第四节 概率与统计的综合问题

[解题技法] 本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知 识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均 值时，不要与求中位数，众数混淆．
[对点训练] (2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：
全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：
全程观看 部分观看 没有观看
男生
18
x
2
女生
10
6
y
(1)①求出表中 x，y 的值；
②从没有观看的同学中随机选取 2 人进一步了解情况，求恰好男生、女生各 1 人的 概率；
(2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为全程观看与性别有关.
21 76 12 86 15 51
33 50 25 73 58 07 00 13 42
83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54
[解题技法]
破解概率与随机抽样综合问题的 3 步骤
[对点训练]
某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从 2018 年度销售的一批
附：(下面摘取了随机数表的第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
(1)求频率分布直方图中 x 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间 的中点值代表)；
(2)用样本估计总体，若高三年级共有 2 000 名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于 70 分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加这次 考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有 1 人被抽到的概率．
[解题技法]
破解概率与统计图表综合问题的 3 步骤
[对点训练] 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示．
(1)如果 X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果 X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率．
6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：
日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日
昼夜温差
x/℃
10
11
13
12
8
6
就诊人数
y/个
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取 的 2 组数据进行检验．
(1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率； (2)若选取的是 1 月份与 6 月份的两组数据，请根据 2 月份至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程^y＝ ^bx＋^a； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是理 想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
第四节 概率与统计的综合问题
考点一 概率与统计图表的综合问题 [典例] 学校将高二年级某班级 50 位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为 7 组进行统计，得到如图所示 的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．
(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分； (2)现准备从该班级数学成绩不低于 130 分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．
人数 优秀
地 良好
理 及格
优秀
7 9 a
数学 良好
20 18 4
及格
5 6 b
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的
人数为 20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为 30%，求 a，b 的值．
(3)若 a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．
参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092， 112＋132＋122＋82＝498.
手机中随机抽取 75 部，按其价格分成 5 组，频数分布表如下：
价格分组(单位： 百元)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30]
频数(单位：部)
5
10
20
15
25
(1)用分层抽样的方法从价格在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机中共抽取 6 部，其中价格在区间[20,25)内
考点二 概率与随机抽样的综合问题
[典例] 已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从 中抽取 100 人进行成绩统计，先将 800 人按 001,002,003，…，800 进行编号．
(1)如果从随机数表的第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的 3 个人的编号． (2)所抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差； (2)从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析，求抽到 2 场都不超过均值的概率．
考点四 概率与统计案例的综合问题
[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，
从本年级 500 名男生、400 名女生中按分层抽样的方式抽取 45 名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：
男生 女生 总计
全程观看
非全程观看
总计
附Βιβλιοθήκη BaiduK2＝
nad－bc2
，其中 n＝a＋b＋c＋d.
a＋bc＋da＋cb＋d
P(K2≥k0) k0
0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635
[解题技法]
解决概率与统计案例综合问题的 4 步骤
[对点训练]
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1 月份至
的有几部？
(2)从(1)中抽出的 6 部手机中任意抽取 2 部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有 1 部的概率．
考点三 概率与数字特征的综合问题 [典例] (2019·重庆六校联考)2019 年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了
一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为 100 分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这 些学生的成绩中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成 5 组，制成了如图所示的频 率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于 50 分)．