概率论第三版第2章答案详解

第二章 作业题解:

2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.

解：

由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(=

===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36

5)8()6(=

===X P X P ；366)7(==X P 。 即 36

|

7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .

解：根据

1)(0

==∑∞=k k X P ，得10

=∑∞

=-k k

ae

，即111

1

=---e

ae 。 故 1-=e a

2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：

(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则

12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========

两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：

2016

.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124

.00784.02016.00324.0=++

(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628

P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k k

k X P ，求

)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<

2153152151)31(=++=

≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<

1152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21

}{ ===k k X P k

，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P

解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(4

22642=++⨯=++=

= X P

4

1

}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P

2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出

信号, 求下列事件的概率：

(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.

解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P

1792.04.06.04.04

334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P

31744.04.06.04.06.04.05

4452335=+⨯+⨯=C C .

2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊

松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;

(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!

k

P X k e k λλ-==

，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.

(2) 0

(2)110!

1!

P X e e e e λλλλλλ

λ----≥=-

-

=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事

件的概率为2

13e --.

2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？

解：设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。 依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即99.0)(≥≤m X P ，也即

01.0)1(≤+≥m X P

因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=⨯=λ的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。 故应至少配备6名设备维修人员。

2.9 某种元件的寿命X (单位：小时) 的概率密度函数为：

2

1000

,1000()0,1000

x f x x x ⎧≥⎪

=⎨⎪⎩ 求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。

解：一个元件使用1500小时失效的概率为

3

1

10001000)15001000(1500

10001500

10002=

-==≤≤⎰x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)3

1

,5(~B Y 。所求的概率为

22351280

(2)()()33243

P Y C ==⨯=

。

2.10 设某地区每天的用电量X (单位：百万千瓦•时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为：

212(1),01,

()0,x x x f x ⎧-=⎨

⎩其他

假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦•时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电量上升到90万千瓦•时, 每天供电量不足的概率是多少? 解：求每天的供电量仅有80万千瓦•时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X 超过80万千瓦•时（亦即X ≥0.8百万千瓦•时）的概率：

0.80.8

20

2340.8

(0.8=1-P(X 0.8=1-()112(1)1(683)

0.0272

P X

f x dx x x dx

x x x -∞

≤=--=--+=⎰

⎰））