《定弦定角》练习

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(完整版)定弦定角最值问题(含答案)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12-【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147-。

隐圆模型---定弦定角【模型专题】(含答案解析)

【详解】解：如图，连接CE，ห้องสมุดไป่ตู้
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴点E在以BC为直径的⊙Q上，
∵BC＝4，
∴QC＝QE＝2，
当点Q、E、A共线时AE最小，
∵AC＝10，
∴AQ＝ = ，
∴AE＝AQ−QE＝，
∴AE的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
【结论3】如图所示，在中，A，B均为定点，点P为平面内一动点，且（或），则点P在以为底，以为腰构造等腰（或）的顶点C（或）为圆心的圆上运动．
【解题技巧】
构造隐圆
圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题．
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧
【答案】 ﹣2
【解析】
【详解】试题分析：如图，连接BO′、BC.在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B- O′E，利用勾股定理求出B O′即可解决问题.
点睛：本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理以及圆的基本性质的问题，本题有一定的难度.解决本题的关键问题就是找出点E所运动的轨迹是什么，然后根据两点之间线段最短以及直角三角形的勾股定理进行求解得出答案.同学们对于解决动点问题时，首先要找出运动轨迹，然后根据题意得出最短距离.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）如图①，先作等边三角形，再以点为圆心，为半径作，则与矩形的边，的交点，即是使的所有点；

(完整版)定弦定角最值问题(教师版)

定弦定角最值问题（答案版）【例1】（2016 •新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC = 3 , BC = 4J2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O ACD的外接圆，直线BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（）解：J/ CDP = Z ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过O时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BO'C = 90 °•△ BO C为等腰直角三角形.•./ ACO = 45 °+ 45 °= 90 °•AO = 5又OB = O'C= 4•- AD = 5 —4 = 1【例2】如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接当CE过圆心O时，CE有最小值为-J3 2BD交圆于E点，连CE,贝U CE的最小值为（）169解：连接AE•/ AD为O O的直径•••/ AEB = / AED = 90 °•E点在以AB为直径的圆上运动C. .2D. ,414 2A. 1B. 21）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4 . 2，/ ACB = 45° AM IIBC ，点P 在射线AM 上运动，连 BP 交厶APC 的外接圆于 D ，则AD 的最小值为（）A . 1 ■_W【练】（2015 •江汉中考模拟-.oAB4..3c交aB 223 *0CD2B . 6 33 A . 12 6,3C . 12 3.3D . 6 A.-啕诂目隹丹丘it 按丿E 易汞丄片虾・圧戸二上*虾・宴罠厶乂肚的叢丸丽希则点芒駆腼閉壯\ AB=1^, ^ACB=XT,R^AMB =<M *・当^c^t^jsfn 中屯肘* 点闭肋睡琥大.此01氐册?两梅三甸肪CV2樁+玄皿L*X2括X （2』J"・&+M ，放说3,【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O O 的半径为1,弦AB = 1,点P 为优弧AB 上一动点,••• AD 的最小值为 5 — 4= 1 % /■…/【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O 的半径为2,弦AB 的长为2... 3，点P 为优弧上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点C ,则△ ABC 的面积的最大值是（.⑼M 救学早呵H 權H n »）才闻，®。

2019年初三数学定弦定角最值问题

定弦定角最值问题1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-第1题图第2题图第3题图2、如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 3、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-4、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+5、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．436、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________第6题图第7题图 7、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________8、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是弧BC 上上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________9．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________10．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________AC定弦定角最值问题1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，BC 交⊙O 于E 点，弧AE ＝弧CP ，则AD 的最小值为（ A ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-第1题图第2题图第3题图弧AE ＝弧CP ∠ACB ＝∠PDC ＝45° ∠BDC ＝135° D 在⊙G 上，AD ≥AG －4＝5－4＝12、如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ A ）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 3、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ A ）（与第1题相同解法）A ．1B ．2C ．2D ．324-4、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ B ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+5、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ C ）（与第4题相同解法）A ．21B ．22C ．23D ．436、如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________3－1第6题图第7题图第8题图 7、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________2－18、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是弧BC 上上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________72 － 19．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________32+3第9题图第10题图10．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________45－ 4ACDP。

定弦定角构造辅助圆

专题25 定弦定角构造辅助圆1．如图，点P 是正六边形ABCDEF 内一点，4AB =，当90APB ∠=︒时，连接PD ，则线段PD 的最小值是( )A ．2B ．2-C ．6D ．【解答】解：4AB =，90APB ∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的圆弧上，如图，取AB 的中点O ，连接OD ，当O 、P 、D 三点共线时，PD 有最小值，连接BD ，过点C 作CH BD ⊥于点H ，点O 为AB 的中点，422OA OB OP ∴===÷=，正六边形的每个内角为180(62)6120︒⨯-÷=︒，CD CB =，(180120)230CBD ∴∠=︒-︒÷=︒，2BD BH =，1203090OBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt CBH ∆中，122CH CB ==，BH =BD ∴=在Rt OBD ∆中，OD ，PD ∴的最小值为2OD OP -=．故选：B ．2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 在x 轴上移动，在运动过程中，直线y =上的点P 如果满足30APB ∠=︒，则点P 为好点，当AB 在x 轴上运动到某一位置时，好点P 的个数最多有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：如图，当AB在x轴的正半轴时，构建等边三角形ABC，以C为圆心，以CA 为半径作辅助圆C，直线y=与C的交点就是点P，此时1302APB ACB∠=∠=︒，∴好点P最多有两个，同理在x轴的负半轴时，也存在两个好点P，故选：B．3．如图，BC是O的直径，BC=，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且120MON∠=︒，ABC∆的内心为E点，当点A在MN上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是()A．23πB．43πC．83πD．163π【解答】解：如图，连接BE 、CE ，90BAC ∠=︒，E 是内心，135BEC ∴∠=︒，∴点E 在以P 为圆心的PC 为半径的圆上运动（轨迹是)GH ，在P 上取一点M '，连接BM '、CM '，则18013545M ∠'=︒-︒=︒，290BPC M ∠=∠'=︒，BCP ∴∆是等腰直角三角形， 4BC =，4PB PC ∴==，122HPC HBC NBC NOC ∠=∠=∠=∠，同理12GPB MOB ∠=∠， 1()302HPC GPB NOC MOB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 60GPH ∴∠=︒， ∴点E 运动的路径长是60441803ππ⋅=，故选：B ．4．如图，在平面直角坐标系中，等边OAB ∆的边OB 在x 轴正半轴上，点(3,)A m ，0m >，点D 、E 分别从B 、O 以相同的速度向O 、A 运动，连接AD 、BE ，交点为F ，M 是y 轴上一点，则FM 的最小值是( )A ．3 B1 C．2 D．6-【解答】解：如图，OAB ∆是等边三角形，60AOB ABD ∴∠=∠=︒，OB AB =，点D 、E 分别从B 、O 以相同的速度向O 、A 运动，BD OE ∴=，在OBE ∆和DAB ∆中，60OE BD BOE ABD OB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OBE DAB SAS ∴∆≅∆，OBE BAD ∴∠=∠，60ABE BAD ABE OBE ABO ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒180()120AFB ABE BAD ∴∠=︒-∠+∠=︒，∴点F 是经过点A ，B ，F 的圆上的点，记圆心为O '，在O '上取一点N ，使点N 和点F 在弦AB 的两侧，连接AN ，BN ，18060ANB AFB ∴∠=︒-∠=︒，连接O A '，O B '，2120AO B ANB '∴∠=∠=︒，O A O B ''=，ABO BAO ''∴∠=∠，11(180)(180120)3022ABO AO B ''∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 60ABO ∠=︒，90OBO '∴∠=︒，AOB ∆是等边三角形，(3,)A m ，23AB OB ∴==⨯，m =过点O '作O G AB '⊥，132BG AB ∴==，在Rt △BO G '中，30ABO '∠=︒，3BG =，3cos cos30BG O B ABO '∴==='∠︒， (6O '∴，，设(0,)M n ，O M '∴=FM O M O F ''∴=-=，只有0n -=时，(n -最小为06．当0n -=时，即：n =时，FM 最小，6FM ∴=-的最小值．故选：D ．5．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，则线段DP1 ．【解答】解：如图：，动点F ，E 的速度相同，DF AE ∴=，又正方形ABCD 中，2AB =，AD AB ∴=，在ABE ∆和DAF ∆中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DAF ∴∆≅∆，ABE DAF ∴∠=∠．90ABE BEA ∠+∠=︒，90FAD BEA ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，点P 在运动中保持90APB ∠=︒，∴点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为G ，连接CG 交弧于点P ，此时CP 的长度最小， 112AG BG AB ===．在Rt BCG ∆中，DG =1PG AG ==，1DP DG PG ∴=-=即线段DP 1，1．6．如图，正方形ABCD ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，点E 在圆弧上，EH BC ⊥于点H ，P 是EHB ∆的内心，2AB =，则AP 的最小值为【解答】解：连接PE 、PC 、PB ．P 是EHB ∆的内心，90EHB ∠=︒，1180()1352EPB HEB HBE ∴∠=︒-∠+∠=︒， BC BE =，PBC PBE ∠=∠，PB PB =，PBC PBE ∴∆≅∆，135BPC BPE ∴∠=∠=︒（定角）， ∴点P 的运动轨迹是圆弧，以BC 为斜边在BC 的下方作等腰直角三角形BCO ，连接OP 、OA ．则以点O 为圆心，OB 为半径的O 是点P 的轨迹，AP AO OP -，∴当O 、P 、A 共线时，PA 的值最小，作OM AB ⊥于M ．易知OB ，1OF BF ==，OA =PA ∴-7．如图，在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点P 是BC 上的一个动点，连接AP ，把PAB ∆沿着AP 翻折到△PB C '（点B '在矩形的内部），连接B C '，B D '．点P 在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得△B CD '为直角三角形，则a ，b 之间的数量关系是 b = ．【解答】解：如图，以CD 为直径作O ，当点A 到O 的最小距离等于AB 时，使得△B CD '为直角三角形且唯一，在Rt ADO ∆中，222AD OD OA +=，22211()()22b a a a ∴+=+，整理得222b a =，0a >，0b >，b ∴=．8．如图，O 的直径为4，C 为O 上一个定点，30ABC ∠=︒，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧），当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．CD．（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为43（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为．【解答】解：（1）如图1中，AB=AB是直径，30∠=︒，4ABCAC=，A P∠=∠=︒，2∴∠=︒，60ACB90⊥，CD PC=⋅︒，CD PC90∴∠=︒，tan60PCD=，==，PC的最大值为直径4ACPC的最小值2∴的最小值为CD点P与点C在直径AB的异侧∴．CD43CD．故答案为43（2）如图2中，在Rt PCDP∠=︒，60∠=︒，PCD∆中，90PDC∴∠=︒，30∴点D在以BC为弦的O'（红弧线）上运动，∴当A、O'、D共线时，AD的值最大．连接CO'、BO'．'='，∠'=∠=︒，O C O BBO C CDB260'是等边三角形，∴△O BC∴'==60BO BC∠'=︒，CBO∠=︒，30ABC∴∠'=︒，90ABOAO∴'=AD AO O D∴='+'=∴的最大值为AD故答案为9．如图，AB是O的直径，C为圆上一点，且120∠=︒，O的半径为2，P为圆上AOC一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最大值是1+【解答】解：如图，连接OQ，作CH AB⊥于H．AQ QP =，OQ PA ∴⊥，90AQO ∴∠=︒，∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，在Rt OCH ∆中，60COH ∠=︒，2OC =，112OH OC ∴==，CH =，在Rt CKH ∆中，CK =CQ ∴的最大值为1+10．如图，P 是矩形ABCD 内一点，4AB =，2AD =，AP BP ⊥，则当线段DP 最短时，CP =【解答】解：以AB 为直径作半圆O ，连接OD ，与半圆O 交于点P '，当点P 与P '重合时，DP 最短，122AO OP OB AB ='===， 2AD =，90BAD ∠=︒，OD ∴=，45ADO AOD ODC ∠=∠=∠=︒，2DP OD OP ∴'=-'=，过P '作P E CD '⊥于点E ，则22P E DE DP '=='=，2CE CD DE ∴=-=，CP ∴'=故答案为：11．在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A -、(0,3)B ，点C 是x 轴正半轴上的一点，当45BCA ∠=︒时，点C 的坐标为 (6,0) ．【解答】解：如图，作ABC ∆的外接圆P ，过P 作EP BA ⊥，PF OC ⊥于F ， AE BE ∴=，点(0,2)A -、(0,3)B ，5AB ∴=，1(0,)2E ∴， 45ACB ∠=︒，90APB ∴∠=︒，1522PE AB ∴==， 5(2P ∴，1)2，在Rt PBE ∆中，52PE BE ==，由勾股定理得：PB ，在Rt PFC ∆中，12PF =，PC PB =72FC = 57622OC OF CF ∴=+=+=， ∴点C 坐标为(6,0)，故答案为(6,0)．12．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D 出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，由轴对称的性质可知：MD D M='，2='=CD CD∴+=+'='PM DM PM MD PD过点P作PE垂直DC，垂足为G，易证AF BE⊥，故可知P的轨迹为以AB为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，PG和GD'均最短，∴此时，PD'最短．四边形ABCD为正方形，112PG AD ∴==，112GC DC ==． 3GD ∴'=．在Rt PGD ∆'中，由勾股定理得：PD '===13．如图，边长为4的正方形ABCD 外有一点E ，90AEB ∠=︒，F 为DE 的中点，连接CF ，则CF 的最大值为 1 ．【解答】解：解法一：如图，以AB 为直径作圆H ，90AEB ∠=︒，∴点E 在这个H 上，延长DC 至P ，使CD PC =，连接BE ，EH ，PH ，过H 作HM CD ⊥于M ， EF DF =，CD PC =，12CF PE ∴=， Rt AEB ∆中，H 是AB 的中点，122EH AB ∴==，Rt PHM ∆中，由勾股定理得：PH ==2PE EH PH +=+，当P ，E ，H 三点共线时，PE 最大，CF 最大，CF ∴1；解法二：连接BD ，取BD 、AD 的中点为H 、G ，连接FH 、GF ，F 为DE 的中点，FH ∴是BDE ∆的中位线，FG 是ADE ∆的中位线，//FH BE ∴，//FG AE ，HFD BED ∴∠=∠，GFD AED ∠=∠，90AEB ∠=︒，90BED AED ∴∠+∠=︒，90HFD GFD ∴∠+∠=︒，90HFG ∴∠=︒，∴点F 在以GH 为直径的半圆上运动，取GH 的中点I ，则CF 最大时，是经过圆心I ， GH 是ABD ∆的中位线，114222GH AB ∴==⨯=， 1GI ∴=，过I 作IM CD ⊥于M ，在Rt CIM ∆中，413CM =-=，2IM =，由勾股定理得：CI ==1CF ∴'=，1．14．如图，正方形ABCD 中，4AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D '，连接PD '，由轴对称的性质可知：MD D M ='，4CD CD ='=，PM DM PM MD PD ∴+=+'='过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，易证AF BE ⊥，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD '均最短，∴此时，PD '最短．四边形ABCD 为正方形，122PG AD ∴==，122GC DC ==． 6GD ∴'=．在Rt PGD ∆'中，由勾股定理得：PD '===．故答案为三．解答题（共4小题）15．在平行四边形ABCD 中，AD =，2AB =，45A ∠=︒，问AB 边上是否存在一个点P ，使得45DPC ∠=︒？若存在，请求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：存在．理由如下，如图，作DM AB ⊥于M ．在Rt ADM ∆中，2AD =45A ∠=︒，1AM DM ∴==， 2AB =，1AM BM DM ∴===，90ADB ∴∠=︒，//AD CB ，90DBC ADB ∴∠=∠=︒，ADB ∆，DBC ∆的是等腰直角三角形，BD BC AD ∴==以B 为圆心BC 画圆交AB 于P ，此时1452DPC DBC ∠=∠=︒，PB BC ∴==2AP AB PB ∴=-=16．已知线段2BC =，用尺规作ABC ∆，使45A ∠=︒，你能作出多少个满足条件的三角形？【解答】解：如图，当2BC =，90BOC ∠=︒时，点A 在优弧BC 上， 1452A BOC ∠=∠=︒， 45A A A ∴∠'=∠''=∠=︒，∴满足条件的点A 有无数个．17．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，BC =1CD =，90ABC BCD ∠=∠=︒，点E 、点P 是四边形内的动点，且150AED ∠=︒，求PC PB PE ++的最小值．【解答】解：过点A 作AG CD ⊥于点G ，90ABC BCD ∠=∠=︒，∴四边形ABCG 是矩形，2CG AB ∴==，AG BC ==211DG ∴=-=，Rt AGD ∆中，tan AG AHD GD∠==， 60ADG ∴∠=︒，2AD =，延长DG 至点O ，使得2OD AD ==，OAD ∴∆是等边三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，∴优AD 的度数为300︒，150AED ∠=︒，∴点E 在O 上，BPC ∆绕着点B 顺时针旋转60︒至△BP C ''，BP BP ∴='，PC P C ='，60PBP ∠'=︒，BP PP ∴='，PC PB PE P C PP PE ∴++='+'+，而OE 是定值，∴求P C PP PE '+'+最短，就是求P C PP PE OE '+'++最短，当O 、E 、P 、C '四点共线时，P C PP PE OE '+'++最短，最短值就是OC '的长，过点C '作C F OC '⊥于点F ，BCC ∆'是等边三角形，12C F BC ∴'=，32CF F '=，OC ∴'=，P C PP PE OE ∴'+'++P C PP PE ∴'+'+2，PC PB PE ∴++2．18．如图1，已知四边形ABCD 是平行四边形，AC BC ⊥且AC BC =，以BC 、AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(6,0)B -，直线3y x b =+过点D 且与x 轴交于点M ．（1）请直接写出点D ，b 的值及点M 的坐标；（2）如图2，点E 是线段AB 上的一点，点F 是线段AC 上的一点，且45CEF ∠=︒，若CEF ∆为等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如图3，点G 为y 轴正半轴上的一点，当45BGM ∠=︒时，求线段AG 的长．【解答】解：（1）如图1，(6,0)B -，6BC ∴=，AC BC =，6AC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，且AC BC ⊥，6AD BC ∴==，AD AC ⊥，(6,6)D ∴，把(6,6)D 代入3y x b =+中得：636b =⨯+，12b =-，312y x ∴=-，当0y =时，3120x -=，4x =，(4,0)M ∴；（2）若CEF ∆为等腰三角形，分三种情况讨论：①当CE CF =时，如图2，则CEF CFE ∠=∠，45CEF ∠=︒，E ∴与B 重合，F 与A 重合，AE AB ∴==；②当CE EF =时，如图3，过E 作EH AC ⊥于H ，则CEH FEH ∠=∠， 45CEF ∠=︒，14522.52CEH ∴∠=⨯︒=︒， 9022.567.5ECH ∴∠=︒-︒=︒，在AEC ∆中，45BAC ∠=︒，1804567.567.5AEC ∴∠=︒-︒-︒=︒，AEC ECH ∴∠=∠，6AE AC ∴==；③当EF CF =时，如图4，设EF x =，EF FC x ==，45CEF ∠=︒，45EFC CEF ∴∠=∠=︒，90EFC ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，AFE ACB ∴∠=∠，//EF BC ∴， ∴EF AF BC AC=， AC BC =，EF AF ∴=，6x x ∴=-，3x =，3EF AF ∴==，∴=，AE综上所述：AE的长为6或（3）如图5，作BM的中垂线交AB于E，交BM于P，过E作EF y⊥轴于F，连接EM、GE，EB EM∴=，∠=︒，45ABC∴∠=∠=︒，ABC EMB45∴∠=︒，BEM90∠=︒，BGM45∆的外接圆的圆心，∴点E是BGM∴==，EG EB EMCM=，BC=，46∴=，BM10∴==，BP PE5∴==，BE∴=，EGEF=-=，651∴，7GF∴=+-=+-=．AG GF FC AC7566。

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题（答案版）【例11 （2016 •新观察四调模拟 1）如图，△ ABC中，AC = 3 , BC = 4j2，/ ACB = 45° D为△ABC内一动点，O O为^ ACD的外接圆，直线 BD交O O于P点，交BC于E点，弧AE= CP, 则AD的最小值为（D. 741 4^2解：•••/ CDP = / ACB = 45°•••/ BDC = 135 ° （定弦定角最值）如图，当AD过0时，AD有最小值•••/ BDC = 135 °•••/ BOC = 90 °•- △ BOC为等腰直角三角形:丄 ACO = 45。

+ 45 °= 90 °••• AO = 5又 O B = O 'C= 4• AD = 5 — 4= 1【例21如图，AC = 3，BC = 5,且/ BAC = 90° D为AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于E 点，连CE,贝y CE的最小值为（2 C. 5•/ AD为O 0的直径•••/ AEB = / AED = 90 °••• E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心 0时，CE有最小值为J131）如图，在△ ABC 中，AC = 3，BC = 4运，/ ACB = 45° AM II BC，【练1 （2015 •江汉中考模拟BP交△APC的外接圆于点P在射线AM上运动，连A . 1B. C. ©解：连接CDFAC = Z PDC = Z ACB = 45 °BDC =135 °•••/如图，当AD过圆心0时，AD有最小值•••/ BDC = 135°•••/ BO 'C =90°又/ ACO = 90°••• AO = 5• AD的最小值为 5 — 4= 14P MD【例3】（2016 •勤学早四调模拟 1）如图，O O的半径为2,弦AB的长为2/，点P为优弧AB上一动点，AC丄AP交直线PB于点C,则△ ABC的面积的最大值是（C. 12 3^3A. 12 6^3B. 6 3 品+ 口016®学早佩®删一11帕如開，（50汩丰径etr：；■带』5凹艮尢？Jb点P糊:亚甘用上一可皿:丄处交直线戸母干怎G刚&1F匚的面积的眾"A灌是＜A. 12+6 C L2+J 75*构诂H色BE崔歿扭摘汞眇三上P, 発罠二/肚的衆如杞.刖点C負的匪离最俎丁堪£=2再・厶CA町…'点芒在O席上.斗仙=60%当点f为阀;曲旳中百时.点£至］.松們距fflS丸1 此梅二勺豚CV=2祷+3』^^c=|x2^X(27143)=6+3^/5*【练】（2014 •洪山区中考模拟 1）如图，O0的半径为1,AC丄AP交直线PB于点C,C. 2则△ ABC的最大面积是（2也4A(1 , 0)、B(3, 0)，以AB为直径作O M,射线OF交OM于E、F两点，C为弧为EF的中点.当射线绕 O点旋转时，CD的最小值为___•••点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动当CD过圆心 A时，CD有最小值连接CM••• C为弧AB的中点••• CM 丄 AB••• CD的最小值为近1【练】如图，AB是O O的直径，AB = 2，Z ABC = 60°•/ D为弦AP的中点••• OD 丄 AP•••点D在以AO为直径的圆上运动当CD过圆心 O'时，CD有最小值过点C作CM丄AB于M •/ OB = OC，/ ABC = 60° •••△ OBC为等边三角形1J3••• OM = -，CM =二322【例5】如图，•/ D是弦EF的中点•••DM 丄 EFP是上一动点， D是AP的中点，连接BO'C =4••• CD的最小值为旦4练习：如图，在动点 C与定长线段AB组成的△ ABC连接DE .当点C在运动过程中，始终有AB 中，AB= 6，AD丄BC于点D , BE丄AC于点E ,DE 屯，则点C到AB的距离的最大值是________________ 2。

二次函数与特殊角问题(定弦定角类)

二次函数角度问题（定弦定角类）针对所求点为角的顶点我们在隐圆篇讲过一类动点轨迹问题，“定角+定对边”可确定动点轨迹为圆弧。

接下来我们用隐圆来解决二次函数中的一类角度问题。

首先看下面两个小题。

1．点A（﹣5，0），B（1，0），点C在y轴上．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为___________。

分析：AB是定长，∠ACB=60°（定角），所以点C的轨迹为一段弧，又点C在y轴上，所以以AB为底边，∠ADB=120°为顶角作等腰三角形。

再以D为圆心，AD(或BD）为半径作圆，以y轴的交点即为点C。

注意符合题意的点C有两个。

接下来就是如何计算点C的坐标了。

在此提供两种方法：（1）利用垂径定理求解，从点D分别作x轴和y轴的垂线。

角度特殊，计算简单；（2）求半径（AD或BD）,设点C（0，y）利用两点距离公式CD=半径求解。

2.如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为．分析：本题的关键在于求解AD。

由于BC定边，∠BAC=45°，满足定角定对边模型。

可用辅助圆求解。

先定圆心，以BC为底边，90°为顶角作等腰三角形BOC。

点O即为辅助圆的圆心。

利用垂径定理可求AD。

总结：以上2题解法不唯一，但辅助圆是一种相对简便的方法。

尤其是前面已经有了隐圆轨迹模型的学习，再用辅助圆来解答，让学生进一步加深对模型的认知。

例1、如图，抛物线y＝过点A（3，2），点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：先作图再计算。

所求点Q是∠AQM的顶点，可用辅助圆进行求解。

AM为辅助圆的弦，那圆心该如何确定呢？考虑到∠AQM=45°（圆周角），那么弧AM所对的圆心角为90°，过点A作AB⊥直线x=1，垂足为点B。

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题(含答案)(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213-【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-解：连接CD ∴∠PAC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23 D ．43【例5】如图，A (1，0)、B (3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23 ∴O ′C ＝47 ∴CD 的最小值为2147。

完整版定弦定角最值问题教师版

定弦定角最值问题（答案版）△45°＝【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC中，AC3，BC为＝＝，∠，ACBD24，CP于E点，弧AE＝△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BCABC内一动点，⊙O为的最小值为（）则AD．B．2CD．A．12241?4＝45°：∵∠CDP＝∠ACB解135°（定弦定角最值）∴∠BDC＝AD有最小值过O′时，如图，当AD 135°∵∠BDC＝＝BO90°′C∴∠BO′C∴△为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）162?21313?．D．B．5A．C 9解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动13?2 CE有最小值为CE过圆心O′时，当42，∠ACB＝45°，3，BC＝AM∥BC，AC如图，在(2015【练】·江汉中考模拟1)△ABC中，＝点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1B．2242?3 ．D ．CCD解：连接＝∠ACB＝45°∴∠PAC＝∠PDC135°BDC＝∴∠AD有最小值如图，当AD过圆心O′时，135°∵∠BDC＝90°∴∠BO′C＝4 B′＝O′C＝∴O又∠＝90°ACO′5′＝∴AO1＝5－4∴AD的最小值为32AB例【3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，的长为P，点的半径为2，弦AB为优弧⊙O ABC的面积的最大值是（）C上一动点，AC⊥AP交直线PB于点，则△3633?12312?66?334?．．AC．B ． D·洪山区中考模拟1)如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧【练】(2014AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）12．A． B 2233．．C D 24为弧于E、F两点，CAB(3，0)，以为直径作⊙M，射线OF交⊙M，【例5】如图，A(10)、B__________的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为AB的中点，D为EF解：连接DM的中点D是弦EF∵EF∴DM⊥为直径的圆上运动为圆心的，OM∴点D在以A有最小值时，CD当CD过圆心A连接CM AB 的中点∵C为弧⊥AB∴CM CD的最小值为∴12?的中点，连接AP是60°，P是上一动点，D，∠AB【练】如图，是⊙O的直径，AB＝2ABC＝__________ 的最小值为CD，则CDOD解：连接D为弦AP的中点∵OD⊥AP∴在以AO为直径的圆上运动∴点D CD有最小值′当CD过圆心O时，过点C作CM⊥AB于M∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴△OBC为等边三角形13，CM＝∴OM＝22．7＝C∴O′417的最小值为CD∴?24练习：如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DE2 _________AB 的距离的最大值是到CDE连接．当点在运动过程中，始终有，则点C?AB2。

定弦定角经典例题

在定弦定角问题中，若弦长为10cm，半径为13cm，则弦所对的圆心角（小于平角）的度数为：A. 60°B. 90°（正确答案）C. 120°D. 150°已知圆内接四边形的对角互补，若其中一个角的度数为120°，则其对角的度数为：A. 30°B. 60°（正确答案）C. 90°D. 150°在一个半径为5的圆中，有一条长度为6的弦，该弦所对的劣弧的圆心角为：A. 72°（正确答案）B. 108°C. 144°D. 216°若圆中一条弦把和它垂直的半径分成3cm和4cm两部分，则这条弦的长度为：A. 3cmB. 4cm（正确答案）C. 5cmD. 6cm在一个圆中，若一条弦的长度等于半径，则该弦所对的圆心角（小于平角）的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°（正确答案）D. 90°已知圆的一条弦长为8cm，该弦所对的圆心角为120°，则圆的半径为：A. 4cmB. 8cm（正确答案）C. 12cmD. 16cm在一个半径为10的圆中，有一条弦与半径垂直且把半径分为两段，其中较长的一段为6，则弦长为：A. 8cm（正确答案）B. 10cmC. 12cm已知圆的一条弦把半径分为3cm和7cm两部分，且弦与半径不垂直，则弦长为：A. 4√3cmB. 6√3cmC. 8√3cm（正确答案）D. 10√3cm在一个圆中，若一条弦所对的圆心角为60°，则该弦与两条半径构成的三角形的面积为（假设半径为R）：A. (1/2)R²B. (√3/2)R²（正确答案）C. (√3/4)R²D. (1/4)R²。

初中数学：定弦定角最值问题

九年级讲义：定弦定角最值问题【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD 的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________ABCDP2．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为»BC中点，P为»AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________定角、定线段与定圆问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

13、定弦定角最值问题

22九年级讲义：定弦定角最值问题主要是体现在题目中出现了固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为隐圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角，借助隐圆来分析问题极其方便，关键是要先发现隐含着的特殊度数的角。

【例1】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD 交⊙O于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（）【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE，则CE 的最小值为（）【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC的外接圆于D，则AD 的最小值为（）【例3】如图，⊙O的半径为2，弦AB 的长为2 ，点P 为优弧AB 上一动点，AC3⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）【练】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积是（）【例4】如图，边长为3 的等边△ABC，D、E 分别为边BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P 点，则CP 的最小值为【例 5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB 为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于E、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时，CD 的最小值为【练】如图，AB 是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD，则CD 的最小值为针对练习：1.如图，在动点 C 与定长线段 AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC于点 D，BE⊥AC于点E，连接 DE．当点 C 在运动过程中，始终有DEAB 2 ，则点 C 到 AB 的2距离的最大值是3332.如图，已知以BC 为直径的⊙O，A 为B C 中点，P 为 AC上任意一点，A D⊥AP 交BP 于D，连CD．若BC＝8，则CD 的最小值为3.如图，在⊙O中，弦AD 等于半径，B 为优弧AD 上的一动点，等腰△ABC的底边BC 所在直线经过点D，若⊙O的半径为1，则OC 的长不可能为（）A. 2－ B. －1 C.2 D. ＋13.如图，E，F是正方形A B C D的边A D上两个动点，满足A E＝D F．连接C F交B D 于G，连接B E交A G于点H．若正方形的边长为2，则线段D H长度的最小值是( )．23.如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=4 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD，以AD 为直径的圆交BD 于E，连接CE，则线段CE 长的最小值为( )4.如图，直径 AB、CD 的夹角为 60 º，P 为⊙O一的个动点（不与点 A、B、C、D 重合）。

圆中的定弦定角和最大张角模型(解析版)--中考数学满分突破

圆中的定弦定角和最大张角模型模型分析【模型1】定弦定角模型如图28-1，在ΔABC中，BC的长为定值a，∠A=α为定角度，(1)确定点A的运动轨迹，有3种情况：①如图28-2，当α<90°时，点A的运动轨迹为优弧BAC(不与B、C点重合)；②如图28-3，当α=90°时，点A的运动轨迹为⊙O(不与点B、C重合)；③如图28-4，当α>90°时，点A的运动轨迹为劣弧BAC(不与B、C点重合)。

(2)构成等腰三角形(AB=AC)时：点A到BC的距离最大，且此时ΔABC的面积最大。

【模型变式1】如图28-5，已知点A、B是∠EPF的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，∠AQB最大。

⇒当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。

【证明】如图28-6，作ΔAQB的外接圆⊙O，设点Q 为PE上不同与Q点的任意一点，连接Q A、Q B，Q A与⊙O交于点D，连接BD，∵∠ADB>∠AQ'B,∠AQB=∠ADB∵∠AQB>∠AQ'B∴当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。

典例分析【例1】如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接CE ．首先证明∠BEC =120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．【解析】解：如图，连接CE ．∵AP ∥BC ，∴∠PAC =∠ACB =60°，∴∠CEP =∠CAP =60°，∴∠BEC =120°，∵BC =83,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC上运动，过点M 作MN ⊥BC ∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°，则劣弧BC度数为120°∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8，∴连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．∵∠ACB =60°，∠BCO =30°，∴∠ACM =90°，∴MA =MC 2+AC 2=82+62=10，∴AE 的最小值为=10-8=2．故答案为：2【例2】数学概念若点P 在ΔABC 的内部，且∠APB 、∠BPC 和∠CPA 中有两个角相等，则称P 是ΔABC 的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ΔABC 的“强等角点”.理解概念(1)若点P 是ΔABC 的等角点，且∠APB =100°，则∠BPC 的度数是°.(2)已知点D 在ΔABC 的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足∠BDC +∠BAC <180°，作ΔBCD 的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当ΔBCD 的边满足下面的条件时，求证：P 是ΔABC 的等角点.(要求：只选择其中一道题进行证明！)①如图①，DB =DC②如图②，BC =BD深入思考(3)如图③，在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q .(不写作法，保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.(填序号)【答案】(1)100、130或160；(2)选择①或②，理由见解析；(3)见解析；(4)③⑤【分析】(1)根据“等角点”的定义，分类讨论即可；(2)①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；(3)根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；(4)根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【解析】(1)(i )若∠APB =∠BPC 时，∴∠BPC =∠APB =100°(ii )若∠BPC =∠CPA 时，∴∠BPC =∠CPA =12(360°-∠APB )=130°；(iii )若∠APB =∠CPA 时，∠BPC =360°-∠APB -∠CPA =160°，综上所述：∠BPC =100°、130°或160°故答案为：100、130或160．(2)选择①：连接PB ,PC∵DB =DC ∴DB =DC∴∠BPD =∠CPD∵∠APB +∠BPD =180°，∠APC +∠CPD =180°∴∠APB =∠APC∴P 是ΔABC 的等角点．选择②连接PB ,PC∵BC =BD ∴BC =BD∴∠BDC =∠BPD∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴∠BDC +∠BPC =180°∵∠BPD +∠APB =180°∴∠BPC =∠APB∴P 是ΔABC 的等角点(3)作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°-∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12(360°-∠BQC)=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．(4)③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=135°，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=105°，∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由(3)可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由(3)可知，当ΔABC的三个内角都小于120°时，ΔABC必存在强等角点Q．如图④，在三个内角都小于120°的ΔABC内任取一点Q ，连接Q A、Q B、Q C，将ΔQ AC绕点A逆时针旋转60°到ΔMAD，连接Q M，∵由旋转得Q A=MA，Q C=MD，∠Q AM=60°∴ΔAQ M是等边三角形．∴Q M=Q A∴Q A+Q B+Q C=Q M+Q B+MD∵B、D是定点，∴当B、Q 、M、D四点共线时，Q M+Q B+MD最小，即Q A+Q B+Q C最小．而当Q 为ΔABC的强等角点时，∠AQ B=∠BQ C=∠CQ A=120°=∠AMD，此时便能保证B、Q 、M、D四点共线，进而使Q A+Q B+Q C最小．故答案为：③⑤．模型演练一、单选题1.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ABC=20°，则∠BDC的度数是()A.50°B.60°C.80°D.70°【答案】D【分析】由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=20°，∴∠CAB=70°，∴∠BDC=∠CAB=70°，故选：D．2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，且AC=BC，∠ADC=130°，则∠ADB的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【分析】利用等边对等角，同弧上的圆周角相等，三角形内角和定理联合解题即可．【解析】∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，2∠CAB+∠BCA=180°，∵∠ADC=130°，∴∠ADB+∠BDC=130°，∵∠BDC=∠CAB，∠BCA=∠ADB，∴2∠ADB+2∠CAB=260°①，2∠CAB+∠ADB=180°②，①-②，得∠ADB=80°，故选D．3.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．设∠ABC=25°，则∠BDC=()A.85°B.75°C.70°D.65°【答案】D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．【解析】解：∵C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故选：D．4.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=60°，则∠ADC的度数为()A.20°B.30°C.40°D.60°【答案】B【分析】由圆周角定理，得到∠ACB=90°，则∠ABC=30°，即可求出答案．【解析】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴∠ADC=30°；故选：B．二、填空题5.如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是．【答案】222-2【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得BH取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．【解析】如图，设AD的中点为点E，则EA=ED=12AD=12×4=2由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时BH取得最小值，EH=2连接BD∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=90°∴BD=AB2-AD2=(5+5)2-42=221∴BE=BD2+ED2=(221)2+22=222∴BH=BE-EH=222-2故答案为：222-2．6.如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是．【答案】60°【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠CAB= 30°，即可求得∠B的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠B=90°-∠CAB=60°，∴∠D=∠B=60°．故答案为：60°．7.如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A =30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是．【答案】1【分析】当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，则AC⊥BD，利用圆周角定理得到∠BOC=30°，接着计算出BH的长，则可计算出S△ABC=12，从而得到四边形ABCD的面积的最大值．【解析】解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD 所对弧的中点，∴AC为⊙O的直径，如图，∴AC ⊥BD ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =30°，在Rt △OBH 中，BH =12OB =12，∴S △ABC =12•BH •AC =12×2×12=12，∴四边形ABCD 的面积=2×12=1，∴四边形ABCD 的面积的最大值为1．故答案为1．8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC =50°，∠AED =75°，则AD 的度数是°．【答案】50【分析】连接OA ，OD ，首先根据同弧所对圆周角相等可得∠BDC =∠BAC =50°，再根据三角形外角的性质即可求得∠ABD 的度数，再根据圆周角定理可求得∠AOD =50°，由此即可求得答案．【解析】解：如图，连接OA ，OD ，∵∠BDC =∠BAC ，∠BAC =50°，∴∠BDC =∠BAC =50°，又∵∠AED =75°，∴∠ABD =∠AED -∠D =75°-50°=25°，∴∠AOD =2∠ABD =50°，∴AD的度数是50°，故答案为：50．9.如图，∠MAN =45°，B 、C 为AN 上两点，AB =1，BC =3，D 为AM 上的一个动点，过B 、C 、D 三点作⊙O ，当sin ∠BDC 的值最大时，⊙O 的半径为【答案】52-42【分析】由题意知，∠BDC 小于90o ，，当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时AD 2=AB ·AC ，则AD=2，延长DO 交AN 于点E ，DE =AD =2，设半径为x ，OE =2-x ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，则OH =2(2-x )2，BH =32，在Rt △OHB 中，2x -2 22+322=x 2，最后求得半径x =52-42．【解析】解：当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时sin ∠BDC 的值最大，∵⊙O 与AM 相切于点D ，AB =1，BC =3，∴AD 2=AB ·AC =AB ∙AB +BC =4，∴AD =2，延长DO 交AN 于点E ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，连接BO ，∴∠ADE =90°，∵∠A =45°，∴△AED 为等腰直角三角形，∴DE =AD =2，设⊙O 半径为x ，则OE =2-x ，∵∠DEA =45°,∠OHE =90°，∴OH =sin45°∙OE =2(2-x )2，BH =12BC =32，在Rt △BOH 中，BO 2=BH 2+OH 2，即2x -2 22+322=x 2，解得：x 1=52-42,x 2=-52-42，∵⊙O 半径大于0，∴x 2=-52-42舍去，∴x =52-42．故答案为：52-42．三、解答题10.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为0,-3 ，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD 的长；(2)已知点E 是“蛋圆”上的一点(不与点A ，点B 重合)，点E 关于x 轴的对称点是点F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 坐标；(3)点P 是“蛋圆”外一点，满足∠BPC =60°，当BP 最大时，直接写出点P 的坐标．【答案】(1)“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3，CD 的长3+3；(2)E 1(1+3，1)，E 2(1-3，1)，E 3(1+3，-1)，E 4(1-3，-1)；(3)点P 的坐标为(1，23)．【分析】(1)求出点A ，B 的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x =0代入抛物线的解析式得y =-3，故此可得到DO 的长，可得到AB 的长，由M 为圆心可得到MC 和OM 的长，然后依据勾股定理可求得OC 的长，最后依据CD =OC +OD 求解即可．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．由HM 2+EH 2=EM 2，点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，可得方程组，以及对称性求解；(3)根据∠BPC =60°保持不变，点P 在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．【解析】解：(1)∵圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．∴A (-1，0)，B (3，0)设“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =ax 2+bx +c把A (-1，0)，B (3，0)，D (0，-3)代入解析式得，a -b +c =09a -3b +c =0c =-3解得，a =1b =-2c =-3∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3连接AC ，BC ，MC ∵点D 的坐标为(0，-3)，∴OD 的长为3．∵A (-1，0)，B (3，0)．∴AO =1，BO =3，AB =4，∵M (1，0)．∴MC =2，OM =1．在Rt △COM 中，OC =CM 2-OM 2=3．∴CD =CO +OD =3+3，即这个“蛋圆”被y 轴截得的线段CD 的长3+3．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设E (m ，n )，则点F 的坐标为(m ，-n )．EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．∴HM 2+EH 2=EM 2，∴(m -1)2+n 2=4，⋯①；∵点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，∴m 2-2m -3=-n ，⋯②解由①②组成的方程组得：m =1+3n =1 ；m =1-3n =1．(n =0舍去)由对称性可得：m=1+3 n=-1；m=1-3n=-1．∴E1(1+3，1)，E2(1-3，1)，E3(1+3，-1)，E4(1-3，-1)．(3)如图，∵∠BPC=60°保持不变，因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心(K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°)，BK为半径．当BP为直径时，BP最大．在RtΔOCB中，MO=1,MC=2∴OC=MC2-MO2=3，BC=OC2+OB2=23∴tan∠BCO=OBOC =33=3∴∠BCO=60°∵∠BCP=90°∴∠PCR=30°在RtΔPCB中，∠BPC=60°∴BCPC=tan60°∴PC=BCtan60°=233=2在Rt△PCR中，∠PCR=30°∴PR=12PC=1∴RC=PC2-PR2=3∴OR=OC+CR=3+3=23∴点P的坐标为(1，23)．11.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0)，B(3,0)，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1=S2时，求点P的坐标；(3)连接BQ，点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且∠BMQ=45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)P52,-74；(3)22≤t≤3+172．【分析】(1)运用待定系数法将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3，即可求得答案；(2)利用配方法可求得抛物线顶点坐标D(1,-4)，由AE⎳PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E e,12e+2，P(m, m2-2m-3)，结合中点坐标公式建立方程求解即可；(3)根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1，0)，B(3,0)，∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：a-b-3=0 9a+3b-3=0，解得：a=1 b=-2，∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；(2)如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴D(1,-4)，∵AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，∴△AEF∽△PDF，设E e,12e+2，P(m,m2-2m-3)，又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1=S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF=PF，EF=DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A(-1，0)，P(m,m2-2m-3)，E e,12e+2，D(1,-4)，∴由中点坐标公式得：m-12=e+12m2-2m-3+02=12e+2-42，解得：m1=0(与“AE⎳PD”不符，应舍去)，m2=5 2，∴e2=12，∴P52,-74，E12,94；(3)①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′32,32，OO′=O′B=322，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM=90°，O′H=12，O′M=OO′=322，∴MH=O M2-O H2=3222-12 2=172，∴t=32+172=3+172，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB=OC=3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM=OB=3，OE=1，∵∠MEO=90°，∴ME=OM2-OE2=32-12=22，∴t=22，综上所述，22≤t≤3+172．12.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．(1)证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；(2)应用(1)的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物PQ高度为96cm，放置文物的展台QO高度为168cm，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大(视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的∠PAQ)，则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．(说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高)【答案】(1)见解析；(2)围栏应摆在距离展台167cm处，见解析【分析】(1)写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明；(2)先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ，由(1)的结论可知队员的眼睛A 与M 重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN 处，故求出ON 长度即可．【解析】解：(1)已知：如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，点P 在⊙O 外．求证：∠ACB >∠APB ．证明：设BP 交⊙O 于点Q ，连接AQ ，∵∠ACB 与∠AQB 同对AB，∴∠ACB =∠AQB ．∵在△APQ 中，∠AQB =∠APB +∠PAQ ，∴∠AQB >∠APB ，∴∠ACB >∠APB ；(2)解：设合唱队员平均身高为x cm ，则x =142×15+146×18+150×18+154×30+158×3915+18+18+30+39=152．在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ．依题意可知，参观的队员的眼睛A 在射线上．而此时，射线l 上的点只有点M 在⊙C 上，其他的点在⊙C 外．根据(1)的结论，视角∠PMQ 最大，即队员的眼睛A 与M 重合(也即队员站在MN 处)时，观看该展品的视角最大．所以围栏应摆放在N 处．连接CM 并延长交地面OD 于N ，过C 作CH ⊥PQ 于H ，连接CP ，CQ ，从而四边形HBMC 和四边形HONC 均为矩形．∵在⊙C 中，CP =CQ ，CH ⊥PQ ，∴PH =HQ =12PQ =48．∴ CQ =CM =HB =48+16=64．∵在Rt △CHQ 中，∠CHQ =90°，CQ 2=CH 2+HQ 2，∴CH =CQ 2-HQ 2=642-482=167．∴ON =CH =167．即围栏应摆在距离展台167cm 处．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，EF 与⊙O 相切于点D ，EF ∥BC 分别交AB ，AC 的延长线于点E 和F ，连接AD 交BC 于点N ，∠ABC 的平分线BM 交AD 于点M ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若AB :BE =5:2，AD =14，求线段DM 的长．【答案】(1)见解析；(2)DM =2【分析】(1)连接OD ，根据切线的性质得OD ⊥EF ，由EF ∥BC 得OD ⊥BC ，由垂径定理得BD =CD ，进而即可得出结论；(2)由平行线分线段定理得DN =2147，再证明△BDN ∽△ADB ，可得BD =2，最后证明∠BMD =∠DBM ,进而即可求解．【解析】(1)证明：连接OD 交BC 于点H .∵EF 与⊙O 相切于点D∴OD ⊥EF ，∴∠ODF =90°，∵BC ∥EF ，∴∠OHC =∠ODF =90°，∴OD ⊥BC ，∴BD =CD ，∴∠BAD =∠CAD 即AD 平分∠BAC ；(2)解：∵BC ∥EF ，∴BE AE =ND AD，∵AB :BE =5:2，AD =14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2。

定弦定角最值问题

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】（2016 ·新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD 的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．41 4 2解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′ C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45 °＋45°＝90°∴AO′＝5又O′ B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE，则CE的最小值为（）A．13 2 B．13 2 C．5 D．169解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为13 2【练】（2015 ·江汉中考模拟1）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P 在射线AM上运动，连BP 交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2C．2 D．4 2 3解：连接CD∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′ C＝90°∴O′ B＝O′ C＝4又∠ACO′＝90 °∴ AO ′＝ 5∴AD 的最小值为 5－ 4＝ 1【例 3】（2016 ·勤学早四调模拟 1）如图，⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3 ，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥ AP 交直线 PB 于点 C ，则△ ABC 的面积的最大值是（） A ．12 6 3 B ． 6 3 3 C ．12 3 3 D ． 6 4 3【练】（2014 ·洪山区中考模拟 1）如图，⊙ O 的半径为 1，弦 AB ＝1，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥ AP 交直线 PB 于点 C ，则△ ABC 的最大面积是（）A ．【例 5】如图，A （1，0）、B （3，0），以 AB 为直径作⊙ M ，射线 OF 交⊙ M 于E 、 F 两点， C 为弧 AB 的中点， D 为 EF 的中点．当射线绕 O 点旋转时， CD 的最小值为 ______ 解：连接 DM∵ D 是弦 EF 的中点∴DM ⊥EF∴点 D 在以 A 为圆心的， OM 为直径的圆上运动当 CD 过圆心 A 时， CD 有最小值连接 CM∵ C 为弧 AB 的中点∴ CM ⊥ AB∴ CD 的最小值为 2 1练】如图， AB 是⊙ O 的直径， AB ＝2，∠ABC ＝60°， P 是上一动点， D 是 AP 的中点，连接 CD ，则 CD 的最小值为 _________ 解：连接 OD∵ D 为弦 AP 的中点∴OD ⊥AP∴点 D 在以 AO 为直径的圆上运动当 CD 过圆心 O ′时， CD 有最小值过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M ∵OB ＝OC ，∠ ABC ＝60°∴△ OBC 为等边三角形∴ OM ＝ 1 ， CM ＝ 322∴ O ′ C ＝ 74∴ CD 的最小值为 7 142 B ． C ．D ． 2。

九年级讲义：定弦定角最值问题秘籍

九年级讲义：定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2441-【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916 【练】如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324-【例3】如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【练】如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．43 【例4】如图，边长为3的等边△ABC ，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，AD 、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________例题4 例题5 图8【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________【练】如图8，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________针对练习：1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为弧BC 中点，P 为弧AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________O ABC DP。

定弦定角最值问题含答案(20200522025423)

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（）A ．1 B ．2 C ．2D ．2441解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴△BO ′C 为等腰直角三角形∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°∴AO ′＝5又O ′B ＝O ′C ＝4∴AD ＝5－4＝1【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213B ．213C ．5 D ．916解：连接AE∵AD 为⊙O 的直径∴∠AEB ＝∠AED ＝90°∴E 点在以AB 为直径的圆上运动当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．324解：连接CD∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45°∴∠BDC ＝135°如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值∵∠BDC ＝135°∴∠BO ′C ＝90°∴O ′B ＝O ′C ＝4又∠ACO ′＝90°∴AO ′＝5∴AD 的最小值为5－4＝1【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（）A ．3612B ．336C ．3312D ．346【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21B ．22C ．23D ．43【例5】如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点∴DM ⊥EF∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB∴CD 的最小值为12【练】如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147。

重难点03“定弦定角”模型(原卷版)

重难点03“定弦定角”模型1.识别几何模型。

2.利用“定弦定角”模型解决问题一．选择题1．（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A．B．C．6D．2．（2022•睢阳区模拟）如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E 的纵坐标为（）A．3﹣B．4﹣C．D．3．（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣44．（2021秋•唐县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB 运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．5．（2021秋•连城县期中）如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（）A．4B．8C．4πD．8π6．（2023•梁溪区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P 是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．7．（2022•防城港模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．2二．填空题8．（2023•利州区模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．9．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P 在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为．10．（2021秋•锦江区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为．11．（2021秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为．12．（2023•定远县校级一模）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．三．解答题13．（2021秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E．（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．14．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知△ABC为边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．15．（2021秋•泗阳县期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．（1）若α＝60°，则CD＝cm．（2）若AO⊥BC①点H与⊙O的位置关系是；A．点H在⊙O外B．点H在⊙O上C．点H在⊙O内②求线段AO的长度．（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．16．（2021秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且，点B的坐标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，连结AN．（1）求⊙M的半径长；（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．17．（2021秋•扬州月考）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C 除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为；②△ABC面积的最大值为；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA'C＜30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC ＝5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°，则线段PB长的最小值为．18．（2020秋•丹阳市期末）【发现】如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB 的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？【研究】为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C 满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【应用】（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为．（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF ⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．①∠BPE＝°，∠BPA＝°；②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．19．（2020秋•东海县期末）思考发现：（1）如图1，点A 和点B 均在⊙O 上，且∠AOB ＝60°，点P 和点Q 均在射线AM 上，若∠APB ＝30°，则点P 与⊙O 的位置关系是；若∠AQB ＞30°，则点Q 与⊙O 的位置关系是．问题解决：如图2，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠DAB ＝135°，且AB ＝2，AD ＝4．（2）若点P 是BC 边上任意一点，且∠APD ＝45°，求BP 的长；（3）如图3，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交BA 的延长线于点E ，若点Q 为弧EC 上的动点，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，设点I 为△BQH 的内心，连接BI ，QI ，当点Q 从点C 运动到点E 时，则内心I 所经过的路径长为．（直接填空）一、填空题1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，二、解答题3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图1，AB 是O 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，P 是O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)当OP ________OC 时，OPC 的最大面积为________；(2)如图2，延长PO 交O 于点D ，连接BD ，且BD CP =．求证：CP 是O 的切线．4．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 长为半径作辅助圆A ，则C ，D 两点必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，BDC ∠是A的圆周角，则45BDC ∠=︒．(1)【初步运用】如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，24BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)【方法迁移】如图，已知线段AB 和直线l ，用直尺和圆规在l 上作出所有的点P ，使得30APB ∠=︒（不写作法，保留作图痕迹）；(3)【问题拓展】①如图，已知矩形ABCD ，2AB =，BC m =，M 为CD 上的点．若满足45AMB ∠=︒的点M 恰好有两个，则m 的取值范围为______．②如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，且6BD =，2CD =，求AD 的长．5．（2022·全国·九年级专题练习）在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，连接CE ．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若2AB=，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；=，请直接写出（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF DF。

定弦定角模型

定弦定角模型1.如图，已知线段AB(1)请你在图①中画出使∠APB=90°的所有点P；(2)请你在图②中画出使∠APB=60°的所有点P；(3)请你在图③中画出使∠APB=45°的所有点P；2的等边△ABC内接于⊙O，D 2.如图，边长为3为劣弧BC上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B沿劣弧BC运动到点C时，求点E经过的路径长。

3.如图，在△ABC 中，AB=AC,∠BAC=100°，BD 为∠ABC 的平分线，若BD=1，3 BC ,求AD 的长。

4.如图，边长为2的正六边形ABCDEF 中有一动点M，若∠CFM=∠MCD，求动点M 所经过的路径长。

【模型迁移】如图，在△ABC中，∠A=45°，BC=4(1)若∠B=45°，求AB的长(2)若∠B=30°，求点A到BC的距离(3)如图②，过点A作AD⊥BC于点D，若BD=3，求△ABD的面积2.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC （1）求∠A+∠C的度数（2）连接BD，探究AD、BD、CD三者之间的数量关系，并说明理由（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度【问题提出】如图①，已知△ABC，试确定一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请画出这个平行四边形【问题探究】如图②，在矩形ABCD中AB=4，BC=10，若要在该矩形中作一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离【问题解决】如图③，有一座塔A，按规划，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE，根据实际情况要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由（塔A的占地面积忽略不计）。

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