高等代数试题

向量空间

一 判断题

(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈

作成实数域

R

上的向量空间.

( ) .

(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈

作成实数域R 上 的向

量

空

间

.

( ).

(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间.

( ).

(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间.

( ).

(5)

121

{(,,

,)|1,}

n

n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间.

( ).

(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间.

( ).

(7)

11{(,0,

,0,)|,}

n n x x x x R ∈为n R 的子空间.

( ).

(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么

122334,,,αααααα++

是V

的一组基.

( ).

(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基.

( ).

(10)设12,,

,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由

12,,,n ααα

线性表示, 则12,,,n

ααα是

V

的一组基.

( ).

(11) 设12,,

,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ及

12,,

,n ααα等价, 则 12,,

,n

βββ也是

V

的一个基.

( ).

(12)

3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0).

( ).

(13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若

12dim dim dim s V V V n

++

+=, 则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(14)设12,,

,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++

+. 若121230,()0,

V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -++

+= 则12s V V V ++

+为直

和.

( ).

(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若

(){0},

i

j j i

V V ≠=∑ 则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若

(){0},,

i

j V V i j =≠则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(17) 设12,,

,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++

+. 零向量

表法是唯一的, 则

12s

V V V +++为直和.

( ).

(18) 设12,,

,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映

射, 则

W

的一个基是

12(),(),,()

n f f f ααα.

( ).

(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 及W 同构, 那么

W

也是数域

F

上的

n

维向量空间.

( ).

(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类.

( ).

答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确

(8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)

正确 (16)错误 (17)正确

(18)正确 (19)正确 (20)错误

二 填空题

(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的

向量空间.

(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成

R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.

(3) 全体正集合R +,对加实数的法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成

R 上的向量空间.

则a R +∈的负向量为________.

(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

2

(,)(,)(,),

(1)(,)(,),2

a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+

构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.

(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

2

(,)(,)(,),

(1)(,)(,),2

a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+

构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.

(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____.

(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量

个数是________.

(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一

个基为_______.

(9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一