第三讲3.2平面与圆柱面的截线

第三讲圆锥曲线性质的探讨
3.2 平面与圆柱面的截线
A级基础巩固
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和
斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
答案：D
2．若平面α与球O相切，切点为M，则( )
A．经过M点的直线都与球O相切
B．不经过M点的直线都与球O相离
C．平面α内不经过M点的直线有可能与球O相切
D．平面α内经过M点的直线都与球O相切
解析：平面α与球O内切于M点，则平面α内经过M点的直线都与球O相
切，平面α内不经过M点的直线都与球O相离．
答案：D 3．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离
心率是( )
A.
3
2B．1C.
2
2D.
1
2
解析：因为平面与圆柱截口图形为椭圆，
所以其离心率e＝cos 60°＝1 2.
答案：D
4．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(
)
A.12
B.33
C.3
2
D ．非上述结论
答案：A
5．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截得椭圆
的焦距为( )
A ．22
B ．2
C ．4
D ．42
解析：由题意得椭圆长半轴a ＝2
sin 45°
＝22，
离心率c a ＝cos 45°＝2
2
，
则半焦距c ＝2
2
a ＝2，故焦距2c ＝4.
答案：C
二、填空题
6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10
，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________．
答案：
4
5
7．椭圆x29＋y24＋k ＝1的离心率为4
5
，则k 的值为________．
解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，
由c a ＝4
5，即5－k 3＝45
，
解得k ＝－1925
；
若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝4
5，即k －54＋k ＝45
，解得k ＝21.
答案：－
19
25
或21 8．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为1
2
，则Dandelin 双球的半径是_
_______．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a2c ＝4，c a ＝12
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝2，
c ＝1，
所以b ＝a2－c2＝3. 所以Dandelin 球的半径为3.
答案：3 三、解答题
9．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面
与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．
解：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2，
所以短轴长为4. 设长轴长为2a ， 则有
2b 2a ＝sin 30°＝1
2
. 所以2a ＝4b ＝8，c ＝a2－b2＝23.
所以e ＝c a ＝234＝3
2
.
所以长轴长为8，短轴长为4，离心率为
3
2
.
10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内
切，试求动圆圆心的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，
则有：|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，
所以|MO 1|＋|MO 2|＝10，
由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，
且a ＝5，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y2
16
＝1.
B 级 能力提升
1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于
圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A.12
B.2
2
C.33
D.32
解析：Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰
好等于椭圆的短轴长．
因为由题意可知2b ＝2c ， 所以e ＝c a ＝c b2＋c2
＝c 2c ＝2
2.
答案：B
2．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是
3
b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．
解析：由题意知，椭圆短轴长为2b ，
长轴长2a ＝
2b
sin 30°
＝4b ， 所以c ＝4b2－b2＝3b .
所以e ＝3b 2b ＝32或e ＝cos 30°＝3
2.
设P 到F 1的距离为d ，则
d 3b ＝3
2
，
所以d ＝3
2
b .
又PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，
所以PF 2＝4b －PF 1＝4b －32b ＝5
2
b .
答案：52
b
3．设F 1，F 2分别是椭圆：
x2a2
＋
y2b2
＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点
，且|PQ |＝4
3
a .
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程．
解：(1)直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a2－b2，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P 、Q 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，
x2a2＋y2
b2＝1，
化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，
则x 1＋x 2＝－2a2c a2＋b2，x 1x 2＝a2（c2－b2）
a2＋b2
.
所以|PQ |＝2|x 2－x 1|＝
2[（x1＋x2）2－4x1x2]＝43
a ，
化简，得43a ＝4ab2
a2＋b2
，故a 2＝2b 2，
所以椭圆的离心率 e ＝c a ＝a2－b2a ＝2
2
.
(2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)，
由(1)知x0＝x1＋x2
2＝
－a2c
a2＋b2
＝－
2
3c，
y0＝x0＋c＝
c
3.
由|MP|＝|MQ|，得k MN＝－1，
即y0＋1
x0＝－1，得c＝3，
从而a＝32，b＝3.
故椭圆的方程为x2
18＋
y2
9＝1.。