总体分布的拟合优度检验
跟我学一步步学Minitab (23)拟合优度检验
改进产品，对老 年人的份额有负 面影响
青年人份额的增 加，对中年人影 响不大，但是对 老年人的影响较 大
今天就谈到这，欢迎大家交流！
48
0.50
98
0.20
54
分析目的一：不同类别人员购买比率是否有改变？
分析目的二：产品改变后对哪类人群影响最大？
分析例子
拟合优度检验问题，卡方拟合优度检验（单变量）
原假设（H0）μ0=0.30；μ1=0.50；μ3=0.20； 备择假设（H1）：μ0=0.30；μ1=0.50；μ3=0.20至少一个不成立 求p值，如p值小于0.05，则认为有明显改变
拒绝原假设，就认为原 假设不成立，备选假设 成立。认为产品改进后， 不同类别人员购买比率 有显著改变
分析的例子 对获得的分析结果进行解释
对中年人的影响 则较少
青年人对卡方贡 献量最大；中年 人对卡方贡献量 最小
54 比 40 大 ， 说 明 产品改进后对青 年人份额有正面 影响
分析的例子 对获得的分析结果进行解释
分析例子 在Minitab工作表上，如下方式整理好数据
Minitab选项表中，选择统计>表格>卡方拟合优度检验（单变量）
分析的例子 在弹出的选项中，按如下方式进行选择
选择：观察计数 观察频数
选择:类别
选择：特定比率 购买比率
分析的例子 对获得的分析结果进行解释
p 值 0.025 ， 小 于 0.05，拒绝原假设
例如：A、B、C三类 产品的市场份额，在 一年前后是否改变
拟合优度检验
拟合优度检验用卡方分析方法来进行
根据获得的数量和期望的数量进行比较，来确定卡方贡献量
观察值和期望值相差太大， 就会拒绝原假设
拟合优度检验方法分析
（三）计算理论次数 依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5； 黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5； 红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对 相对性状分离现象时 ，用黑色无角牛和红 色有角牛杂交 ，子二代出现黑色无角牛192 头，黑色有角牛78头，红色无角牛72头， 红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性 状是否符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的 遗传比例？
检验步骤：
（一）提出无效假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9:3:3:1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9:3:3:1的理论比 例。 （二）选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4：自由 度df=k-
数据格式与计算公式
类别或组段 观察频数
理论频数
1
O1
E1
2
O2
E2
…
…
…
k
Ok
Ek
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
2 P
k i 1
(Oi
Ei )2 , Ei
a为参数的个数
k 1 a
df = k-1-a
注意：理论频数Ei不宜过小（如不
小于5），否则需要合并组段！
计算步骤
(1)
H
§ 7.1 拟合优度检验
回顾下2分布——p56
❖ 设有一平均数为μ、方差为 2的正态总 体。现从此总体中独立随机抽取n个随机 变量：x1、x2、…、 xn，并求出其样本方 差S2
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
数理统计习题
抽样分布一、 填空题1．设),,,(21n X X X ⋯是取自总体X 的简单随机样本，则n X X X ,,,21⋯必须满足（1） ；（2） 。
2．设总体X 服从参数为)0(>θθ的指数分布，),,,(21n X X X ⋯是来自X 的一个样本，X 、2S 分别为样本均值和样本方差，则=)(X E ，=)(2S E 。
3．设),,,(21n X X X ⋯为来自正态总体),(2σμN 的一个随机样本，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，则=)(X E ，=)(2S E 。
4．设),,,(21n X X X ⋯为来自区间)8,2(上的均匀分布)8,2(U 的一个随机样本，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，则=)(X E ，=)(2S E 。
5．设总体X 服从自由度为n 的2χ分布，),,,(21n X X X ⋯是来自X 的一个样本，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，则=)(X E ，=)(2S E 。
6．设总体X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，),,,(21n X X X ⋯是来自X 的一个样本，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，则=)(X E ，=)(2S E 。
7．设),,,(21n X X X ⋯为来自参数为p n ,的二项分布的一个样本，X ，2S 分别为样本均值和样本方差，则=)(X E ，=)(2S E 。
8．设随机变量(,)XF m n ，则函数1X。
9．设),,,(21n X X X ⋯为来自总体2(,)XN μσ的样本，则样本均值X。
10．设),,,(21n X X X ⋯为来自总体2(,)X N μσ的样本，2S 是样本方差，则22)1(σS n -服从的分布是 。
11．设随机变量()X t n ，若αλ=>}{X P ，则=-<}{λX P 。
12．设),,,(21n X X X ⋯为来自总体(0,1)X N 的样本，则∑=ni i X 12服从的分布为 。
4.3柯尔莫哥洛夫及斯米尔诺夫检验
由于 µ , σ 2 未知,用样本均值和方差分别作为 µ 与 σ 2 的估计
ˆ=x= µ 1 10 1 ni xi∗ = (0.35 × 1 + 0.65 × 6 + ∑ n i =1 123 + 2.85 × 20 + 3.05 × 2) = 1.884,
Dn = sup Fn ( x ) − F0 ( x ) ，
−∞< x <+∞
定理 4.3 和定理 4.4 分别给出了它的精 当假设 H 0 成立时， 确分布和极限分布。而当 H 0 不真时，它有偏大的趋势。 2)．对于给定的水平 α ，由附表 6 查得临界值 Dn ,α ，使得
P{ Dn > Dn ,α } = α . ˆ > D } 其中 D ˆ 为 D 的观察值 3) 根据上式得拒绝域： {D n n ,α n n
受 H0 。 查附表 6，7 例 4.13 某矿区煤层厚度的 123 个数据的频数分别如表 4.6 所示，试用柯尔莫哥洛夫检验煤层厚度是否服从正态
N ( µ , σ 2 ) 分布。
表 4.6
组 号 1 2 3 4 5 厚度间隔 /m 0.20 ∼ 0.50 0.50 ∼ 0.80 0.80 ∼ 1.10 1.10 ∼ 1.40 1.40 ∼ 1.70 组中 值 频数 组中值 组 号 6 7 8 9 10 厚度间隔/m 频数
ˆ = 0.0343 < 0.123 = 为D n
λ1−α
n
≈ Dn ,α ，故接受假设 H 0 ，即认为
煤层厚度服从正态分布。 2.斯米尔诺夫检验 检验两个总体的真分布是否相同. 设 ( X 1 , X 2 , , X n )T 是来自具有连续分布函数 F ( x ) 的总
拟合优度检验
Hale Waihona Puke 例2：孟德尔豌豆试验中，发现黄色豌豆为25 粒, 绿色豌豆11粒，试在α=0.05下, 检验豌豆 黄绿之比为3:1。
解：定义随机变量 X
1, 豌豆为黄色， X 0, 豌豆为绿色.
计数符号，取集 合中元素的个数
(4). 计算理论频数与实际频数的偏差平方和。
2 k [fi
i1
nip (ˆ)2 ]， nip (ˆ)
( 2)
每一项n用 pi(ˆ)去除的其目的是理：论缩
频数比较大的那和些式项中在的影响力
可以证明：在 H0 成立，且n→∞时,
2k 2-1r ， -
( 3 )
即2统计量的分布由 收度 敛k为 到 r自 1
于是，拒绝原假设，即认为棉纱拉力强
度不服从正态分布。
χ 2检验的一个著名应用例子是孟德尔豌豆 实验。奥地利生物学家孟德尔在1865年发表的 论文，事实上提出了基因学说，奠定了现代遗 传学的基础。他的这项伟大发现的过程有力地 证明了统计方法在科学研究中的作用。因此， 我们有必要在这里将这一情况介绍给大家。
H0：总体X的分布函数为F(x) ； (1)
对立假设为H1：总体 X 的分布函数非F(x)。 如果F(x)形式已知，但含有未知参数θ 或参
数向量θ =(θ1, θ2,…, θr ) ，则记其为F(x,θ )。
这种检验通常称为拟合优度检验。
不妨设总体 X 是连续型分布。检验思想 与步骤如下:
(1). 将总体X的取值范围分成k个互不重叠的 小区间 I1, I2, …, Ik，
精选拟合优度检验和假设检验
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论
由
可推出：
与
或
R2
R2
R2
R2
在中国居民人均收入-消费一元模型中，
在中国居民人均收入-消费二元模型中，
三、变量的显著性检验（t检验）
方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
二、方程的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。
1、方程显著性的F检验
即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j是否显著不为0。
注意：一元线性是对相同的原假设H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参数的t值：
给定显著性水平=0.05，查得相应临界值： t0.025(28) =2.048。
对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：F=985.6616（P54） 二元模型：F=560.5650 （P72）
给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值： 一元例：F(1,30)=4.17 二元例： F(2,28)=3.34
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量
服从自由度为(k , n-k-1)的F分布
给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。
K-S分布检验和拟合优度χ2检验
第八章 分布检验和拟合优度χ2检验
1
Kolmogorov-Smirnov 单样本检验及一些正态性检验
2
Kolmogorov-Smirnov 两样本分布检验
3
Pearson χ2 拟合优度检验 5
(1 0 0 0 , 0 .0 5 )
1000
因为Ｄ1ooo＜0.043，故认为样本数据所提供的信息 因为Ｄ ， 无法拒绝H 即接受H 认为可做正态分布的拟合。 无法拒绝 0，即接受 0，认为可做正态分布的拟合。 Ｋ－Ｓ检验法是一种精确分布的方法 检验法是一种精确分布的方法， Ｋ－Ｓ检验法是一种精确分布的方法，不受观察次 数多少的限制。 数多少的限制。这个方法可应用于分组或不分组的 情形。检验量D 情形。检验量 n也可用于检验随机样本是否抽自某 特定的总体的问题。 特定的总体的问题。
第二节
K-S双样本分布检验 双样本分布检验
一、适用范围 K-S双样本检验主要用来检验两个独立样本是否来自 双样本检验主要用来检验两个独立样本是否来自 同一总体（或两样本的总体分布是否相同）。 ）。其单 同一总体（或两样本的总体分布是否相同）。其单 尾检验主要用来检验某一样本的总体值是否随机地 大于（或小于）另一样本的总体值。 大于（或小于）另一样本的总体值。 二、理论依据和方法 1、理论依据： 、理论依据： 单样本检验相似， 与K-S单样本检验相似，K-S双样本检验是通过两个 单样本检验相似 双样本检验是通过两个 样本的累计频数分布是否相当接近来判断H 样本的累计频数分布是否相当接近来判断 o是否为 真。如果两个样本间的累计概率分布的离差很大， 如果两个样本间的累计概率分布的离差很大， 同的总体，就应拒绝H 这就意味着两样本来自不同的总体，就应拒绝 o。
卡方检验
第九章 2χ检验[教学要求]掌握：单个样本分布的拟合优度检验；独立样本2×2列联表资料的χ2检验；独立样本R ×C 列联表资料的χ2检验；配对2×2列联表资料的χ2检验。
熟悉：配对R × R 列联表资料的χ2检验；四格表资料的Fisher 确切概率法。
了解：连续型随机变量的χ2分布；分类数据χ2检验的基本思想。
[重点难点]第一节2χ分布和拟合优度检验一、χ2分布基本概念：χ2分布是一种连续型随机变量的概率分布，如果12,,,Z Z Z ν 是v 个相互独立的标准正态分布随机变量，则22221νZ Z Z +++ 的分布称为服从自由度为ν的χ2分布。
2χ分布的概率密度曲线的形状依赖于自由度ν的大小。
二、拟合优度χ2检验的基本思想拟合优度检验是根据样本的频率分布检验其总体分布是否符合某给定的理论分布。
2χ值反映了样本实际频率分布与理论分布的符合程度。
三、χ2检验的基本公式大样本时检验统计量∑=-=ki ii i T T A 122)(χ近似地服从χ2分布，自由度为ν= k －1－（计算T i 时利用样本资料估计的参数个数）其中，A i 和T i 分别为实际观察频数和0H 成立时的理论频数，k 为频数分布的类别总数。
四、拟合优度χ2检验注意事项1．分组不同拟合的结果可能不同，一般要求分组时每组中的理论频数不小于5。
2．需要有足够的样本含量，如果样本含量不大，需要经连续性校正，校正的公式为∑=--=ki ii i T T A 122)5.0(χ第二节 独立样本2×2列联表资料的χ2检验一、2×2列联表资料χ2检验目的两独立样本率差异的比较。
即根据两独立样本的频率分布，检验两个样本的总体分布是否相同。
二、统计量计算公式可直接使用χ2检验基本公式也可使用等价的专用公式或校正公式。
专用公式22()()()()()ad bc n a b c d a c b d χ-=++++校正公式22(||/2)()()()()ad bc n n a b c d a c b d χ--=++++自由度ν=1。
卡方检验
第二节 完全随机设计两组频数分布2检验 一、二分类情形——2×2列联表
例9-2 某医师研究用兰芩口服液与银黄口服液治疗 慢性咽炎疗效有无差别，将病情相似的80名患者随 机分成两组，分别用两种药物治疗，结果见表。
表 9-2 慢性咽炎两种药物疗效资料 药物 兰芩口服液 银黄口服液 合计 疗效 有效 无效 合计
2
(A T ) T
2
(41 36.56) 2 (4 8.44) 2 (24 28.44) 2 (11 6.56) 2 6.565 36.56 8.44 28.44 6.56
自由度
=(2-1)(2-1)=1
（3）确定P值
查附表8， =1对应的临界值 , P<0.025。
（1）建立检验假设 H0：三种剂量镇痛有效的概率相同。 H1：不同剂量镇痛有效的概率不全相同。 检验水准=0.05 （2）按公式(9-8)计算2统计量
32 122 112 92 122 62 53( 1) 7.584 15 26 15 27 20 26 20 27 18 26 18 27
2
( A T 0.5)
2
例9-3 将病情相似的淋巴系肿瘤患者随机分成两
组，分别做单纯化疗与复合化疗，两组的缓解率见
表7-4，问两疗法的总体缓解率是否不同？
表 9-3 两种疗法缓解率的比较
疗效 合计 缓解率（%） 缓解 未缓解 单纯化疗 2 ( 4.8) 10 ( 7.2) 12（固定值） 16.7 复合化疗 14 (11.2) 14 (16.8) 28（固定值） 50.0 合计 16 24 40 40.0 组别
步骤
1.建立检验假设
正态分布拟合优度检验
正态分布拟合优度检验正态分布是概率论中非常重要的一种概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中的许多现象中都有广泛的应用。
正态分布的特点是对称、钟形曲线，均值和标准差分别决定了曲线的中心位置和形态。
在实际应用中，我们经常需要通过样本数据来推断总体数据是否服从正态分布，这就需要用到正态分布的拟合优度检验。
拟合优度检验是一种用来判断一组观测数据是否符合某种理论分布的统计方法。
在正态分布的拟合优度检验中，我们假设总体数据服从正态分布，然后利用样本数据来验证这一假设的合理性。
具体的步骤是先计算样本数据的均值和标准差，然后利用这些统计量来构造正态分布的理论曲线。
最后，我们使用某种统计量来衡量观测数据与理论曲线的拟合程度，从而判断总体数据是否服从正态分布。
常用的拟合优度检验统计量有卡方统计量。
卡方统计量是一种衡量观测数据与理论分布之间差异的统计量，它的计算方法是将观测频数与理论频数之间的差异进行平方后除以理论频数再求和。
卡方统计量越小，表示观测数据与理论分布的拟合程度越好。
在进行正态分布的拟合优度检验时，我们首先需要确定显著性水平。
显著性水平是指在进行假设检验时，所能容忍的拒绝原假设的错误概率。
常用的显著性水平有0.05和0.01两种。
然后，我们需要根据样本数据计算出卡方统计量。
计算卡方统计量时，需要根据样本数据的频数和理论频数来计算每个类别的差异平方和。
最后，我们需要根据卡方统计量和自由度来确定拟合优度检验的结果。
自由度是指在进行假设检验时可以自由变动的数据个数。
拟合优度检验的结果可以有三种情况。
一种情况是拟合优度检验的P值大于显著性水平，这时我们不能拒绝原假设，即认为总体数据符合正态分布。
另一种情况是拟合优度检验的P值小于显著性水平，这时我们可以拒绝原假设，即认为总体数据不符合正态分布。
还有一种情况是拟合优度检验的P值非常接近显著性水平，这时我们需要进一步进行判断，可以考虑增加样本容量或者使用其他的拟合优度检验方法来进行验证。
生物统计学第7章拟合优度检验
7.1.2 拟合优度检验的统计量
• 拟合优度检验一般方法是： （1）将观测值分为k种不同的类别。 （2）共获得n个独立观测值，第i类观测值的数目为
Oi， （3）求第i类的概率Pi （4）第i类的期望数即理论数为Ti，Ti=nPi （5）Oi与Ti进行比较，判断二者之间总的不符合程
例7.3 表7-3是不同给药方式与给药效果表。
解：因为零假设是给药方式与给药效果之间无
关联，则口服与有效同时出现的理论频率应为
口服的频率与有效的频率的乘积， P(BA)=P(B)P(A)=（98/193）（122/193）。其理 论数 由理T论i 频率乘以总数得出，
Ti
( 98 )(122 )193 193 193
7.2.2 对二项分布的检验
1．总体参数已知 【例7.1】纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，F1代自交，第
二代分离数目如下，问是否符合自由组合律？
1. 分组，根据孟德尔独立分配规律，YyRr×YyRr＝ Y_R_ ：Y_rr ：yyR_ ：yyrr=9/16：3/16：3/16： 1/16，因此可分4组。
度是否由于机会所造成的。
2 k (Oi Ti )2
i 1
Ti
若理论数小于5 时应将相邻组 合并，直到大
于5为止。
当df＝1时
2 k | oi Ti |2 0.5
i 1
Ti
Χ2的自由度：df=k-1-a
a为需要由样本估计的参数个数
7.2 拟合优度检验
7.2.1一般程序 （1）对数据进行分组（离散型数据组间距通常是1） （2）根据总体分布类型和样本含量n 计算理论数Ti。 （3）有时需用样本数据估计总体参数。记所估计的参数的个 数为a。 （4）分别合并两个尾区的理论数，使之不小于5，合并后的 组数计为k。 （5）相应于2的自由度为k-1, 相应于3的自由度为k-1-a。 （6）零假设：因为拟合优度检验不是针对总体参数做检验的， 因而零假设不需提出具体参数值，只需判断观测数是否符合理 论数或某一理论分布。它的零假设是观测数与理论数相符合， 可以形象化地记为H0：O-T=0。 （7）计算χ2值。
拟合优度
统计检验-拟合优度检验
样本判定系数
R 2 = 99.29%
线性模型解释了因变量的99.29%，拟合程度 很好。
统计检验-参数估计值显著性t检验
提出原假设： b1 = 0 备择假设：
b1 ≠ 0
构造统计量 T = 计算得
ˆ b1 − 0
检验：取 α=5%，查表得
ˆ Se (b1 ) T = 48.6
2 2 2
∧2
一元线性回归模型举例
研究我国固定资产投资总额与GDP的关系 第一步：建立模型
GDPt = b0 + b1 I t + µ
第二步：收集数据 采用1980~1998年的数据，数据来源《中 国统计年鉴(2000)》
说明：在理论经济学中I表示私人部门投资，在我国的统计体系中， 说明：在理论经济学中I表示私人部门投资，在我国的统计体系中，固定资 产投资总额既包括私人部门投资，也包括公共部门（政府）的投资。 产投资总额既包括私人部门投资，也包括公共部门（政府）的投资。
举例
第三步：参数估计(OLS)，得
ˆ b1 = 2.7058 ˆ b = 2873.5
0
举例
第四步：模型检验 经济意义检验： 经济意义检验 b1的经济含义是固定资产投资乘数， 肯定大于1，按我国的实际情况，不是很大，估计 在4或5以下，通过检验。 统计检验：拟合优度检验、参数估计值显著性检验、 统计检验 模型显著性检验。 计量经济检验（异方差、序列资相关、随机解释变 计量经济检验 量、多重共线性） 模型预测检验
拟合优度（或称判定系数、决定 系数）
判定系数只是说明列入模型的所有解释 变量对应变量的联合的影响程度，不说 明模型中单个解释变量的影响程度。 对时间序列数据，判定系数达到0.9以上 是很平常的；但是，对截面数据而言， 能够有0.5就不错了。
拟合优度检验
拟合优度检验主要是运用判定系数和回归标准差，检验模型对样本观测值的拟合程度。
当解释变量为多元时，要使用调整的拟合优度，以解决变量元素增加对拟合优度的影响。
拟合优度检验是检验来自总体中的一类数据其分布是否与某种理论分布相一致的统计方法。
eg. 一个总体可分为r类，现从该总体获得了一批分类数据，现在需要我们从这些分类数据中出发，去判断总体各类出现的概率是否与已知的概率相符。
譬如要检验一颗骰子是否是均匀的，那么可以将该骰子抛掷若干次，记录每一面出现的次数，从这些数据出发去检验各面出现的概率是否都是1/6.t检验科技名词定义中文名称：t检验英文名称：t-test定义：两总体方差未知但相同，用以两平均数之间差异显著性的检验。
应用学科：生态学（一级学科）；数学生态学（二级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布求助编辑百科名片T检验，亦称student t检验（Student's t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
目录简介编辑本段简介t检验是用t分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。
它与Z检验、卡方检验并列。
t检验是戈斯特为了观测酿酒质量而发明的。
戈斯特在位于都柏林的健力士酿酒厂担任统计学家，基于Claude Guinness聘用从牛津大学和剑桥大学出来的最好的毕业生以将生物化学及统计学应用到健力士工业程序的创新政策。
戈斯特于1908年在Biometrika上公布t检验，但因其老板认为其为商业机密而被迫使用笔名（学生）。
实际上，戈斯特的真实身份不只是其它统计学家不知道，连其老板也不知道。
编辑本段t检验的分类及原理t检验t检验分为单总体检验和双总体检验。
单总体t检验时检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异是否显著。
当总体分布是正态分布，如总体标准差未知且样本容量小于30，那么样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。
第七章-拟合优度检验 (1)
教学目的要求
掌握：拟优合度检验的基本原理和步骤，不 同资料类型分布的拟合度检验，独立性测验 方法。 熟悉：拟合优度检验和独立性检验的应用。 了解：拟合优度检验在遗传学及其他生物学 科中上的应用。
讲授内容
一、拟合优度检验的一般原理 二、拟合优度检验 三、独立性检验
（O i Ti） Ti i 1
2 k
2
4、确定自由度： 2×2列联表的自由度df=(r-1)(c-1)，r是 列联表的行数， c 是列联表的列数，若自由度 =1，则 应做连续性校正，校正后的统计量为：
2 df i 1
k
（O i Ti 0.5） Ti
2
1.061
每皿发芽种子数Xi 观察频数（Oi） OiXi
0 1 0 0 0 0
理论频率（P） 理论频数（Ti）
0.0001 0.0019
卡方值
2
3 4 5 6 7 8 9 10 总计
0
4 14 22 27 19 9 5 0 100
0
12 56 110 162 133 72 45 0 590
0.0125
0.0480 0.1209 0.2087 0.2503 0.2058 0.1111 0.0355 0.0051 1
6.25
0.81
12.09 20.87 25.03 20.58 15.71 100
0.302 0.061 0.155 0.121 0.09 1.539
题解
1、提出假设 H0：O-T=0；HA： O-T≠0 2、总体参数未知，需要由样本比例估计P=590/1000=0.59 3、计算理论值和卡方值，理论频率Pi按照二项分布公式计 算——n=10，0≤k ≤10，理论数Ti=NPi
浅谈总体分布的拟合优度检验
浅谈总体分布的拟合优度检验引言在统计学中，拟合优度检验（Goodness-of-fit test）是用来检验一个样本是否来自于某个特定的总体分布的方法。
总体分布指的是一个概率分布，比如正态分布、伯努利分布等。
拟合优度检验的目的是评估样本数据与总体分布之间的吻合程度，从而判断样本数据是否可以通过总体分布来描述。
拟合优度检验在许多领域都有广泛的应用，比如生物学、医学、经济学等。
本文将讨论拟合优度检验的概念、常用的方法以及实际应用。
1. 拟合优度检验的概念拟合优度检验是一种用来评估观察到的数据与理论分布之间的吻合程度的方法。
它的核心思想是通过统计检验的方法来判断样本数据是否与某个总体分布一致。
拟合优度检验的原假设（null hypothesis）通常是样本数据符合某个特定的总体分布。
而备择假设（alternative hypothesis）则是样本数据不符合该总体分布。
常用的拟合优度检验方法有卡方检验（chi-square test），Kolmogorov-Smirnov检验等。
2. 卡方检验（Chi-square test）卡方检验是一种常用的拟合优度检验方法，它适用于分类数据或离散数据。
其基本思想是通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断样本数据是否来自于某个特定的总体分布。
卡方检验的步骤如下：1.设置原假设和备择假设：原假设通常是样本数据符合某个总体分布，备择假设则是样本数据不符合该总体分布。
2.计算期望频数：根据原假设和样本数据的大小，计算期望频数。
3.计算卡方统计量：利用观察频数和期望频数计算卡方统计量，该统计量反映了观察值与期望值之间的差异。
4.设置显著性水平：选择适当的显著性水平（一般为0.05）。
5.比较卡方值和临界值：利用显著性水平和自由度，比较计算得到的卡方值和临界值。
6.做出判断：如果计算得到的卡方值小于临界值，则接受原假设，即样本数据可以通过总体分布来描述。
如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，即样本数据不符合总体分布。
数理统计14：什么是假设检验，拟合优度检验（1），经验分布函数
数理统计14：什么是假设检验，拟合优度检验（1），经验分布函数在之前的内容中，我们完成了参数估计的步骤，今天起我们将进⼊假设检验部分，这部分内容可参照《数理统计学教程》（陈希孺、倪国熙）。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：什么是假设检验假设检验是⼀种统计推断⽅法，⽤来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的。
其步骤，其实就是提出⼀个假设，然后⽤抽样作为证据，判断这个假设是正确的或是错误的，这⾥判断的依据就称为该假设的⼀个检验。
假设检验在数理统计中有重要的⽤途，⽐如：橙⼦的平均重量是80⽄，这就是⼀个假设。
我们怎么才能知道它是对的还是错的？这需要我们对橙⼦总体进⾏抽样，然后对样本进⾏⼀定的处理，⽐如计算总体均值的区间估计，如果区间估计不包含80⽄，就认为原假设不成⽴，便拒绝原假设。
当然，由于样本具有随机性，因此我们只是对该假设进⾏检验⽽不是证明，也就是说不论假设检验的结果是接受假设还是拒绝假设，都不能认为假设本⾝是正确的或是错误的。
同时，假设的检验也不是唯⼀确定的，对任何假设都可以有⽆数种⽅案进⾏检验，⽐如上⾯的例⼦，95%的区间估计是⼀种检验，99%的区间估计也可以作为检验，90%的当然也可以，只要事先确定了即可。
总之，要将实⽤问题转化为统计假设检验问题处理，⼀般需要经历以下⼏个步骤：明确所要处理的问题，将其转化为⼆元问题，只能⽤“是”和“否”来回答。
设计适当的检验，规定假设的拒绝域，即拒绝假设时样本X 会落⼊的区域范围（当然也可以是统计量会落⼊的范围，这两个意思是⼀致的）。
抽取样本X 进⾏观测，计算需要的统计量的值。
根据样本的具体值作出接受假设或者否定假设的决定。
以下是假设检验问题的⼀些常⽤概念：零假设即原假设，指的是进⾏统计检验时预先建⽴的假设，⼀般是希望证明其错误的假设，⽤字母H 0表⽰。
这种区分⽅式⽐较⽞乎。
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15
125.0~
4
135.0~
3
145.0~155 1
0.87945 1.52111 2.16276 2.80441~ 3.44607
0.81042~ 0.93588~ 0.98472~ 0.99748~ 0.99972
0.12546 0.04884 0.01276 0.00224
18.8190 7.3260 1.9140 0.3360
第七章 总体分布的拟合优度检验
Goodness of Fit Test for Distribution of Population
4/18/2020
华中科技大学同济医学院 宇传华（yuchua@）制作
为什么要知道总体分布？
1. 参数统计学推断方法（如t检验、F检验）均以 服从某一分布（如正态分布）为假定条件。
099.939 141.802 100.601 047.580 016.878 004.790 001.133 000.278
6.201
3.061 1.198 2.601 5.580 1.122
2.799
09.3697 01.4352 06.7652 31.1364 01.2589
07.8344
0.09375 0.01012 0.06723 0.65446 0.07462
100.0 104.9 103.2 114.1 107.8 113.4 108.4 113.7 113.9 112.5 121.7 123.6 108.0 103.9 95.0
131.9 75.3 73.0 121.9 83.3 79.9 85. 88.6 89.1 93.6 94.6 93.3 86.9 98.6 104.3
15.179 18.065
2
11 0.0505
7.5852
3
7 0.0027
0.4116 7.996 12.513 30.578
150
8
H0:该病分布服从二项分布，H1:不服从二项分布
α=0.05
ˆ
发病总人数 调查总人数
01121 20 211 3 7 3150
63 450
0.14
1ˆ 1 0.14 0.86
99.3 116.7 111.8 112.3 113.2 112.8 113.2 110.8 118.6 122.5 92.3 95.8 104.1 57.5 104.1
133.4 151.1 68.9 119.0 81.2 84.5 76.9 87.6 93.6 88.2 86.6 87.6 88.6 99.5 104.2
97.4 97.7 103.2 109.5 115.7 120.1 115.7 108.2 113.1 114.1 99.8 101.4 104.1 99.0 102.3
135.9 76.3 73.4 127.8 82.7 84.8 92.6 93.8 89.9 93.4 89.2 94.6 95.2 101.8 97.0
98.2 95.0 99.8 111.4 108.5 108.6 105.9 109.3 113.2 113.1 115.9 124.7 109.6 99.1 101.4
137.1 78.6 74.1 123.7 83.9 78.9 89.6 93.6 87.6 90.1 87.3 89.6 103.2 95.8 96.8
纵高
χ2分布（chi-square distribution）
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0
f
( 2)
1
2( / 2)
2
2
( / 21) e 2 / 2
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18
卡方值
华中科技大学同济医学院 宇传华（yuchua@）制作
表 7.3 正态分布拟合优度χ2 检验的计算表
实际观 IQ 得分组限 测频数
标准化 组限
累计概率 概 率 理论频数
(1)
55.0 ~ 65.0 ~ 75.0 ~ 85.0 ~ 95.0 ~
Oi
Zi
Ei
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)=150*(5)
4/18/2020
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表 7.2 二项分布的拟合优度χ2 检验计算表
每户发 观察 理论概率 理论
χ2 分量
累计χ2 值
病人数 家庭数
家庭数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
0
112 0.6360 95.4084
2.885
2.885
1
20 0.3106 46.5948
4/18/2020
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2. 计算步骤
(1) H 0:样本的总体分布与该理论分布无区别 H1 :样本与该理论分布有区别
0.05
(2)列出各组的实际频数与理论频数
(3) Pearson 2 统计量
2 P
k （实际频数-理论频数）2
i 1
实际 方格数 （Oi）
(2)
理论概率 (Pi) (3)
理论 方格数 （Ei）
(4)
Oi Ei Oi Ei 2
(5)
(6)
Oi Ei 2
Ei
(7)
0 1 2 3 4 5 6 7 合计
103 0.24198 143 0.34335
98 0.24359 42 0.11521 18 0.04087
6 0.01160 2 0.00274 1 0.00067 413
1.26461
2.16478
P(2) 2 e 1.418892 0.24198 0.24359， P(7) 1 P(x 6) 0.00067
2!
2
理论细胞计数为 0 的方格数应等于 0.24198×413=99.939，…。
因细胞计数为 5、6、7 的三组，理论频数均小于 5，故将这三组数据合并
可仿照上述二项分布、Poisson分 布的方法进行分布的拟合优度检验。
4/18/2020
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第三节 连续型随机变量分布的 拟合优度检验
一、采用卡方检验进行正态性检验
二、采用Shapiro-lmogorov-Smirnov法进行
1
－2.97048~ 0.00149~ 0.00844 1.2660
5
－2.32882 0.00993~ 0.03586 5.3790 6.6450
15
－1.68717 0.04579~ 0.10210 15.3150
31
－1.04551 0.14789~ 0.19527 29.2905
39
－0.40386 0.34316~ 0.25082 37.6230
4/18/2020
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卡方分布下的检验水准及其临界值
4/18/2020
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第二节 离散型随机变量分布的 拟合优度检验
一、二项分布的拟合优度检验
二、Poisson分布的拟合优度检验
【例7.3】将酵母细胞的稀释液置于某种计量 仪器上，数出每一小方格内的酵母细胞数， 共观察了413个小方格，结果见表7.3第1、2 列，试问该资料是否服从Poisson分布？
H0:方格内酵母细胞的个数服从 Poisson 分布;
H1:…个数不服从 Poisson 分布
α=0.05
理论概率 P( x) x e
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数据格式与计算公式
类别或组段 观察频数
理论频数
1
O1
E1
2
O2
E2
…
…
…
k
Ok
Ek
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
2 P
k i1
(Oi
Ei )2 , Ei
a为参数的个数
k 1 a
注意：理论频数Ei不宜过 小（如不小于5），否则需 要合并组段！
0.77500 1.37894 9.5760 0.25938 1.63832
=7-1-2=4，
2 0.05,4
9.49 ，在α=0.05
的水准不拒绝
Ho，故认为
IQ
得分服从正态分布
Z X X 55 101.294 2.97048
S 15.5847121
4/18/2020
华中科技大学同济医学院 宇传华（yuchua@）制作
理论频数
O1 E1 2 (O2 E2 )2 ... (Ok Ek )2
E1
E2
Ek
k 1 (计算理论分布时所用
自由度 参数的个数)
（4） 确定概率 P 并作出统计推论。
4/18/2020
华中科技大学同济注医意学：院理宇论传华频（数yu不chu宜a@过16小3.c，om否）制则作需要合并
2. 实际工作中需要了解样本观察频数（Observed frequency，简记为O）是否与某一理论频数（ Expected frequency，简记为E）相符。
4/18/2020
华中科技大学同济医学院 宇传华（yuchua@）制作
本章介绍的拟合优度检验方法
1. 卡方检验
2. 正态性检验的W法（Shapiro-wilk法）、D法（ Kolmogorov-Smirnov法）
4/18/2020
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