伽利略斜面实验的分析PPT

1 引 言
伽利略斜面实验是普通物理学中的一个重要理想实验，由 于教材体系、学生知识水平的缘故，均对其进行定性分析，以
至于小球的受力、运动状态、能量转化不甚清晰，有必要对其
进行定量分析而加以明确，并澄清相关的模糊认识．本文就此 做些探讨，同时提出相应的教学建议．
2 伽利略斜面实验
伽利略斜面实验 [1～ 3 ，6] 如图 1所示，小球沿导轨斜面 1 ，从 某高度处静止开始下滚，经导轨最低处，沿导轨斜面2上滚至略 小于原高度处而速度为零 ；然后，再下滚、上滚，如此循环； 但每次上滚的高度均略小于下滚时的高度．
由式（15）～（17）、（4），得
vc 10 gh 7
（18）
进而
1 5 mv c2 mgh 2 7 1 2 I c 2 mgh 2 7
（19） （20）
式（19）、（20）表示了小球从静止开始沿斜面1质心下降高
h
时的平动动能和转动动能的量值．综合式（ 15 ）、（ 16 ）、
（19）、（20）可知：重力 mg 的作用是使小球质心的平动动能
定性讨论[4]；但沿导轨斜面下滚、上滚时，小球的能量转化问 题一般很少涉及．同时教学实际中，也见到不少教师仍沿用以 上笼统解释．
3 力学分析
3.1 动力学分析 小球沿斜面 1 下滚，小球、斜面视作刚体；小球与斜面间的
2 tan 时，小球沿斜面做无滑滚动[6]；此时 7
、静摩擦力 f1
最大静摩擦因数 ≥
面做无滑滚动，这又不得不将小球视作刚体；而刚体的平面平
行运动的内容在基础物理教材中又不涉及或普通物理教材中又 未及时返回来探讨，这大概就是以上笼统解释的原因． 由上述分析知，只有运用刚体平面平行运动的动力学方程、
能量方程才可将伽利略斜面实验中小球的受力、运动状态、能
量转化清晰地明确；这与原本打算用质点模型来说明惯性定律
1
2
图1 伽利略斜面实验
对上述伽利略斜面实验常见的解释[1～3，6]是：由于小球受
到摩擦的缘故；且推理道：若不受摩擦，小球不仅可上滚至相
同的高度，而且可沿水平面一直滚动下去．然而，小球究竟受 到的是什么摩擦——滑动摩擦、静摩擦、滚动摩擦，还是笼统
指三者？又见到对沿水平面无滑滚动时，小球不受静摩擦力的
增大；而静摩擦力
f1 的作用一方面使小球质心的平动动能减小， f1 不耗损机械能，仅起把平动
另一面使小球绕其质心轴的转动动能增加，且减小的量值与增
加的量值相等．因此，静摩擦力
动能转化成转动动能的作用．
同理，对小球沿斜面 2上滚，即图3所示情形．可知：小球 沿斜面2可上滚到相同的高度；重力 平动动能减小，静摩擦力
小球受重力 mg 、支持力 N1 程[5～8]，有
mgsin f1 mac1
r f 1 I c 1 ac1 r1
Ic 2 2 mr 5
，如图2所示；建立坐
标系o–xyz系，依刚体平面平行运动的动力学方程、无滑滚动方
x
（1） （2） （3） （4）
o
y
f1
mg
N1

图2 小球沿斜面下滚时受力图
f2
mg
的作用是使小球质心的
的作用是使小球绕其质心轴的转动
动能转化成小球质心的平动动能．
对小球沿水平面做无滑滚动，即图 4 所示情形．因不受静
摩擦力 f0 的作用，故小球的平动动能和转动动能不再相互转化， 而各自保持不变．
4 结 论
上述分析表明：正因为小球受到静摩擦力 f1 、f 2 的作用才
使小球沿斜面下滚、上滚；小球只受静摩擦力作用时，可上滚 至相同的高度．因此，笼统解释——小球不受摩擦时可上滚至
图4 小球沿水平面滚动时受力图
式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做无滑滚动时， 不受静摩擦力 的作用；小球的质心匀速平动（相对水平面— f0
—惯性系），小球绕其质心轴匀速转动；即小球的运动状态
（平动、转动状态）保持不变． 3.2 能量分析
若从能量观（即能量法）分析，可清晰地看到小球的能量转
相同的高度显得不妥；笼统解释仅适用于小球沿水平面滚动的
情形．
然而，对上述真实的伽利略斜面实验，由于小球、斜面和
水平面不是理想的刚体，所以小球还受到一定的滚动摩擦力矩
的作用，从而使小球不再沿斜面上滚至原来的高度或沿水平面 一直滚动下去；同时伴随着机械能向内能的转化．
5 教学建议
一般，滚动摩擦远小于滑动摩擦；正因为如此，通常用小 球来做伽利略斜面实验；但在一定条件下，小球可以沿导轨斜
易见，静摩擦力 f的作用：一方面使小球质心的平动加速， 2
另一方面使小球绕其质心轴的转动减速． 若斜面2变为水平面，小球做无滑滚动，如图4所示；那么，
此时小球受静摩擦力
的 0 ，得
f0 0 ac 0 0
否？ f0
N0
为此，只需令式（11）中
（12） （13） （14）
x y
mg
o
0 0
的初衷相背离，使问题复杂化，从而很难获得清楚的解释．因
此，建议在教学中宜采用质点模型的伽利略斜面实验；这就要
求运用现有的气垫导轨装置或较粗糙的小车、斜平面装置，或 有待新开发、设计的其它实验装置．
参考文献：
[1]
[2] [3] [4] [5]
化．如图 2 所示，依刚体平面平行运动的能量方程（平动能量方 程、转动能量方程）、无滑滚动方程[7]，有
(mg sin f1 ) l f1 l 1 I c 2 2 1 2 mv c 2
（15） （16） （17）
源自文库
vc r
其中 l h sin 为小球滚下高
h
时质心的位移．
o
f2
系，如图3所示，则有
f 2 mgsin mac 2
（7） （8） （9）
r f2 Ic 2
ac 2 r 2

mg
图3 小球沿斜面上滚时受力图
由式（7）～（9）、（4），得
5 ac 2 g sin 7 f2 2 mg sin 7
（10）
（11）
其中 r 为小球半径， I c 为转动惯量．
由式（1）～（4），得
a c1 f1 5 g sin 7 2 mg sin 7
（5） （6）
可见，静摩擦力 f1 的作用：一方面使小球质心的平动减速，
另一方面使小球绕其质心轴的转动加速． 同理，小球沿斜面 2 无滑上
x
N2
y
滚，静摩擦力
f 2 ，坐标系o–xyz