解三角形(经典题型)

1．△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且bc a c b 3222+=+，2

cos sin sin 2C B A =． （1）求角A 与角B 的大小；

（2）若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．

2．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c , 向量

(,),m a b c =-(,)n a c

a b =-+,且m 与n 共线. （1）求角B 的大小;

（2）设2

3cos sin 22C A C y -+=,求y 的最大值及此时角C 的大小.

3．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为

（1）求角B 的大小；

（2）若a+c=1,求b 的取值范围

4．ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.

（1）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；

（2）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.

5．已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边, c a sin C +c cos A ． (1)求A ；

(2)若a =ABC ∆求b ,c ．

6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin B =

. （1）求cos A 及sin C 的值；

（2）若2b =，求ABC ∆的面积.

7．设函数f(x)＝cos 23x π⎛⎫+

⎪⎝⎭

＋2cos 22x ，x ∈R ． (1)求f(x)的值域；

(2)记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f(B)＝1，b ＝1，c a 的值．

8．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.

(1)求证：,,a b c 成等比数列；

(2)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .

9．已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2

222()cos cos -=-B b c A a a . (1)求角A 的值；

(2)若3=a ，则求c b +的取值范围.

10．如图,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===

(1)求cos CAD ∠的值;

(2)若cos BAD ∠=,sin 6

CBA ∠=,求BC 的长.

11．已知在ABC ∆中，角A,B,C,的对边分别为,,a b c ，且222

,1b a c ac b =+-=

（1）若tan tan tan tan ),A C A C c -=+求边的值； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积.

参考答案

1．（1）6π=

=B A （2）3sin 2

1=⨯=C CB AC S 【解析】 （1）2

32cos 222=-+=bc a c b A 6π=⇒A 2

cos sin sin 2C B A =)cos(1cos 1sin sin 2B A C B A +-=+=⇒ 1)cos(=-⇒B A Z k k B A ∈=-⇒,2π

取0=k 得6π

==B A

（2）设m AC 2=，则m CM = 3

2π=C 由余弦定理

C CM AC CM AC AM cos 2222⨯-+=

得1=m

则△ABC 的面积为3sin 2

1=⨯=C CB AC S 2．（1）3π=B （2）3

π=C 【解析】（1）因m 与n 共线,所以0)())((=--+-c a c b a b a ,

即ac c a b -+=222, 故2

1cos =B , 而π<

B

M

C

（2）因C C B A -=--=3

2ππ, 所以1)6

2sin()23cos(2cos 123cos sin 22+-=-+-=-+=ππC C C C A C y 故2max =y ,此时因3

20π<

b ≤<

【解析】(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=

即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3

B π=. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有22113()24

b a =-+. 又01a <<,于是有2114

b ≤<,即有112b ≤<. 4．（1）证明见解析；（2）

12. 【解析】

试题分析：（1）因为c b a ，，成等差数列，所以2a c b +=，再由三角形正弦定理得sin sin 2sin A C B

+=，又在A B C ∆中，有()B A B π=-+，所以s i n s i n [()B A C A C π=-+=

+，最后得： ()sin sin 2sin A C A C +=+，即得证；

（2）因为c b a ，，成等比数列，所以22b ac =，由余弦定理得

22222cos 22a c b a c ac B ac ac

+-+-==