第二章_系统辨识常用输入信号及古典辨识方法(王2)

1 Rxy ( ) 2



S xy ( )e j d
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应用维纳—辛钦关系式，可以证明，
对于频率响应为 G( j ) 的线性系统，在随机输入下的
输出谱密度和互谱密度分别为：
S y ( ) || G ( j ) || 2 S x ( ) S xy ( j ) G ( j ) S x ( )
3）工程上要便于实现，成本低。
辨识中常用的输入信号有白噪声或伪随机信号
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2.1 谱密度与相关函数
1．帕塞瓦尔（Parseval）定理与功率谱
Parseval定理：确定性信号x(t)的总能量为：
1 x (t )dt 2
2




|| X ( j ) || 2 d
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2．维纳—辛钦关系式：
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（0，1）均匀分布的随机数的产生
在计算机上产生（0，1）均匀随机数的方法很多， 其中最简单、最方便的是数学方法。
乘同余法
先用递推同余式产生正整数序列{xi}
xi Axi 1 (mod M )
Mod为取M的余数，M为2的方幂，即M＝2k，k为大于2的 整数，A取适中值, A 3(mod8) 初值x0取正奇数，如x0＝1。
随机过程x(t)的谱密度 S x ( ) 与自相关函数 Rx ( ) 构成一组傅立叶变换对：
S x ( ) Rx ( )e j d


1 Rx ( ) 2




S x ( )e j d
定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换：
S xy ( j ) R xy ( )e j d
{e(k)}
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3. 白噪声的产生及其MATLAB仿真
如何在计算机上产生统计上比较理想的各
种不同分布的白噪声序列是系统辨识仿真研 究的一个重要问题。 目前已有大量应用程序可供查询或调用。 这里介绍一些最常用方法的基本法
在具有连续分布的随机数中，（0，1）均匀 分布的随机数是最简单、最基本的一种。有了 （0，1）均匀分布的随机数，便可以产生其 他任意分布的随机数和白噪声。
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2.3
伪随机序列
1. M序列的产生
伪随机序列是一种很好的辨识输入信号，它具有近似 白噪声的性质，不仅可以保证较好的辨识效果，而且工程 上又易于实现。 应用领域：通信、雷达、导航、密码学、声学、数字跟踪 系统、网络系统故障诊断等
M序列，二位式最大长度线性反馈移位寄存器序列，是伪 随机二位式序列最简单的一种，由带有线性反馈逻辑电路 的移位寄存器产生。
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-1
1
-1
1
1
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1 1
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1
1
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四位移位寄存器产生的序列周期不可能超过16，全 零初态导致全零序列 四位移位寄存器产生的序列最大周期只能是15 如果一个移位寄存器的输出序列周期达到最大，这 个序列称为最大长度二位式序列或M序列。 如果输出序列的周期比最大周期小，就不是M序列。 N级移位寄存器产生的序列的最大周期为N＝2n－1
输出谱密度关系告诉我们：要充分激励系统，就要 使输入信号的频谱“宽”于系统频谱。
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2.2
白噪声
1. 白噪声 均值为0，谱密度为非0常数的平稳随机过程
无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也
不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说， 即不同时刻的随机信号互不相关。
定义：1.
E(w) w 0
2 2. Rw ( ) ( )，其中， ( ) 为Dirac函数，即 ∞，τ=0 ( ) 且 ( )d 1 0，τ≠0

( ) 的傅立叶变换为1，
S w ( ) 2
，频谱宽度无限。
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2. 有色噪声
有色噪声是指每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关， 因而其谱密度也不再是常数。在工业生产实际中，白噪声在
物理上是不存在的，常见的往往是有色噪声。
有色噪声的表示定理：设平稳噪声序列{e(k)}的谱密度
S e ( ) 是ω的实函数，则必定存在一个渐近稳定的线性环节
，使得在输入为白噪声序列的情况下，环节的输出是谱密度 S e ( ) 的平稳噪声序列{e(k)}。 为
白噪声 线性环节 (成形滤波器) {w(k)} H(z-1 ) 有色噪声
当N很大时，白噪声或M序列可近似满足这一要 求；当N不大时，并非对所有的N都能找到这种
输入信号。
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在具体工程应用中，选择输入信号时还应考虑 以下因素：
1）输入信号的功率和幅度不宜过大，以免使 系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信 噪比太小，直接影响辨识精度；
2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应 使正负向扰动机会几乎均等；
plot(k,v,k,v,'r');
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Li1.m A=19;N=200;x0=37;f=2;M=512; for k=1:N x2=A*x0 x1=mod(x2,M) v1=x1/512 v(:,k)=(v1-0.5)*f x0=x1 v0=v1 end v2=v k1=k k=1:200; plot(k,v)
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X1=1;X2=0;X3=1;X4=0; %移位寄存器输入Xi初T态（0101）， Yi为移位 寄存器各级输出 m=60; %置M序列总长度 for i=1:m %1# Y4=X4; Y3=X3; Y2=X2; Y1=X1; X4=Y3; X3=Y2; X2=Y1; X1=xor(Y3,Y4); %异或运算 if Y4==0 U(i)=-1; else U(i)=Y4; end end M=U %绘图 i1=i k=1:1:i1; stem(k,U,'filled') xlabel('k') 25 ylabel('M序列') title('移位寄存器产生的M序列')
只要将产生的（0，1）均匀分布的随机数统统减去0.5, 原随机序列变成 了（－0.5，0.5）的白噪声，然后乘以存储器f中预置的系数，便可得到 任意幅值的白噪声。
f＝2
(-1,1)均 匀 分 布 白 噪 声 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
v
0
10
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30
40
50 k
60
70
80
90
100
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%白噪声及有色噪声序列的产生 L=500; %仿真长度 d=[1 -1.5 0.7 0.1]; c=[1 0.5 0.2]; %D、C多项式的系数(可用roots命令求其根) nd=length(d)-1; nc=length(c)-1; %nd、nc为D、C的阶次 xik=zeros(nc,1); %白噪声初值，相当于ξ(k-1)...ξ(k-nc) ek=zeros(nd,1); %有色噪声初值 xi=randn(L,1); %randn产生均值为0，方差为1的高斯随机序列（白噪声序列） for k=1:L e(k)=-d(2:nd+1)*ek+c*[xi(k);xik]; %产生有色噪声 %数据更新 for i=nd:-1:2 ek(i)=ek(i-1); end ek(1)=e(k);
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(0,1)均匀分布随机数的产生仿真举例 利用乘同余法，37选R＝2，A＝19，k=9,M=512,递推100次 调用random.m
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
v
0
10
20
30
40
50 k
60
70
80
90
100
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产生（－1，1）均匀分布的白噪声
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移位寄存器：
移位寄存器由触发器串联而成，分别以0，1表示两种状态。 当移位脉冲来到时，每位的内容（0或1）移到下一位，最 后一位的内容就是输出。
为保持连续工作，将最后2级寄存器模2加后反馈到第1级的 输入端(M序列)。
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一个四级移位寄存器
若初始状态为（0000），则输出为全零序列 若初始状态为（1111），则寄存器内容： 1111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 1001 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111 输出序列为：111100010011010 1111… 周期为15
第二章 系统辨识常用输入信号 及经典辨识方法
主讲人：王树彬
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合理选用辨识的输入信号是能否获得好的辨识结 果的关键之一。
为了使系统可辨识，输入信号必须满足一定的条 件。最低要求是在辨识时间内系统的动态必须被输入 信号持续激励。也就是说，在试验期间输入信号必须 充分激励系统的所有模态。
更进一步，输入信号的选择应能使给定问题的辨 识模型精度最高。
这就引出了最优输入信号设计问题。
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Goodwin和Payne（1977）有如下结论：如果模 型结构是正确的，且参数估计值是无偏最小方
差估计，则参数估计值的精度通过Fisher信息
矩阵M依赖于输入信号u(k)。最优输入信号是 具有脉冲式自相关函数的信号，即