专题10 圆锥曲线的方程与性质(解析版)
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专题10 圆锥曲线的方程与性质
【要点提炼】
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|); (2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d (d 为M 点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2+x 2
b 2=1(a >b >0)(焦点在y 轴上);
(2)双曲线:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2-x 2
b 2=1(a >0,b >0)(焦点在y 轴上);
(3)抛物线:y 2=2px ,y 2=-2px ,x 2=2py ,x 2=-2py (p >0). 3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a ,b ,c 之间的关系
①在椭圆中:a 2
=b 2
+c 2
;离心率为e =c a =1-b 2
a 2.
②在双曲线中:c 2=a 2+b 2
;离心率为e =c a =1+b 2a 2.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b
a x ;焦点坐标F 1(-c ,0),F 2(c ,
0).
②双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±a
b x ,焦点坐标F 1(0,-
c ),F 2(0,
c ).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2,0,准线方程x =-p 2.
②抛物线x 2
=2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2,准线方程y =-p 2. 4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦
设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k ,直线与圆锥曲线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1
k 2(y 1+y 2)2-4y 1y 2. (2)过抛物线焦点的弦
抛物线y 2
=2px (p >0)过焦点F 的弦AB ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 2
4,y 1y 2
=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .
考点
考向一 圆锥曲线的定义及标准方程
【典例1】 (1)(2020·浙江卷)已知点O (0,0),A (-2,0),B (2,0).设点P 满足|P A |-|PB |=2,且P 为函数y =34-x 2图象上的点,则|OP |=( ) A.222 B.4105 C.7
D.10
(2)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22+y 2
=1 B.x 23+y 2
2=1 C.x 24+y 2
3=1
D.x 25+y 2
4=1
解析 (1)由|P A |-|PB |=2<|AB |=4,得点P 的轨迹是双曲线的右支.又a =1,c =2,知b 2
=c 2
-a 2
=3.故点P 的轨迹方程为x 2
-y 2
3=1(x ≥1)①,由于y =34-x 2
②,联立①②,得x 2=134,y 2=27
4,故|OP |=x 2+y 2=10.
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0).连接F 1A ,令|F 2B |=m ,则|AF 2|=2m ,
|BF 1|=3m .
由椭圆定义,4m =2a ,得m =a
2,
故|F 2A |=|F 1A |=a ,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点. 如图,不妨设A (0,-b ),依题意,AF 2→=2F 2B →
,得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,b 2.
由点B 在椭圆上,得94a 2+b 2
4
b 2=1,
得a 2
=3,b 2
=a 2
-c 2
=2,椭圆C 的方程为x 23+y 2
2=1.
答案 (1)D (2)B
探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程,另外注意焦点在不同的坐标轴上,椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2,p 的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【拓展练习1】 (1)(2020·天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0),过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 2
4=1 B.x 2
-y 2
4=1
C.x 24-y 2
=1
D.x 2-y 2=1
(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点M (x 0,66)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 0>p 2是抛物线上一点,以M 为圆心的圆与直线x =p 2交于A ,B 两点(A 在
B 的上方),若sin ∠MF A =5
7,则此抛物线的方程为________.
解析 (1)由y 2=4x ,知焦点坐标为(1,0),则过点(1,0)和点(0,b )的直线方程为x +y
b =1.
易知x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为x a +y b =0和x a -y
b =0.
由l 与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a =1,b =1.故双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.
(2)如图所示,过M 点作CM ⊥AF ,垂足为C ,交准线于D ,