电磁感应作业习题及解答(赵近芳编)

10-4 如题10-4图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与

长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压N M U U -

．

解: 作辅助线MN ，则MeNM 构成闭合回路，当整个回路以速度v 沿v

方向运动时， 通过整个回路的磁通量始终不变，即0d =Φm ，则 0=Φ-

=+=dt

d m

MN MeN MeNM εεε 即 MN MeN εε= 又∵ 00()cos d ln 022N

a b

a b

MN M

a b

a b

Iv Iv a b

v B dl vB r dr r a b

μμεπππ++---=

⨯⋅==-=<+⎰

⎰

⎰

所以MeN ε方向沿NeM 方向，大小为

b a b a Iv -+ln

20πμ.

M 点电势高于N 点电势，MN 两端的电压:

0ln

2MN M N Iv a b

U U U a b

μπ+=-=- 法二：如题10-4图2所示建立坐标系，在弧MeN 上任意位置r 处

取线元dl ，方向如图，其与v

方向夹角为θ，dr =dl sin θ，则

⎰⎰⎰⎰<+-=-=-=+=⋅⨯=+-N M b a b a N M N

M MN

b a b a Iv dr r Iv l vB dl vB l d B v 0ln 22d sin )2cos()(00

πμπμθπθε 所以MeN ε方向沿NeM 方向，大小为

b

a b

a Iv -+ln

20πμ M 点电势高于N 点电势，MN 两端的电压:

0ln

2MN M N Iv a b

U U U a b

μπ+=-=

-

10-5 如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

t

I

d d 的变化率增大，求：(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势．

解: 如图建立坐标系，矩形线圈面积上任意点的磁场强度大小为：

)1

1(20d

b x x I B -+-=

πμ，方向垂直纸面向里，取顺时针为L 正绕向，则 (1) 任一时刻线圈内所通过的磁通量为：]ln [ln π2d )11

(π200b

a

b d a d Il x d b x x Il a

d d

m +-+=-+-=

Φ⎰

+μμ 或（法2）：以向外磁通为正则，]ln [ln

π

2d π2d π2000d

a

d b a b Il

r l r

I

r l r

I

a

b b a

d d

m +-+=

-=

⎰

⎰

++μμμΦ 题10-5图

O x

dl

题10-4图2

r

dr O '

v B ⨯

r

题10-4图

O '

r

(2) 线圈中的感应电动势为： b

a d d

a b t I l t I d a d b a b l t m )()(ln

d d π2d d ]ln [ln π2d d 00++=+-+=Φ-

=μμε 因为：⇒t I

所以：0<ε，即线圈中的感应电动势方向为逆时针。

10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I =5A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b =0.06m ，宽

a =0.04m ，线圈以速度v =0.03m·s -1垂直于直线平移远离．求：d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向．

解: 在长方形线圈平面上，磁场方向垂直于平面向内。AB 、CD 运动速度v

方向与其长度方向平行，对边上任意

导线元，均有0)(=⋅⨯=l d B v d

ε，因而AB 、CD 不产生动生电动势．

DA 产生电动势： ⎰==⋅⨯=A

D I vb vBb l B v d

2d )(01πμε

BC 产生电动势： )

(π2d )(02d a I

vb

l B v C

B

+-=⋅⨯=⎰

με

∴ 回路中总感应电动势：8021106.1)11

(π2-⨯=+-=

+=a

d d Ibv μεεε V ，方向：沿顺时针． 法二：设任意时刻线圈左边距导线距离为x ，取顺时针为L 正绕向， 则通过此线圈的磁通量为： 00d ln

2π2π

x a

m x

S

Ib

Ib

x a B dS r r

x μμ++Φ=⋅=

=

⎰⎰

由题知：dx

v dt

=，则任意时刻线圈中的感应电动势为：

)1

1(π2d d )11(π2d d 00a

x x Ibv t x a x x Ib t m +-=+-=Φ-

=μμε 运动到题中图示位置时，x =d ，则有： )

V (1068.1)1

1

(π

28

0-⨯=+-

=a

d d

Ibv με

方向：沿顺时针。

10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B 中，B

的方向与

回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B

的大小为B =kt (k 为正常)．设t =0时杆位于cd 处，

求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向． 解: 与矩形导体回路法向相顺应，该回路的正绕向为逆时针绕向。

任意时刻，该矩形导体回路中的磁通量为：

⎰==︒⋅=︒=⋅=Φ222

1

2160cos 60cos )()(d klvt lv kt lvt kt t S t B S B m

∴ 0d d <-=Φ-=klvt t

m

ε 该感应电动势为负，表明回路中电动势的方向为顺时针方向，即沿abcd 方向．

题10-7图

题10-8图