中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

构造基本图形巧解含45º角的问题

本文以两道含有45º角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们

参考.

一、试题呈现

题1 (2017年丽水中考题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+分别交

x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知点(2,0)C .

(l)略;

(2)设P 为线段OB 的中点，连结PA ，PC 若45CPA ∠=︒，则m 的值是 .

题2 (2017年金华中考题)如图2，已知点(2,3)A 和点(0,2)B ，点A 在反比例函数

k

y x

=

的图象上.作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按照逆时针方向旋转45º，交反比例函数的图象于点C ，则点C 的坐标是 . 上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45º的特殊角.因此，如何利用45º角成为了解题的突破口，45º角的两边与x 轴的交点都形

成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法. 二、共同解法展示

1.构造“一线三等角”，利用相似三角形

丽水题解法1 如图3，在y 轴截取OD OC =，此时45PDC ∠=︒，可以证得

ABP PDC ∆∆，

BP BA

CD PD

=

.

进而得到方程::(2)22

m m

=+， 解得12m =.

金华题解法1 如图4，过点A 作等腰直角PNG ∆，作ND NF =，连结DF ，易得

6NP NG ==，PG =.

设FN DN a ==，

可以证得APG FDA ∆∆，

得

AP DF

PG DA

=

，

3

a =

+， 解得1a =， ∴(1,0)F .

求出AF 的解析式为33y x =-, 再与6

y x

=

联列方程，得到C 点坐标为(1,6)--. 分析 “一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45º的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程. 2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形

丽水题解法2 如图5，过点C 作CD CP ⊥，交AP 于点D ，再作DE x ⊥轴，易得 OPC ECD ∆≅∆，

∴2DE OC ==，2

m CE OP ==

， 22

m

AE OA OC CE =--=

-. ∵//DE OP ，

∴

DE AE

OP AO

=

， 列出方程2:(2):22

m m

m =-，

解得12m =.

金华题解法2 如图6，过点M 作MF AM ⊥，构造如图所示的辅助线，易得 EFM DMA ∆≅∆.

设M 的坐标为(0,)m ，

可得2MD EF ==，3AD EM m ==-.

因为点G 在直线1

22

y x =

+上，可以求得点G 的坐标为(24,)m m -， 进而求得1GE m =-，62GD m =-. ∵//EF AD ， ∴EF GE AD GD

=，列出方程2: (3)(1):(62)m m m -=--，

解得3m =±(3m =舍去). 所以点M 的坐标为(0,3)-.

分析 “三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45º角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型. 3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质

预备知识:如图7， AD 是ABC ∆的角平分线，则有

AB BD

AC CD

=(证略).

丽水题解法3 如图8，过点P 作PD PA ⊥

.

∵45APC ∠=︒，所以CP 为APD ∆的角平分线，

∴

PD CD

PA AC =

’ ∵12PD PA =，并且求出D 的坐标(,0)4

m -， 可得21422m m +=

-， 解得12m =.

金华题解法3 如图9，方法同上. 分析 由于45º是90º的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45º这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段. 4.构造“正方形”，借用正方形旋转

预备知识:如图10，正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 和CD 上，且45EAF ∠=︒，求证:BE DF EF +=.(证略)

丽水题解法4 如图11，过点P 构造正方形OPDE .

4

m

EN DN ==

，2OC =， 根据预备知识得到

24

m

CN =

+. 又∵22

m

CE =-，在CEN ∆中有

222(2)()(2)244m m m

-+=+， 解得12m =.

金华题解法4 如图12 ，∵1

2

NF AE =， ∴32NF =

，32

HG =. 设点E 为(,0)m ，

则2DE m =-，1GE m =+.

利用预备知识，

可得7

2

HE m =

-. 在直角HGE ∆中，