高考数学大一轮复习 第八章 第6节 双曲线课件

又 a＝ 2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝14，
∴点 M 的轨迹方程是x22－1y42 ＝1(x≥ 2)．
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考向二 [148] 双曲线的标准方程
(1)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋
y92＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两
倍，则双曲线的方程为
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对点训练 已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切， 与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
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【解】 设动圆 M 的半径为 r，
则由已知|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2， ∴|MC1|－|MC2|＝2 2， 又 C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8， ∴2 2＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)、C2(4,0) 为焦点的双曲线的右支．
第六节 双曲线
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1
[考情展望] 1.考查双曲线的定义及标准方程.2.考查双 曲线的几何性质(以渐近线的离心率为主).3.多以客观题形式 考查，属中低档题目．
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2
一、双曲线定义 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距__离__之__ __差__的__绝__对__值__为常数 2a(2a＜2c) ，则点 P 的轨迹叫做双曲线． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常数且 a＞0，c＞0. (1)当 22a＜|F1F2| 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 22a = |F1F2| |时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 22a＞|F1F2| 时，P 点不存在．
．
【答案】 x42－y32＝1
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(2)已知椭圆 D：5x02 ＋2y52 ＝1 与圆 M：x2＋(y－5)2＝9，双 曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程．
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【尝试解答】 椭圆 D 的两个焦点为 F1(－5,0)，F2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c＝5.
设双曲线 G 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)， ∴渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25. 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r＝3， ∴ b|52＋a| a2＝3，得 a＝3，b＝4. ∴双曲线 G 的方程为x92－1y62 ＝1.
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2
a、b、c
c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
间的关系
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5
巧设双曲线方程 (1)与双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程 可表示为ax22－by22＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为xm2＋yn2＝1(mn＜0)．
D．2x±y＝0
【答案】 A
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6．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)的离 心率为 2，则 a＝( )
A．2
B.
6 2
5 C. 2
D．1
【答案】 D
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考向一 [147] 双曲线的定义及应用
(1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右
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6
1．双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. 22，0 C. 26，0
B. 25，0 D．( 3，0)
【答案】 C
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7
2．设双曲线ax22－y92＝1(a＞0)的渐近线方程为 3x±2y＝0，
则 a 的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】 C
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焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
【答案】 C
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(2)已知定点 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)；以点 C 为一个 焦点作过 A、B 的椭圆，求另一个焦点 F 的轨迹方程．
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【尝试解答】 设 Biblioteka (x，y)为轨迹上的任意一点，依题意，
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3
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
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4
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
8
3．设 P 是双曲线1x62 －2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲
线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1
B．17
C．1 或 17
D．以上答案均不对
【答案】 B
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9
4．已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝2，
且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1，则双曲线 C 的方程
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规律方法 1 1.(1)抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关 系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点 F 的轨迹是双曲 线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．
2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的 绝对值，(2)2a＜|F1F2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．
为
．
【答案】 x2－y32＝1
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10
5．(2014·山东高考)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为ax22＋by22 ＝1，双曲线 C2 的方程为ax22－by22＝1，C1 与 C2 的离心率之积为
23，则 C2 的渐近线方程为(
)
A．x± 2y＝0
B. 2x±y＝0
C．x±2y＝0
得
|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|＝2a(a 表示椭圆的长半轴长)．
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|
＝ 122＋92－ 122＋－52＝2，
∴|FA|－|FB|＝2＜14.
由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长
的双曲线的下支上，
∴点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．