同济大学朱慈勉 结构力学12章

p p
一系列 可破坏 荷载的 最小值
…… ……
pu
极限荷载 一系列 可接受 荷载的 最大值
“ 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载”。 或：“极限荷载是唯一的”
12.4 超静定梁的极限荷载
一、确定极限荷载的三种方法 • 1、机动法 • 2、静力法 • 3、试算法 二、机动法
1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算 出各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中 的最小者即为极限荷载。 三、试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验 算该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。
三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。 1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
q u1
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
q
l
qu
A

x
Mu x
l 2
2

B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p

2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
Mu
M DA
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
E
Ms s 1 2 bh 6
y s y0
y
1 2 M s bh s 6
h 2 h 2
y s
h 2 h 2
2.弹塑性阶段
y

s
y0

s h s Ey0 2 y0
s 2 y0 h
y0 y0
2 2 2 2 y0 bh2 s 3 2 y0 h h 3 2 y0 M s b( y0 )( y0 ) s b ( 2 ) Ms ( 2 ) 2 2 3 6 2 h 2 h M 1 [3 ( s ) 2 ] Ms 2
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。

y
卸载时有残余变形

§12-2 纯弯曲梁的极限弯矩和塑性铰
1. 弹性阶段
b b 2 2
M
M
y / E 2 s s s h/2 Eh
z
同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷 载，又是可接受荷载。
四、确定极限荷载三个定理 1、上限定理（亦称“机动定理”、或“极小定理”) 对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏 机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。 或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”) 或：“可接受荷载的最大值是极限荷载的下限”。 或：“极限荷载是可接受荷载的最大值” 3、单值定理（亦称“唯一定理”)
p
A
C
M u1 M u2
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
试确定图示单跨梁的极限荷载
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
12.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
p

2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C

1

y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
2a
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构1
2
a
a
p Mu

3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
s 弹性极限弯矩 塑性极限弯矩 （屈服弯矩）
Mu s
3. 塑性流动阶段
b
3. 塑性流动阶段
h h 1 2 M u s b bh s 2 2 4 1 M s bh2 s 6
Mu 1 截面形状系数 Ms 塑性铰(plastic hinge)的概念
压
拉
h 2 h 2
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u

2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值