1.1.1正弦定理2

a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如 a sin A sin B b
例1.在△ ABC 中，已知 c 10, A 45, C 30，求b
b c 解： B 180 ( A C ) 105 且 sin B sin C
c sin B 10 sin 105 b 19 sin C sin 30
复习引入
若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D, 此时有 sin B AD , sin C AD
c b
所以
A c B
图1
b C
AD=csinB=bsinC, 即
a c 同理可得 , sin A sin C
b c , sin B sin C
D
A c
a b c 即： sin A sin B sin C
b c sin B sin C
a
sin A

b
sin B

c
sin C
外接圆法
如图: C C1
c c 2R 1 sin C sin C
B a c O
b a 同理： 2 R， 2R sin B sin A
C
b C1
A
a b c 即得： 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C
b
B 图2 C
若三角形是钝角三角形, 如图2,
D
三角形 1 1 1 S ABC ab sin C bc sin A ac sin B 面积公 2 2 2 式：
A
c
B
b
ha
D
证明：
C
∵
S ABC
1 aha 2
a
同理
而 h AD c sin B b sin C a
∴
小结：
1.阅读教材第2页至第4页
2.教材第10页A组第1题,第4页1，2 3.红对勾第一课时
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
向量法
(1)锐角三角形
j
B
j
B
A (2)钝角三角形 B
C
A
C
j
j
A
j
C
简证：

过点A作单位向量 j AC ， 由向量的加可得


C
AB AC CB
0 j AB cos 90 A 0 j CB cos 900 C
2.判断满足下列的三角形的个数:
(1) b=1 ，a=2，B=30o
(2)b=1， a=3，B=30o
(3)b=1，a= ， 3 B=30o (4)b=1，a= 3 ，B=150o (5)b= 3 ，a=1，B=120o
形是可能 出现的情况
0
b 20, A 60 , a 10 3 ;
0
3
b 20, A 60 , a 15;
0
b sin A 1 sin B a 2 b sin A sin B 1 a b sin A 2 3 sin B a 3
C b 60° B
A
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
复习引入
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a b c sin A = , sin B = , sinC = 1 = c c c
a b c c= ,c = ,c = sin A sin B sinC
c
B
a
a b c sin A sin B sin C
A
b
C
斜三角形中这一关系式是否仍成立呢? 思考：
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
a b c 3 2R （R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
Ａ为锐角 Ｃ Ｃ a b b Ｃ a b a Ｃ
b
a≥b 一解
a
Ｂ
Ａ
Ａ
a<bsinA 无解 Ａ为直角或钝角 Ｃ Ｃ a a b b Ｂ Ａ a≤b Ａ a>b 无解 一解
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ a=bsinA bsinA<a<b 一解 两解
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
a b 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C
练习 c
1判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o 两解 (2)c=54, b=39, C=120o
(3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o 一解 两解 无解
练习
a b 1、ABC中， , ABC cos A cos B
A、等边三角形 C、等腰三角形 B、直角三角形 D、等腰直角三角形 为（ ）
A O B B` b C O B` B
A
b C B
A
O
b
C
解三角形
一般地，把三角形的三个角A， B，C和它们的对边a，b，c叫做 三角形的元素。已知三角形的 几个元素求其他元素的过程叫 解三角形
a b c 2 RR为外接圆半径 思考： sin A sin B sin C
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 b sin A 以求其他边，如 a sin B
解： ∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60) 45 b c 3 sin 60 3 2 c sin B ∴b 又∵ sin B sin C sin 45 2 sin C
例2 在 ABC 中，已知
A
. a 4, b 4 ，求 2, B 45