同济大学朱慈勉 结构力学12章

M u qu 2 l 2 Mu 2 8
（4）极限状态
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
q
l
qu
A

x
Mu x
l 2
2

B
dx C
Mu
Mu
临 界 状 态 时 ， 由 虚 功程 方： 2 x qu dx M u M u M u 2
1 2 l qu 4 M u 4 16M u qu l2
Mu
塑性极限弯矩 仅与截面形状有关
ห้องสมุดไป่ตู้
截面形状
矩形 圆
截面形状 系数 1.5 16/3p=1.7
进入塑性流动区后，截面抵抗内力不在增加，但变 形继续发展，相当与承受一个极限弯矩作用的铰
塑性铰与普通铰的相同之处： 铰两侧的截面可以产生有限的相对转角
工字型
圆环
1.10～1.17
1.27～1.40
塑性铰与普通铰的不同之处： (1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。 (2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
2a
a
1.1 p
a
a
p

2
Mu
验 算 屈服 条 件 ：
Mu
M DA
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
（1）弹性阶段
qs
qs l 2 12 qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末
Mu
可得： qu 2 4Mu l2
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 2 8
Mu
Mu
令
12M u 由情况（ 3） ， 可 知 ： qu1 l2 12M u 4 M u 16M u 于 是 q u q u1 q u 2 2 l2 l l2
p p
一系列 可破坏 荷载的 最小值
…… ……
pu
极限荷载 一系列 可接受 荷载的 最大值
“ 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载”。 或：“极限荷载是唯一的”
12.4 超静定梁的极限荷载
一、确定极限荷载的三种方法 • 1、机动法 • 2、静力法 • 3、试算法 二、机动法
1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算 出各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中 的最小者即为极限荷载。 三、试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验 算该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。
dM Q( x ) dx
ql 2
M 0
Q( x )
Q
x
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
d 2M q( x ) 2 dx
M
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法1 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与 机构（ 1） 相应的 M图， p1 2.27
机构（2）
1.1 p
Mu
p
1 2 (1.1 p2 ) 2a M u 3 3 3M u 1 2 (1.1 ) 2a M u 3 a 3 1.53M u M u
M DA
Mu
经验算各截面弯矩值不 满足屈服条件， M p2 3 u 不 是 极 限 荷 载 。 a
M图
例题3 求图示结构的极限荷载。
机构（ 3）
Mu a
Mu
p
机构2

p M u
2
q 2p
a
1.2 p
p
机构3
Mu
3
p
q 2p
a
Mu

Mu
2
a
Mu
1.2 p
2 p3 dx x M u M u M u 2 0 a M p3 2 u a 机构（ 4） 2
a
1.2 p4 a M u M u 2 p1 2.5 Mu a
E
Ms s 1 2 bh 6
y s y0
y
1 2 M s bh s 6
h 2 h 2
y s
h 2 h 2
2.弹塑性阶段
y

s
y0

s h s Ey0 2 y0
s 2 y0 h
y0 y0
2 2 2 2 y0 bh2 s 3 2 y0 h h 3 2 y0 M s b( y0 )( y0 ) s b ( 2 ) Ms ( 2 ) 2 2 3 6 2 h 2 h M 1 [3 ( s ) 2 ] Ms 2
a
1.1 p
Mu 机构（3）
a
p
a
Mu
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 。 值
x
M
M
y
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
d 2M q dx2 (a )当q为 正 值 (向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 ； 值 (b)当q为 负 值 (向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 。 值
Mu
q
1.1 p
Mu
p
x
q
机构（4）
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
弯矩（ M）、剪力（ Q）与荷载集度 (q) 关系:
0
A
ql 2
q
B
N
q( x )
M
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
y0
ql qx 2
ql 2
x
dQ q( x ) dx
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
验算屈 服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635M u M u

2
Mu
3
机构（1）
1.1 p
Mu
p
Mu
M图
M EC
经验算各截面弯矩值足 满屈服条件， M pu 2.27 u a
p
解： 机构（ 1） p1 2a p1 a M u M u 3 p1 1.33 Mu a
p
q 2p
a
1.2 p
A
E
F
B
C
D
a
p
机构1
2
a
a
p Mu

3
2a
q 2p a
a
a
1.2 p
机构（ 2） p2 a p2 2a M u 2 M u 3 p1 1.67
s 弹性极限弯矩 塑性极限弯矩 （屈服弯矩）
Mu s
3. 塑性流动阶段
b
3. 塑性流动阶段
h h 1 2 M u s b bh s 2 2 4 1 M s bh2 s 6
Mu 1 截面形状系数 Ms 塑性铰(plastic hinge)的概念
压
拉
h 2 h 2
p
A
C
M u1 M u2
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
试确定图示单跨梁的极限荷载
三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。 1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
q u1
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
Mu
二、结构极限状态时应满足的三个条件 1、机构条件
当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变 成机构。
2、屈服条件 当荷载达到极限值时，结构上各截面的弯矩都不能超过其极限值。
Mu M Mu
3、平衡条件
当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任意局部上的所有的力 都必须保持平衡。
三、三个定义 1、可破坏荷载（p+)
对任意单向破坏机构，根据平衡条件求得的荷载。它满足机构条件 和平衡条件。
2、可接受荷载屈服条件（p-) 根据静力可能而又安全的内力分布求得的荷载。它满平衡条件和屈 服条件。 3、极限荷载（pu)
三、基本假设
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。
3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。

y
卸载时有残余变形

§12-2 纯弯曲梁的极限弯矩和塑性铰
1. 弹性阶段
b b 2 2
M
M
y / E 2 s s s h/2 Eh
z
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
ql 2 12 ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l Mu 12
q u1 l 2 M u 24 2
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
1.1 p
Mu
a
a
p
机构（ 1） 1.1p1 2a M u 3 M u 2 p1 2.27 Mu a

2
Mu
3
机构（ 2） p2 a M u M u 2
机构（1）
1.1 p
第12章
梁和刚架的极限荷载
一、弹性分析： 在计算中假设应力与应变之间为线性关系，荷载全部卸除后结构没有残 余变形。 • 弹性设计方法：利用弹性分析所得的结果，以许用应力作为依据来确定 截面尺寸或进行强度验算，称之为弹性设计方法。 • 弹性设计方法的缺点：弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构的这 一部分承载能力，因而弹性设计是不够经济合理的。 • 如塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力大道屈服极限，甚 至某一局部已经进入塑性阶段时，结构并没有破坏。 二、塑性设计方法 就是为了消除弹性设计的缺点而发展起来的。 在塑性设计中： • 首先要确定结构破坏时所能承担的荷载，即所谓的极限荷载； • 其次，讲极限荷载除以荷载系数得出容许荷载，并以此为依据来进行设 计
p

2
p2 3
Mu a
Mu
Mu
Mu 依 上 限 定 理 ： pu 2.27 a
机构（2）
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 (1)分析弯矩与曲率的关系 : p 1.1 p
A D B E
C

1

y
M EI
(a )当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 ； 值
2a
p1
Mu Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（一）
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（二）
Mu
Mu
机构（二）M 图情况
Mu
p1
机构（三）
p2
B
M u2
不可能出现，为什么？
12.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载
a ) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq
l 2 0
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
q
A
C
B
l
Mu
Mu
Mu
极限状态弯矩图
Mu
C
qu
l 2
B
y0
Mu
VB
qu l 2
MB 0

l l M u M u qu 0 2 4
vA 0
vB
qu l 2
极限状态受力图
qu
16M u l2
4、确定复杂结构极限荷载面临的问题
同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷 载，又是可接受荷载。
四、确定极限荷载三个定理 1、上限定理（亦称“机动定理”、或“极小定理”) 对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏 机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。 或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”) 或：“可接受荷载的最大值是极限荷载的下限”。 或：“极限荷载是可接受荷载的最大值” 3、单值定理（亦称“唯一定理”)