2019版高考数学原创单元卷第十单元坐标系与极坐标与不等式选讲(选考内容)(含答案)

第十单元测试卷

本单元测试内容：坐标系与极坐标与不等式选讲

测试时间：80分钟， 分值：100分 姓名_________ 得分___________

解答题（本大题共10小题，每小题10分，共100分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

1.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点

为极点，轴的正半轴为极轴，已知点

的直角坐标(2,3)-，点

的

极坐标为

(6,

)2

π

，若直线过点，且倾斜角为

，圆以

为 圆心、6为半径.

（1）写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；

（2）试判定直线和圆的位置关系.

2.（本小题满分10分）已知点(2cos ,sin )P αα+，参数[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：ρ=.

（1）求在直角坐标系中点P 的轨迹方程和曲线C 的方程；

（2）求｜PQ ｜的最大值.

3.（本小题满分10分）已知直线12cos :(sin x t C t y t αα=+??=?为参数）

，圆22cos :2sin x C y θθ=??=?

(为参数)， （1）当3

π

α=

时，求1C 与2C 的交点坐标；

（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什

么曲线.

4．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?

???

?

x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系．

(1)求圆C 的普通方程；

(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ???

?θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段

PQ 的长．

5.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)．

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：??

?

x ＝3t ＋3，

y ＝－3t ＋2

(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标．

θ

6、已知函数()221f x x x =+--，x R ∈. （1）求()1f x ≤的解集；

（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围.

7、已知函数()1f x x =+

(1)求不等式()211f x x <+-的解集；

(2)关于x 的不等式(2)(3)f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 8、已知函数()1f x x =+.

（1）求不等式()211f x x <+-的解集A ；

（2）证明：对于任意的a b A ∈、，都有()()()f ab f a f b >--成立.

9、已知函数()12,f x x x m m R =++--∈.

（1）若5m =，求不等式()0f x >的解集；

（2）若对于任意x R ∈，不等式()2f x ≥恒成立，求m 的取值范围.

10、已知函数f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －1|. (1)求f(x)的值域；

(2)若对任意实数a 和b ，|2a ＋b|＋|a|－1

2|a ＋b|·f(x)≥0，求实数x 的取值范围．

第十单元 坐标系、极坐标与不等式选讲（选考内容）

1.【解析】（Ⅰ）直线的参数方程是122(33x t t y t ?

=-+??

??=+??为参数）

圆

的极坐标方程是12sin ρθ=。

（Ⅱ）圆心的直角坐标是(0,6)，直线的普通方程是32330x y -++=，

圆心到直线的距离2333

362

31

d -=

=-

<+，所以直线和圆相交.

2.【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，则2cos sin x y αα

=+??

=?，点P 的轨迹是上半圆：22

(2)1(0).x y y -+=≥曲线C 的直角坐标

方程：80x y +-=

（Ⅱ）｜PQ ｜的最大值就是点(1,0)到直线80x y +-=的距离，

max PQ 3. 【解析】 （Ⅰ）当3

π

α=时，1C

的普通方程为2)y x =-，2C 的普通方程为

2

2

4.x y +=.

联立方程组2

2

2)

4

y x x y ?=-??+=??解得1C 与2C

的交点为(1,，(2,0) （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos 2sin 0x y ααα--=.

A 点坐标为2(2sin ,2cos sin )ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为

2sin cos sin x y α

αα?=?

=-?

（α为参数） P 点轨迹的普通方程为2211

()24

x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)2，半径为12的圆.

4.【解析】(1)因为圆C 的参数方程为?

????

x ＝2cos φ

y ＝2＋2sin φ(φ为参数)，

所以圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.

(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

设P (ρ1，θ1)，则由?????

ρ＝4sin θ，θ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π

6.

设Q (ρ2

，θ2

)，则由???

2ρsin ?

???θ＋π

6＝53，

θ＝π

6，

解得ρ2＝5，θ2＝π

6.

所以|PQ |＝3.

5.【解析】(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2

＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.

(2)因为直线l 的参数方程为???

x ＝3t ＋3，

y ＝－3t ＋2

(t 为参数)，

消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.

因为曲线C ：x 2

＋(y －1)2

＝1是以C (0,1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C 与直线l 相离． 设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，

所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1， 即y 0－1x 0×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，

可得x 0＝－

32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝32

， 即点D 的坐标为???

?

32，32.

6、【解析】（1）3,1

()31,113,1x x f x x x x x +≥??

=+-<

，

若()1f x ≤，可得{|40}x x -≤≤. （2）结合图象易得13a -<<.

7、【解析】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.

当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-； 当1

12

x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当1

2

x >-

时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述， { 1 A x x =<-或}1x >.………………………………………………………5分 （2）∵()()(2)(3)=12121f x f x x x x x -+--+-≥---=， 且(2)(3)f x f x a -+-<的解集不是空集，

∴1a >，即a 的取值范围是()1,+∞.……………………………………………………10分 8、【解析】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.

当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-； 当1

12x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解；

当1

2

x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >.

综上所述，{1A x x =<-或}1x >.

（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--+≤+--+=+， 要证()()()f ab f a f b >--成立，只需证1ab a b +>+，

即证22

1ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()

22110a b -->. 由（1）知，{1A x x =<-或}1x >，∵a b A ∈、，∴221,1a b >>， ∴()()

22110a b -->成立.

综上所述，对于任意的a b A ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立. 9、【解析】（1）令()21,1123,1221,2x x g x x x x x x -+≤-??

=++-=-<≤??->?

.

当5m =时，()0f x >等价于1215x x ≤-??-+>?或1235x -<≤??>?或2

215

x x >??->?，

解得2x <-或?或3x >，

∴不等式() 0f x >的解集为()(),23,-∞-?+∞. （2）由题意知，122m x x ≤++--在R 上恒成立， 又()()1221221x x x x ++--≥+---=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞.

10、【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝?????－4x ，x ≤－12

，

2，－12

2，

4x ，x ≥12

，∴f (x )≥2.

∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(5分)

(Ⅱ)当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，|2a ＋b |＋|a |－1

2|a ＋b |f (x )≥0可化为2|b |－0·f (x )≥0，

即2|b |≥0恒成立，∴x ∈R .

当a ＋b ≠0时，∵|2a ＋b |＋|a |＝|2a ＋b |＋|－a |≥|(2a ＋b )－a |＝|a ＋b |， 当且仅当(2a ＋b )(－a )≥0，即(2a ＋b )a ≤0时，等号成立， 即当(2a ＋b )a ≤0时，|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |＝1.∴|2a ＋b |＋|a |

|a ＋b |的最小值等于1.

∵|2a ＋b |＋|a |－1

2

|a ＋b |·f (x )≥0

|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |

≥12f (x )，∴1

2f (x )≤1，即f (x )≤2. 由(Ⅰ)知f (x )≥2，∴f (x )＝2.当且仅当－12≤x ≤1

2时，f (x )＝2.

综上所述，实数x 的取值范围是????－12，1

2.(10分)