二分法-牛顿法-梯形法原理及流程图

1：二分法流程图：

Y

二分法基本思路：

一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的所有零点。假定f(x)在区间（x，y）上连续

先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],

现在假设f(a)<0,f(b)>0,a

①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，

如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，从①开始继续使用

②中点函数值判断。

如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，

从①开始继续使用 中点函数值判断。

这样就可以不断接近零点。

通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。

二分法步骤：

用二分法求方程()0f x =的根*x 的近似值k x 的步骤

① 若对于a b <有()()0f a f b <，则在(,)a b 内()0f x =至少有一个根。 ②

取,a b 的中点12a b x +=计算1()f x ③ 若1()0f x =则1x 是()0f x =的根，停止计算，

运行后输出结果*1x x =

若1()()0f a f x <则在1(,)a x 内()0f x =至少有一个根。取111,a a b x ==； 若1()()0f a f x >，则取111,a x b b ==；

④ 若12k k b a ε

-≤（ε为预先给定的要求精度）退出计算，运行后

输出结果

*

2

k k

a b

x

+

≈

，反之，返回步骤1，重复步骤1,2,3

二分法Mtalab程序

syms x;

fun=input('(输入函数形式)fx=');

a=input('（输入二分法下限）a=');

b=input('（输入二分法上限）b=');

d=input('输入误差限 d=')%二分法求根

%f=inline(x^2-4*x+4);

%修改需要求解的inline函数的函数体

f=inline(fun);%修改需要求解的inline函数的函数体 e=b-a; k=0 ;

while e>d

c=(a+b)/2;

if f(a)*f(c)<0

b=c;

elseif f(a)*f(c)>0

a=c;

else

a=c;b=c

end

e=e/2; k=k+1;

end

x=(a+b)/2;

x%x为答案

k%k为次数

2，牛顿法及流程图：

方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值x0选取后，过( x0,f(x0))作切线，其切线方程为：y-

f(x0)=f′(x0)(x-x0)

它与x轴交点的横坐标为x

一般地，设是x*的

第n次近似值，过

( x,f(x))作y=f(x)的切

线，其切线与x轴交点的

横坐标为：x = - 即用切

线与x轴交点的横坐标近似代

曲线与x轴交点的横坐标，如图

牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。

流程图如下：

3，梯形法及流程图：

梯形法就是将该积分约等于若干个小梯形面积之和，第一个小梯形的面积等为1(()())/2s h f a f a h =++,第二个小梯形的面积为2(()(2))/2s h f a h f a h =+++，…… ，

第i 个小梯形的面积为(((1))())/2i s h f a i h f a ih =+-++ 故有1111()[(()())()]2b n n i a i i f x s h f a f b f a ih -====+++

梯形法的迭代公式为:

[]

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+++++).,2,1,0(,(),(2),(*)(11)1(1)0(1 k y x f y x f h y y y x f h y y k n n n n n k n n n n n 流程图如下：