10压杆稳定_1欧拉公式
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。
构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。
因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥魁北克大桥稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。
当载荷小于某一个临界力Fcr，如图(b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。
当压力F等于临界力Fcr时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。
但当压力F超过临界力Fcr时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr表示。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件1. 引言在静力学中，我们经常遇到压杆稳定问题。
欧拉公式是研究压杆稳定性的重要工具之一。
本文将阐述欧拉公式成立的条件。
2. 什么是欧拉公式？欧拉公式是描述弹性直杆稳定性的一种公式。
它的数学表达式为：Fcr = (π² * E * I) / L²其中，Fcr代表临界压力，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
3. 欧拉公式的作用欧拉公式可以用来判断压杆在不同条件下是否会发生稳定失效。
当施加的压力小于临界压力时，压杆稳定；当施加的压力大于临界压力时，压杆会发生屈曲失稳。
4. 欧拉公式的前提条件要保证欧拉公式成立，有以下几个关键的前提条件：•材料是均匀的弹性材料；•杆件是直线型的；•杆件的截面是均匀的；•杆件的两端是固定的。
如果以上条件不满足，欧拉公式可能不适用，需要采用其他方法进行稳定性分析。
5. 欧拉公式的局限性尽管欧拉公式在很多情况下都具有很好的适用性，但也存在一些局限性：•欧拉公式忽略了杆件在屈曲时的非线性行为，因此在较大的弯曲时可能不准确；•欧拉公式适用于线弹性材料，在非线性材料中应用时需要额外的修正或采用其他方法。
6. 结语欧拉公式提供了一种简单但有效的判断压杆稳定性的方法。
在满足一定的前提条件下，我们可以使用欧拉公式来判断压杆是否会发生屈曲失稳。
然而，在实际工程中，我们需要根据具体情况进行综合分析，避免忽略其他因素的影响。
参考文献： [1] 郭华东. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2014. [2] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of elastic stability[M]. McGraw-Hill.以上为本文的主要内容，通过介绍欧拉公式的成立条件，我们可以更好地理解压杆稳定问题。
希望这篇文章对您有所帮助！。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件以压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件为题，我们来探讨一下这个问题。
压杆稳定问题是工程力学中的一个经典问题，研究的是在受到外力作用下，压杆是否会发生失稳。
而欧拉公式则是描述了在何种条件下，压杆会发生失稳的公式。
我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式可以用数学语言来表示为Fcr = π²EI / L²，其中Fcr表示压杆的临界压力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆长。
这个公式告诉我们，只有当外力超过了临界压力时，压杆才会发生失稳。
那么，欧拉公式成立的条件是什么呢？欧拉公式的推导是基于一些假设条件的。
这些条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零。
只有在满足这些条件的情况下，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的成立还与杆件的形状有关。
对于不同形状的杆件，其欧拉公式的形式也会有所不同。
例如，对于长方形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Ebh² / L²，其中b和h分别表示杆件的宽度和高度。
对于圆形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Eπr⁴ / L²，其中r表示杆件的半径。
欧拉公式还要求杆件处于稳定的静力平衡状态。
也就是说，在外力作用下，杆件的挠度要小到可以忽略不计。
如果杆件的挠度过大，那么欧拉公式就不再适用。
欧拉公式成立的条件还包括杆件的材料特性。
杆件的弹性模量E是杆件材料的一个重要参数，它描述了杆件材料的刚度。
当杆件的材料刚度较大时，欧拉公式更加准确。
欧拉公式成立的条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零；杆件处于稳定的静力平衡状态；杆件的形状和材料特性。
在工程实践中，我们经常使用欧拉公式来计算杆件的临界压力，以确定杆件是否会发生失稳。
通过合理选择杆件的形状和材料，我们可以满足欧拉公式成立的条件，从而保证杆件的稳定性。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆稳定-欧拉公式适用条件30min课件
— 欧拉公式
临界应力
cr
Fcr A
2E 2
— 欧拉临界应力公式
柔度
（长细比）
l
i
量纲：1
{ 约束条件 l 杆长 i 截面形状尺寸
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
弯曲变形近似微分方程：
d2y M dx2 EI
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
i
A
•临界柔度
P
E
P
P — 比例极限
S
a s
bs — 屈服极限来自•临界应力P(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P S (中柔度杆) cr a b 直线公式
S (小柔度杆) cr s 强度问题
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
cr a b a、b — 材料常数
cr s
S
a s
b
当 S P cr a b
中柔度杆（中长杆）
S
cr s
小柔度杆（短粗杆）
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
C
cr
2E 2
D
P
内容回顾
稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。 失 稳：压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡
欧拉公式普遍形式：
2 EI Fcr (l )2
适用对象： ➢ 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） ➢ 线弹性，小变形
压杆稳定的欧拉公式适用的范围
压杆稳定的欧拉公式适用的范围
压杆稳定的欧拉公式适用于长细杆在压缩加载情况下的稳定性分析。
所谓长细杆是指杆长相对于其横截面尺寸较大，而且应变和应力分布趋近于均匀的杆件。
压杆的稳定性是指杆件在受压载荷作用下，不会发生失稳和破坏的能力。
欧拉公式表达了杆件临界压力（临界荷载）与杆件几何参数的关系，其数学表达式为：
Pc = π²EI / L²
其中，Pc为杆件的临界压力，E为材料的弹性模量，I为截面
面惯性矩，L为杆件的有效长度。
需要注意的是，欧拉公式适用于以下情况：
1. 杆件为均质材料，材料的性质在整个杆件上是均匀的。
2. 杆件受到纯压缩载荷作用，不受扭矩或弯矩的影响。
3. 杆件几何形状为长细杆，即杆长相对于其横截面尺寸较大。
4. 杆件的杨氏模量E在整个应变范围内保持恒定。
5. 杆件的材料在应力较小时没有明显的塑性变形。
6. 杆件的几何形状和截面尺寸为理想状态，即截面形状规则，并且截面尺寸准确无误。
总体而言，欧拉公式适用于长细杆在稳定性分析中的初步预估，但在实际工程中，为了更精确地评估杆件的稳定性，通常还需要考虑其他因素，如材料非均匀性、截面形状不规则等。
压杆稳定的欧拉公式ppt课件
L
0.25L 各种支承下压
L
0.7L
杆临界力的通
0.5L 用公式：
L
0.3L
0.25L
Fcr
2EIm i n (L)2
1 2 0.7 0.5 :长度因数
两端铰支, 一端固定,一端自由,
L:相当长度
一端固定,一端铰支, 约束越牢固，长度因数越小。
两端固定, .
计算临界力的统一形式：
Fcr
2EImin (L) 2
第9章 压杆稳定
第二章中，轴向压杆的强度条件为：
σmax=FNAmax≤[σ]
F
例如：横截面为50mm×4mm，长度1m的木杆，[σ] ＝10MPa。受轴向压力F作用。 1）按强度条件，其可承受最大压力为：
F=〔σ〕A=2000N； 2）实际上，当压力F不足30N时，杆就突然发生明
显的侧向弯曲变形。力再稍增加，杆就折断了。 3）杆之折断，并非抗压强度不足，而是与受压时
欧拉公式(Euler formula )的应用条件： 1 理想压杆； 2 线弹性范围内； 3 两端为球铰支座。
.
9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进 行推导，推导过程与“两端铰支”细长压杆相同。
y
x
F
l
F
F
L
.
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
2EImin L2
临界状态
稳 定
对应的
过渡
不 稳 定
压力
临界压力:Fcr
.
9.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力的推导
假定压力已达到临界值，杆处于微弯状态w，x M(x)
10.刘鸿文版材料力学-压杆稳定
经验公式
（直线公式）
cr a b
a s b
cr s
令
a s 2 b
2 (小柔度杆)
cr s
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度
l μ四种取值情况， i i
P — 比例极限
I A
d
l
i
I A
d 4 4 d 4 1cm 2 64 d 4 4
2 37.5 75 i 1 查得45钢的2=60，1=100，2<<1，属于中柔度杆。
目录
l
§9.5
压杆的稳定校核
（2）计算临界力，校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为
D d 4 64 D 2 d 2
4 4
FN 26.6kN
n
D2 d 2 16mm 4
Fcr 118 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
目录
§9.5
压杆的稳定校核
例题 千斤顶如图所示，丝杠长度 l=37.5cm，内径d=4cm，材料为 45钢。最大起重量F=80kN，规定 的稳定安全系数nst=4。试校核丝 杠的稳定性。 （1）计算柔度
2、
1 Fcr 2 l
杆长，Fcr小，易失稳
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
3、在
Fcr EI
刚度小，Fcr小，易失稳
Fcr作用下，
k
, w A sin l l l x ,w A 2
x
挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
欧拉公式的适用范围和经验公式
差。反之， 越小，压杆的稳定性越好。由上式，欧拉公式的适用
范围为
π2E
2
p
或
π2E p
Hale Waihona Puke 令p π2E
p
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 p是对应于比例极限的柔度值。由上可知，只有对柔度 ≥ p
的压杆，才能用欧拉公式计算其临界力。柔度 ≥ p的压杆称为大 柔度压杆或细长压杆。
p≈100。对于木压杆， p≈110。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
1.2 抛物线公式
< p的压杆称为中、小柔度压杆。这类压杆的临界应力通常
采用经验公式进行计算。经验公式是根据大量试验结果建立起来的, 目前常用的有直线公式和抛物线公式两种。本书仅介绍抛物线公式， 其表达式为
cr= sa 2 式中：s——材料的屈服极限，单位为MPa；
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 【例10.3】 图示压杆的横截面为矩形，h=80mm，b=50mm，
杆长l=2m，材料为Q235钢，s=235MPa, C=123。在图(a)所示平面
内，杆端约束为两端铰支；在图(b)所示平面内,杆端约束为两端固 定。试求此压杆的临界力。
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式
86.6
压杆在xz平面内，杆端约束为两端固定，μ=0.5。惯性半径为
柔度为
iz
b 50103 m 14.43103 m
12
12
y
l
iy
0.5 2 14.43103
69.3
目录
压杆稳定\欧拉公式的适用范围与经验公式 由于z>y，故压杆将在xy平面内失稳。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
压杆稳定
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件什么是压杆稳定问题？压杆稳定问题是力学中的一个经典问题。
在这个问题中，我们考虑一个竖立的杆，一个力作用在杆的一侧，试图使杆失去平衡。
我们想要确定杆将保持平衡的条件。
欧拉公式欧拉公式是数学中的一个经典公式，它描述了复数的性质。
欧拉公式如下：[ e^{ix} = (x) + i(x) ]其中，( e ) 是自然对数的底，( i ) 是虚数单位。
欧拉公式与压杆稳定问题在压杆稳定问题中，我们可以利用欧拉公式来解决该问题。
以下是欧拉公式在解决压杆稳定问题中的应用条件：1.杆的长度恒定：对于欧拉公式成立，杆的长度必须是恒定的，即不随时间变化。
2.杆的质量集中于一个点：杆上的质量应该被视为在杆的质心处集中。
如果质量分布不均匀，则需要将杆分割为多个小段，并对每个小段进行分析。
3.杆受到的外力在杆的质心处作用：外力，比如压力或重力，必须作用在杆的质心处，而不是其他位置。
如果外力不在质心处作用，我们需要将它分解为在质心处的分量。
4.杆不受其他非联系力的影响：杆只受到施加在它上面的力的影响，并且不受其他非联系力的作用，比如摩擦力或空气阻力。
在满足以上条件的情况下，我们可以应用欧拉公式来解决压杆稳定问题。
通过使用欧拉公式，我们可以将直线上的力转化为复数上的点，并利用复数的性质进一步分析问题。
总结压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件包括杆的长度恒定、杆的质量集中于一个点、杆受到的外力在杆的质心处作用以及杆不受其他非联系力的影响。
在这些条件下，我们可以应用欧拉公式来解决压杆稳定问题，并利用复数的性质进行分析。
欧拉公式的应用在压杆稳定问题中，我们可以将欧拉公式应用于以下方面：1. 力的分解通过将外力分解为在杆上的水平和垂直分量，我们可以利用欧拉公式来求解杆的受力情况。
将外力分解为复数形式，我们可以根据欧拉公式中的正余弦关系，计算出杆在水平和垂直方向上的力。
2. 力的合成通过利用欧拉公式中复数的加法和乘法法则，我们可以将杆受到的多个力合成为一个力。
稳定应力计算公式
稳定应力计算公式一、压杆稳定（欧拉公式）1. 细长压杆（理想情况）- 对于两端铰支的细长压杆，其临界力F_cr的计算公式为：F_cr=frac{π^2EI}{l^2}，其中E为材料的弹性模量，I为压杆截面的最小惯性矩，l为压杆的长度。
- 相应的临界应力σ_cr计算公式为：σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{λ^2}，这里A是压杆的横截面面积，λ=(l)/(i)称为柔度，i = √(frac{I){A}}是截面的惯性半径。
2. 一端固定、一端自由的细长压杆。
- 临界力F_cr=frac{π^2EI}{(2l)^2}- 临界应力σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{(2λ)^2}3. 一端固定、一端铰支的细长压杆。
- 临界力F_cr=frac{π^2EI}{(0.7l)^2}- 临界应力σ_cr=frac{F_cr}{A}=frac{π^2E}{(0.7λ)^2}二、梁的整体稳定。
1. 单向受弯钢梁的整体稳定临界弯矩M_cr- 对于双轴对称工字形截面简支梁，在纯弯曲作用下（荷载作用在梁的最大刚度平面内），其临界弯矩M_cr的计算公式为：M_cr=(π)/(l)√(EIyGJ)<=ft(1 + frac{π^2EIy}{l^2GJ})其中Iy为梁绕弱轴y的惯性矩，GJ为梁的扭转刚度（G为剪切模量，J为截面的扭转常数），l为梁的跨度。
- 临界应力σ_cr=frac{M_cr}{W_x}，W_x为梁绕强轴x的抗弯截面系数。
2. 考虑不同荷载作用形式和梁的侧向支撑情况时。
- 对于有侧向支撑的梁，临界弯矩会根据支撑间距等因素进行修正。
例如，对于跨中受集中荷载P的简支梁，其临界弯矩M_cr可近似按下式计算：M_cr=β_b(π)/(l)√(EIyGJ)<=ft(1 + frac{π^2EIy}{l^2GJ})其中β_b是根据荷载类型、作用位置等因素确定的系数。
压杆稳定欧拉公式
压杆稳定欧拉公式首先，我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式被记作：e^iπ+1=0e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个表达式将指数函数e^(ix)分解为一个实部cos(x)和一个虚部sin(x)之和。
这个等式揭示了欧拉公式与三角函数之间紧密的关系。
特别地，当x取π时，欧拉公式退化为欧拉恒等式（Euler's identity）：e^(iπ)+1=0这个等式表明，虚数单位i的指数函数e^(ix)在π这一特殊点上等于-1、这就是为什么欧拉公式通常被表达为e^(iπ) + 1 = 0。
欧拉公式在数学中的应用非常广泛，特别是在压杆稳定问题中。
压杆稳定问题是一个研究结构力学的经典难题，主要探讨物体在受外力作用下的平衡问题。
欧拉公式通过复数的指数函数形式，提供了一种简单而强大的数学工具，用于求解压杆的稳定性问题。
在压杆稳定问题中，我们可以用两个方程来描述物体的平衡条件。
第一个方程是力的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的平衡状态。
第二个方程是扭矩的平衡方程，它描述了物体在受到外力作用下的旋转平衡状态。
通过这两个方程的求解，我们可以得到物体在受外力作用下的平衡状态。
欧拉公式在压杆稳定问题中的应用主要体现在力的平衡方程的求解中。
由于力是矢量，所以我们常常使用复数来表示力的方向和大小。
利用欧拉公式，我们可以将复数的指数函数形式应用到力的平衡方程中。
通过将力的分解为实部和虚部的和，我们可以方便地对力的方向和大小进行计算和求解。
另外，欧拉公式还可以在压杆稳定问题中应用于力的分析和优化。
通过对力的平衡方程进行求导和优化，我们可以得到物体受力最优的条件和方向。
这样，欧拉公式为我们提供了一种解决压杆稳定问题的数学工具和思路。
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
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第一节 引言
压杆是工程实际中常见的一种承载构件，例如： 实践表明，压杆的主要失效形式既不是强度失效，也不是刚度失 效，而是失稳。
恒山悬空寺
一、压杆稳定与压杆失稳 压杆稳定： 压杆能够稳定地保持其原有直线形式的平衡 压杆失稳： 压杆丧失了其原有直线形式的平衡
F FFcr Fcr
F ≥FF ≥ F≥cr FFccrr
一、压杆的临界应力
定义
cr
Fc r A
为压杆的临界应力， 即有
＜ cr： 压杆稳定 ≥ cr： 压杆失稳
二、压杆临界应力的欧拉公式
式中，无量纲参量
cr
π2E
2
l
i
称为压杆的柔度或长细比，其综合反映了压杆的两端约束、长度 和截面对压杆稳定性的影响，可直接作为压杆稳定性的判据。
三、欧拉公式的适用范围
m4
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
l 2
35630 N
A c 5.18 cm2
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不 同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？
解：由于各杆的材料与截 面均相同，故只需比较其
0.7
压杆两端固定但可轴向相对移动： 0.5
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l2
说明 （1）欧拉公式的适用范围：线弹性( ≤ p )
（2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下(即各个方向
上的长度因数 相等)，I 应取最小值
（3）l 称为压杆的相当长度
第三节 临界应力的欧拉公式
相当长度 l 即可。
杆A： 2 l 2a
F A
a 1.3 a 1.6 a
F B
F C
杆B： 1
d
l 1.3a
杆C： 0.7 l 1.12a
结论： 杆 A 先失稳
cr
π2E
2
≤p
或者
≥
π2E
p
p
式中，欧拉公式适用的柔度界限值 p 为材料常数
这类杆称为细长杆（或大柔度杆），亦即欧拉公式适用于细长 杆（或大柔度杆）。
[例1] 如图，矩形截面的细长压杆两端球形铰支。已知杆长 l = 2 m , 截面尺寸 b = 40 mm， h = 90 mm，材料弹性模量 E = 200 GPa。试 计算此压杆的临界力Fcr。
F Fcr
F ≥ Fcr
压杆稳定
压杆失稳
第二节 临界力的欧拉公式
对于弹性压杆，临界力的计算公式为
Fc r
π 2 EI
l2
式中，E为材料的弹性模量；I 为截面对中性轴
F
的惯性矩；l 为压杆长度； 称为长度因数，取
决于压杆的两端约束：
F
压杆一端固定一端自由：
2
压杆两端铰支：
1
压杆一端固定一端铰支：
F
l
A a 5 cm2
矩形截面
A b 5.076 cm2 No. 4.5 等边角钢
A c 5.18 cm2
圆环形截面
解： 1）矩形截面
Imin
1 12
50 103
10 103
3 0.42 108 m4
压杆临界力
Fcr
π2 EImin
l 2
2073 N
2）No. 4.5 等边角钢
由型钢表查得
压杆稳定
压杆失稳
压杆的失稳载荷通常远低于强度失效载荷，且失稳破坏具有 突发性，往往会引起灾难性的后果。
1907年8月29日，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在加拿大圣劳伦 斯河上建造的魁北克大桥（Quebec Bridge）发生稳定性破坏， 导致 75 位工人死亡，成为上世纪十大工程惨案之一。
2000年10月25日上午10时，南京 电视台演播中心施工工地由于撑 杆失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
Imin 3.89 108 m4
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
l 2
19200 N
Aa 5 cm2
A b 5.076 cm2
Fcr 2073 N
Fcr 19200 N
3）圆环形截面
Aa 5 cm2
A b 5.076 cm2
I
π 64
384
1 28 384Fra bibliotek1012
7.22 108
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
二、压杆的临界力
使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力，
记作 Fcr。即当
F ＜ Fcr： 压杆稳定
F ≥ Fcr： 压杆失稳
亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力。
解： 显然 Iy < Iz，故应按 Iy 计算临界力
Iy
hb3 12
1 90 403 12
48 108
m4
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π2EI y l2
23.8 kN
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。