第三讲3.2平面与圆柱面的截线

第三讲圆锥曲线性质的探讨

3.2 平面与圆柱面的截线

A级基础巩固

一、选择题

1．下列说法不正确的是( )

A．圆柱面的母线与轴线平行

B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和

斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径

答案：D

2．若平面α与球O相切，切点为M，则( )

A．经过M点的直线都与球O相切

B．不经过M点的直线都与球O相离

C．平面α内不经过M点的直线有可能与球O相切

D．平面α内经过M点的直线都与球O相切

解析：平面α与球O内切于M点，则平面α内经过M点的直线都与球O相

切，平面α内不经过M点的直线都与球O相离．

答案：D 3．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离

心率是( )

A.

3

2B．1C.

2

2D.

1

2

解析：因为平面与圆柱截口图形为椭圆，

所以其离心率e＝cos 60°＝1 2.

答案：D

4．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(

)

A.12

B.33

C.3

2

D ．非上述结论

答案：A

5．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截得椭圆

的焦距为( )

A ．22

B ．2

C ．4

D ．42

解析：由题意得椭圆长半轴a ＝2

sin 45°

＝22，

离心率c a ＝cos 45°＝2

2

，

则半焦距c ＝2

2

a ＝2，故焦距2c ＝4.

答案：C

二、填空题

6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10

，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________．

答案：

4

5

7．椭圆x29＋y24＋k ＝1的离心率为4

5

，则k 的值为________．

解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，

由c a ＝4

5，即5－k 3＝45

，

解得k ＝－1925

；

若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝4

5，即k －54＋k ＝45

，解得k ＝21.

答案：－

19

25

或21 8．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为1

2

，则Dandelin 双球的半径是_

_______．

解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a2c ＝4，c a ＝12

，解得⎩⎪⎨

⎪⎧a ＝2，

c ＝1，

所以b ＝a2－c2＝3. 所以Dandelin 球的半径为3.

答案：3 三、解答题

9．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面

与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．

解：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2，

所以短轴长为4. 设长轴长为2a ， 则有

2b 2a ＝sin 30°＝1

2

. 所以2a ＝4b ＝8，c ＝a2－b2＝23.

所以e ＝c a ＝234＝3

2

.

所以长轴长为8，短轴长为4，离心率为

3

2

.

10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内

切，试求动圆圆心的轨迹方程．

解：设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，

则有：|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，

所以|MO 1|＋|MO 2|＝10，

由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，

且a ＝5，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，

故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y2

16

＝1.

B 级 能力提升

1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于

圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )

A.12

B.2

2

C.33

D.32

解析：Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰

好等于椭圆的短轴长．

因为由题意可知2b ＝2c ， 所以e ＝c a ＝c b2＋c2

＝c 2c ＝2

2.

答案：B

2．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是

3

b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．

解析：由题意知，椭圆短轴长为2b ，

长轴长2a ＝

2b

sin 30°

＝4b ， 所以c ＝4b2－b2＝3b .

所以e ＝3b 2b ＝32或e ＝cos 30°＝3

2.

设P 到F 1的距离为d ，则

d 3b ＝3

2

，