2014年秋离散数学作业题

离散数学作业题

第一章命题逻辑

p38 习题一1、2（1）（3）、3（1）（4）、4（2）（3）、6（2）、7（4）（6）、8（1）（3）（5）

补充题：将P↔Q化成与之等价的并仅含联结词↑的公式。

第二章谓词逻辑

P70 习题二2（2）（4）、3（1）（3）、4（3）（4）、10（4）

补充题：

1.谓词符号化：

1)所有的鱼都生活在水中。

2)没有大于2的偶素数。

3)并不是每个人都聪明。

2.设个体域D={a,b}，将一阶公式(∀x)(F(x)→(∃y)G(y))中的量词消除

3.设个体域为整数集，令P(x,y)：x+y=1；Q(x,y)：xy>0，试求解下列命题的真假。

1)(∀x) (∃y)P(x,y).

2)(∃x) (∀y)Q(x,y).

4.求前束范式：

1)(∃x)F(x)→(∀x)R(x).

2)((∀x)P(x)∨(∃y)Q(y))→(∀x)R(x).

5.证明：

前提：(∀x)(A(x) →B(x)∧C(x))，(∃x)(A(x)∧D(x))

结论：(∃x)(C(x)∧D(x))

6. 所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。

写出上面推理的证明。(用谓词逻辑，写出用谓词表示的前提、结论和证明过程)

第三章集合、关系与映射

P133 习题三：7、9、11、17

补充题

1.A⊆B，A∈B能否同时成立，说明原因

求集合A＝{a，{a}}的幂集

2.证明：若B⊆C，则P(B)⊆ P(C)

3.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？

如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？

4.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.

5. 列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出集合A上的恒等关系和从A到B的全域关系.

5.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{|0≤x-y＜3} A={0，1，2，3，4}

6.已知S={a,b}. R⊆ ={〈x,y〉|x,y∈A∧x⊆y∧A为集合族ρ(S)}.试写出关系R⊆.

7.已知：A={a,b,c}, R={〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,c〉}该关系具有什么性质？

(自反，反自反，对称，反对称，传递性)

8.设A={a,b,c},R={〈a,b〉,〈a,c〉} 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).

9.设A是含有4个元素的集合，试求：

(1)在A上可以定义多少种对称关系？

(2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？

(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？

10.设集合A={0，1，2，3，4}. R={|x+y=4,x,y∈A} ，S={|y-x=1,x,y∈A}.

试求：R◦S，R◦R，(R◦S)◦R，R◦(S◦R).

11.证明：R是A上的传递关系⇔R◦R⊆R.

12.A={1,2,3,4,5},R={|x,y∈A∧x-y可被2整除}，试问R是否是A上的等价关系？如果是，求出R的各等价类.

13.A={1,2,3,4,5},A上的划分∏={{1,2},{3,4},{5}}，给出由∏所诱导出的A上的等价关系R的集合表达式.

14.试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)

15.设f：N→N×N，f(n)=,则：

(1)说明f是否为单射和满射，并说明理由.

(2) f的反函数是否存在？并说明理由.

(3)求ranf.

16.已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。

设X是无限集合，集合Y≠φ，证明：X与Y的笛卡儿积X×Y是无限集合。

第六章代数结构

P247 习题六：4（1）（3）、6、16、21

补充题：

1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有

可逆元素的逆元.

1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.

2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：

2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元

运算？

3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.

1)列出B的元素.

2)给出代数系统V=的运算表.

3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.

4)说明V是否为半群、独异点和群？

4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.

1)给出关于*运算的一个运算表.

其中表中？位置可以是a、b、c。

2)*运算是否满足结合律，为什么？

5.设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).

证明：: 是独异点.

6.如果是半群，且*是可交换的.

证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.

7.设是一个群,则∀a,b,c∈S。试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.

8.设是群，a∈G .

现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，∀x,y∈G .

证明：也是群.

9.试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集.

的运算表如下所示：