含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定(专题)
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含参数不等式恒成立问题中参数范围的确定
确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间实行合理的交汇，所以此类问题属学习的重点；不过，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，所以此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地实行代数变形、综合地使用多科知识，方可取得较好的效益，所以此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结. 1 分离参数法
例 1：设()()(
)⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+-+++=n a
n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数
且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
该题题型新颖，很多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：
例如上面的这道高考题，我们根据其特征能够用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征：
因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子
()()
a n n x x
x
+-+++12
1 就必须也是正数。并容易看出，能够将a 分离出来。
分析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++x
x x x
x
x n n n a a n n 11210121
令()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x
x x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式
成立即可。故我们能够利用函数的最值分离出参数a 。 解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：
()0121>+-+++a n n x
x
x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x
x x n n n a 1121 ，由指
数函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x
x x n n n x 1121 ϑ的最大
值是()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -12
1
故 a>
()n -12
1
一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 ()0,≥λx f , （ D x ∈
λ为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤：
（1） 将参数与变量分离，即化为()()()()()x f f x f f 2221≤≥λλ或的形式； （2） 求()x f 2在∈x D 时的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()()()()x f x f f min 2max 21≤≥或λ 得λ的取值范围。
思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
利用这种方法能够顺利解决很多含参数不等式中的取值问题，还能够用来证明一些不等式。 例 2： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实
数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。
解： ∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，
∴ f(x)在()+∞∞-,上为增函数
又 ∵ ()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f
∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ ∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m ∵
2－cos θ[]3,1∈，
∴ 2θθ
θθcos 2cos 24cos 22cos 32--=-->m
∴ m>θ
θθθcos 22
cos 2cos 2cos 22--+=--
]cos 22
cos 2[4θ
θ-+
--=
令2－[]3,1,cos ∈=t t θ
∴ m>4－⎪⎭
⎫ ⎝⎛+t t 2 即4－m + 在[]3,1∈t 上恒成立 即求()t t t g 2 +=在[]3,1∈t 上的最小值 ∵ ()t t t g 2+=≥22等号成立条件t=t 2 ,即[]3,12∈=t 成立 ∴ ()22min =t g ∴ 4－m<22即m>4－22 ∴ m 的取值范围为（4－22，＋∞）