抛物线．【答案】以AA1为准线，点B为焦点的一段抛物线忽略圆锥曲线定义中的条件致误若一动圆与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心M的轨迹为________．【错解】双曲线．【错因分析】在错解中，忽略了MC2>MC1，从而导致错误．圆C2的圆心C2(4,0)，半径为2，设动圆的半径为r.因为动圆与圆C1外切，所以MC1＝r＋1.又因为动圆与圆C2外切，所以MC2＝r＋2，从而MC2－MC1＝1<C1C2＝4，所以根据双曲线的定义可知点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．【防范措施】在椭圆的定义中，一定要注意常数大于F1F2这一条件；在双曲线的定义中，要注意常数为小于F1F2的正数这一条件，同时注意取绝对值；在抛物线的定义中，要注意点不能在定直线上，否则轨迹是一条直线．【正解】双曲线的一支．1．利用圆锥曲线的定义判定动点轨迹时，应注意定义中的条件，若部分满足，则动点轨迹不是完整的圆锥曲线．2．利用圆锥曲线定义解题是本章的一个重要解题方法，此方法常与平面几何知识结合，利用数形结合的思想解题.1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6的点P的轨迹是________．【解析】∵F1F2＝6，∴点P的轨迹是线段F1F2.【答案】线段F1F22．已知△ABC，其中B(0,1)，C(0，－1)，且AB－AC＝1，则A点的轨迹是________．【解析】∵AB－AC＝1<2＝BC，∴A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的下支(x≠0)．【答案】以B、C为焦点的双曲线的下支(x≠0)3．抛物线上一点到焦点距离为4，则它到准线的距离为________．【解析】根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故它到准线的距离为4.【答案】 44．已知A、B是两个定点，AB＝8，且△ABC的周长等于18，试确定这个三角形的顶点C所在的曲线．【解】由题意知，AB＋BC＋CA＝18，∵AB＝8，∴BC＋CA＝10>AB.∴点C所在的曲线是以A，B为焦点的椭圆．(除去椭圆与直线AB的两个交点)一、填空题1．已知M(－2,0)，N(2,0)是平面上的两点，动点P满足PM＋PN＝6，则动点P的轨迹是________．【解析】∵PM＋PN＝6>4，∴动点P的轨迹是一椭圆．【答案】椭圆2．到定点(0,7)和定直线y＝7的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】∵定点(0,7)在定直线y＝7上，∴到定点(0,7)与到定直线y＝7距离相等的点的轨迹是过(0,7)的该直线的垂线，其方程为x＝0.【答案】x＝03．命题甲：动点P到定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．【解析】甲D⇒/乙，乙⇒甲．【答案】必要不充分4．定点F1(－3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1－MF2|＝6，则M点的轨迹是________．【解析】∵|MF1－MF2|＝6＝F1F2，∴M的轨迹是x轴上以F1，F2分别为端点的两条射线．【答案】x轴上分别以F1，F2为端点的两条射线5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填椭圆、双曲线或抛物线)【解析】由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．【答案】抛物线图2－1－36．如图2－1－3，点A为圆O内一定点，P为圆周上任一点，AP的垂直平分线交OP 于动点Q，则点Q的轨迹为________．【解析】由题意，QA＝QP，∴OQ＋QA＝OQ＋QP＝OP(半径)>OA，∴Q点的轨迹是以O、A为焦点的一椭圆．【答案】以O、A为焦点的一椭圆7．(2013·徐州高二检测)已知椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若△AF1F2的周长为18，则△ABF2的周长为________．【解析】因为AF2＋AF1＋F1F2＝18，F1F2＝8，所以AF 2＋AF 1＝10，于是BF 2＋BF 1＝10，所以△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2＝20.【答案】 208．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．【解析】 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4(b 2R －a 2R)＝3×c 2R，则AC －BC ＝6<AB ，显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一支去掉点(0,3)．故填以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．【答案】 以A ，B 为焦点的双曲线的上支(去掉点(0,3))二、解答题9．已知F 1(－4,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足PF 1－PF 2＝2a ，当a ＝2或a ＝3时，求动点P 的轨迹．【解】 由已知可得，F 1F 2＝6.当a ＝2时，2a ＝4，即PF 1－PF 2＝4<F 1F 2，根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F 2)；当a ＝3时，PF 1－PF 2＝6＝F 1F 2，此时动点P 的轨迹是射线F 2P ，即以F 2为端点向x 轴正向延伸的射线．故当a ＝2时，动点P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F 2)；当a ＝3时，动点P 的轨迹是射线F 2P .10．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝16，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1，动圆P 与两圆相外切，求动圆圆心P 的轨迹．【解】 设圆P 的半径为r ，两圆圆心分别为C 1(－3,0)，C 2(3,0)，由圆P 与两圆相外切可知PC 1＝4＋r ，PC 2＝1＋r ，∴PC 1－PC 2＝3<C 1C 2＝6，∴点P 的轨迹为以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支．11．若点P (x ，y )的坐标满足方程(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|5，试判断点P 的轨迹是哪种类型的圆锥曲线．【解】 (x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|5，即(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|32＋42，等式左边表示点P (x ，y )到点(1,2)的距离，右边表示点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离，即点P (x ，y )到点(1,2)的距离与到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离相等．又∵点(1,2)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，由拋物线的定义知，点P 的轨迹是以(1,2)为焦点，直线3x ＋4y ＋12＝0为准线的拋物线.(教师用书独具)如图，某山区的居民生活用水源于两处，一处是位于该地区内的一口深水井，另一处是位于该地区西边的一条河(河岸近似看成直线)．已知井C 到河岸AB 的距离为4千米，请为该区域划一条分界线，并指出应如何取水最合理．【思路探究】 审题→转化为数学模型→找距离相等→点的轨迹→转化为实际问题答案【自主解答】 分界线上的点到深水井C 和到河岸AB 的距离应相等，依据抛物线定义可知，分界线是以C 为焦点，河岸AB 为准线的抛物线．所谓取水合理，即选择最近点取水，易知抛物线包含的区域应到深水井取水，抛物线上的区域到深水井或河中取水均可，其他区域则应到河中取水．1．实际问题有时可以以圆锥曲线为数学模型进行思考，要根据题意，抽象出数学关系和条件．2．利用圆锥曲线的定义求解实际问题，要注意实际意义的限制，很多情形下，动点的轨迹只是圆锥曲线的一部分．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017 s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】 由声速为340 m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上.2.2椭 圆2．2.1 椭圆的标准方程(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．2．过程与方法(1)通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用．(2)在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知的过程中进行合作推理的能力及应用代数知识进行同解变形和化简的能力．3．情感、态度与价值观在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维能力，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．●重点难点重点：标准方程的推导及椭圆的判断．难点：椭圆标准方程的推导及应用．教学时，应从回顾椭圆定义入手，回顾曲线方程的求解方法，通过建立坐标系，推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程，从而得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，且通过推导，得出基本量a，b，c之间的基本关系，化解难点．通过三个例题的教学，突出椭圆的标准方程的应用．(教师用书独具)●教学建议本节课主要内容是椭圆的标准方程．学生在前面已经学习了解析几何的两种基本曲线：直线和圆，初步掌握了解析几何的思维方法——利用代数的方法描述平面图形及性质；基本上掌握了解析几何的解题基本格式，数形结合的思想比以前有了质的飞跃，因此在教学过程中，采用了引导发现法和感性体验法进行教学．引导发现法属于启发式教学，有利于充分调动学生的积极性和主动性，体现了认知心理学的相关内容．在教学过程中，教师采用启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情景，使学生带着问题去主动思考，动手操作，交流合作，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识真正成为自己的知识．●教学流程创设情景情景一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义．情景二：展示图片一，思索：油罐的横截面是不是椭圆？情景三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆型建筑如何设计？⇒互动探究椭圆标准方程的推导问题1：回想圆方程的推导步骤是如何的？问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？问题3：焦点在y轴的椭圆方程该如何推导？⇒分析两类椭圆的标准方程，体会二者的区分办法，及共性．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆标准方程的求法，待定形式应根据焦点的位置区分，应注意定义及方程的应用．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆标准方程的应用，根据椭圆特征对方程中字母范围的讨论，以及焦点三角形的求解．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与椭圆有关的轨迹问题的求法，会用椭圆定义判断曲线是否为椭圆，并用待定系数法求动点轨迹方程．⇒通过易错易误辨析，体会焦点分别在x轴，y轴上的区别，注重分类讨论思想的应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点)3．两种位置的椭圆的标准方程的区分．(易混点)椭圆的标准方程1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，你能画出椭圆吗？【提示】固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上且绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆．2．求曲线的方程通常分为几步？【提示】四步：建系、设点、列式、化简．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0) (a ＞b ＞0)图象焦点坐标 (－c,0)，(c,0)(0，－c )，(0，c )a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2待定系数法求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，且椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且过点(－32，52)．【思路探究】 (1)由焦点坐标和椭圆定义分别求出c ，a ，代入b 2＝a 2－c 2求出b 2即可；(2)本题有两种思路：一是先由焦点坐标和椭圆定义分别求出c ，a ，再求解；二是将点的坐标代入椭圆方程，结合b 2＝a 2－c 2求解．【自主解答】 (1)由题意，设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2c ＝6,2a ＝10，所以a ＝5，c ＝3.由a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝16，所以椭圆的标准方程是x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．法一 由椭圆的定义知2a ＝ (－32－0)2＋(52＋2)2＋ (－32－0)2＋(52－2)2＝210，所以a ＝10.又由题意知c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 因此，所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.法二 因为所求椭圆过点(－32，52)，所以254a 2＋94b 2＝1.又a 2－b 2＝c 2＝4，解得a 2＝10，b 2＝6，故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.1．在本例(2)的解答中，利用椭圆定义求a 较为简洁，也是我们常用的一种方法． 2．在已知椭圆的类型求椭圆的标准方程时，一般采用待定系数法求解，步骤如下： (1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出对应的标准方程；(2)将已知条件代入，求出a ，b (注意隐含条件a 2＝b 2＋c 2，a >b >0)，此时注意椭圆定义的应用；(3)写出椭圆的标准方程．其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”．求经过点M (2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程．【解】 法一 已知椭圆方程可化为x 24＋y 29＝1，∴c ＝5，∴F 1(0，－5)，F 2(0，5)，∴2a ＝MF 1＋MF 2＝215，∴a ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝10，∴椭圆方程为x 210＋y 215＝1. 法二 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．又椭圆过点(2，－3)，∴4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆方程为x 210＋y 215＝1.椭圆标准方程的应用(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．图2－2－1【思路探究】(1)化为标准方程→由条件列不等式→求k 的范围 (2)PF 1·PF 2面积PF 1＋PF 2＝4―→由定义PF 1，PF 2， F 1F 2关系―→由余弦 定理【自主解答】 (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，∵表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k >2.解得0<k <1. ∴k 的取值范围是0<k <1. (2)由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中有， PF 1＋PF 2＝4，①PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4， ②①代入②得PF 1·PF 2＝4，∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝12×4×32＝ 3.1．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别注意，当n ＝m >0时，方程表示圆心在原点的圆．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．(1)已知方程(2－k )x 2＋ky 2＝2k －k 2表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围． (2)如图2－2－2所示，点P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．图2－2－2【解】(1)由(2－k )x 2＋ky 2＝2k －k 2表示椭圆，知2k －k 2≠0，且有x 2k ＋y 22－k＝1. ∵方程表示焦点在x 轴上的椭圆， ∴k >2－k >0， 即1<k <2，故实数k 的取值范围是1<k <2. (2)由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos 120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1，①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4，即PF 2＝4－PF 1， ②②代入①解PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335.与椭圆有关的轨迹问题△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a ＞b ＞c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．【思路探究】 利用椭圆定义分析出B 点的轨迹是椭圆，再利用待定系数法求解． 【自主解答】 由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ＝4，即AB ＋BC ＝4，∴点B 到定点A 、C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，设椭圆的标准方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1(a ′>b ′>0)．其中a ′＝2，c ′＝1. ∴b ′2＝3. 又a ＞b ＞c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2＜x ＜0)．1．本例解答过程中，不要忽略a >b >c 这个条件，而误认为轨迹为整个椭圆． 2．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是：已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切且过定圆内的一个定点A (0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知，圆心C (0，－2)，半径r ＝6，设动圆圆心P (x ，y )，动圆半径为PA ，由于圆P 与圆C 相内切，∴PC ＝r －PA ， 即PA ＋PC ＝r ＝6>AC .因此，动圆圆心P 到两定点A (0,2)，C (0，－2)的距离之和为6， ∴P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝5.∴所求动圆圆心P 的轨迹方程为y 29＋x 25＝1.误认为焦点只在x 轴上而致错已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，并且焦距为6，求m 的值．【错解】 ∵2c ＝6，∴c ＝3，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2. ∵a 2＝b 2＋c 2，∴25＝m 2＋9，∴m 2＝16. 又m >0，故m ＝4.【错因分析】 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看x 2和y 2项分母的大小，如果x 2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．【防范措施】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴或y轴上．【正解】∵2c＝6，∴c＝3.(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16.又m>0，故m＝4.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.∵a2＝b2＋c2，∴m2＝25＋9＝34.又m>0，故m＝34.由(1)(2)可得m的值为4或34.1．求椭圆的标准方程，主要采用待定系数法，一般“先定型”即先确定标准形式，“再定量”即由题目条件求基本量a，b，c，求解过程中，要注意定义的应用．2．对方程带有字母系数的椭圆，其焦点在哪个坐标轴上要由字母的取值范围确定，必要时要进行分类讨论．3．求与椭圆有关的轨迹问题，常见的直接法、代入法、参数法等都同样可用，除此以外，还要注意利用椭圆的定义求解轨迹问题.1．动点P到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和为10，则动点P的轨迹方程是________．【解析】∵2a＝10，∴a＝5，∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝16，又∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为x225＋y216＝1.【答案】x225＋y216＝12．已知椭圆x236＋y225＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________．【解析】由题意，a＝6，不妨设PF1＝3，又PF1＋PF2＝2×6＝12，∴PF2＝12－3＝9.【答案】93．若方程x2k－3＋y25－k＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．【解析】∵⎩⎪⎨⎪⎧k－3>05－k>0k－3≠5－k，∴k∈(3,4)∪(4,5)．【答案】(3,4)∪(4,5)4．设P是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．【解析】由标准方程得a2＝25，∴2a＝10，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.【答案】10一、填空题1．椭圆25x2＋16y2＝400的焦点坐标为________．【解析】 椭圆方程可化为x216＋y 225＝1，∴c 2＝9，∴c ＝3，∴焦点坐标为(0，±3)． 【答案】 (0，±3)2．(2012·上海高考改编)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”)【解析】 由方程mx 2＋ny 2＝1的曲线表示椭圆，常数m ，n 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ，所以mn >0；反过来，由mn >0得不到方程mx 2＋ny 2＝1的曲线表示椭圆．【答案】 必要不充分3．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为________．【解析】 ∵2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝3或5. 【答案】 3或54．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则PF 2＝________.【解析】 如图，x P ＝－c ＝－3， ∴34＋y 2P ＝1，∴y P ＝12，∴PF 1＝12.∵PF 1＋PF 2＝4，∴PF 2＝72.【答案】 725．一个焦点坐标是(0,4)，且过点B (1，15)的椭圆的标准方程为________．【解析】 由一个焦点坐标是(0,4)知椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝a 2－16，则椭圆方程可化为y 2a 2＋x 2a 2－16＝1(a 2－16>0)，将点B (1，15)代入，得a 2＝20(a 2＝12舍去)，从而b 2＝a 2－16＝4，故所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 【答案】 y 220＋x 24＝16．若单位圆x 2＋y 2＝1上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，则所得曲线的方程是________．【解析】 设所求曲线上任一点的坐标为(x ，y )，圆x 2＋y 2＝1上的对应点为(x 1，y 1)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x 1y ＝y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x y 1＝y①，将①代入x 21＋y 21＝1得(3x )2＋y 2＝1，即y 2＋x 219＝1.所以所求曲线的方程是y 2＋x 219＝1. 【答案】 y 2＋x 219＝1 7．(2013·西安高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON (O 为坐标原点)的值为________．【解析】 由题意，a ＝5，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝25－9＝4，MF 1＝2，∴MF 2＝2×5－2＝8， 又ON 为△MF 1F 2的中位线， ∴ON ＝12MF 2＝12×8＝4.【答案】 48．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.【解析】 ∵B 在椭圆上，。