高三数学知识点汇编

高三数学知识点汇编一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.2.集合的性质：①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:当A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况 如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅ ,求a 的取值.(答：0a ≤)④含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32(3,)-)4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. 如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数”否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”.7.常见结论的否定形式1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象.2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()1(()0)f x f x f x -=±≠；注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0f x =定义域关于原点对称即可).⑸奇函数在对称的单调区间内有相同单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）； 上下平移---“上加下减”(注意是针对()f x 而言). ⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →. ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数 ()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称；9.函数的周期性：⑴若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑵若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ； 10.对数：⑴log log n n a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈；⑵对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>； ⑶log ()log log ;log log log ;log log n a a a aa a a a M NM N M N M N M n M ⋅=+=-=；1log log a a nM ；⑷对数换底公式log log log b b a N aN =(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠> ) 11.()a f x ≥恒成立[()]a f x ⇔≥最大值, ()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值.12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16. 函数(0,0)bx y ax a b =+>>：增区间为(,)-∞+∞,减区间为[-.如：函数12()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,实数a 的取值范围是_____(答：12(,)+∞).三.数列1.由n S 求n a ,1*1(1)(2,)n nn S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}n a 满足111534,n n n a S S a ++=+=，求n a (答：{14(1)34(2)n n n a n -==⋅≥). 2.等差数列(1)定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=--(2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1 推广：d m n a a m n )(-+= (3)前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=⋅+=2112)1(2 等差数列1{}n n n a a a d -⇔-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-⇔=+≥∈ 21122(,)(,)n n dda anb a d b a d S An Bn A B a ⇔=+==-⇔=+==-；3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m nd --=；②m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；当2m n p +=时,有2m n p a a a +=； ③等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S -- 仍是等差数列；④首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.4.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.5.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列； ② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)；④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S -- (注：各项均不为0)仍是等比数列. 7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a 用作差法：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.⑶已知12()n a a a f n ⋅⋅⋅= 求n a 用作商法：()(1)(1),(1),(2)n f n f n f n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知1()n na af n +=,求n a 用迭乘法.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减； ⑤分裂通项法.公式：12123(1)n n n ++++=+ ； 常见裂项公式111(1)1n n nn ++=-；9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”. ⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为：(1)2(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++ (等比数列问题). 四.三角函数1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称2()k k Z απθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ⇔=++∈； α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ⇔=-+∈.2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：21122||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3︒.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.4. 对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．5. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；22αβαβ++=⋅；222()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=⋅=︒=︒ 6.辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ++其中tan ba ϕ=）；7.降幂公式22cos 1sin 2αα-=；2cos α=1cos 22α+；8. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180︒,一般用正、余弦定理实施边角互化； 正弦定理：sin sin sin 2a b c ABCR ===；余弦定理：22222222()222cos ,cos 1b c ab c abcbca b c bc A A +-+-=+-==-；面积公式：124sin abc RS ab C ∆==；10.ABC ∆中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②22sincosA B C +=,22cossinA B C +=.③sin sin a b A B A B >⇔>⇔>11.角的范围：异面直线所成角2(0,]π；直线与平面所成角2[0,]π；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线的倾斜角[0,)π； 1l 与2l 的夹角2(0,]π.12.五.平面向量1.设11(,)a x y = ,22(,)b x y =.(1)1221//0a b x y x y ⇔-= ； (2)121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.2.平面向量基本定理：如果1e 和2e是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .3.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+；其几何意义是a b ⋅ 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b的方向上的投影||cos ||a b a b θ⋅=4.三点A 、B 、C 共线AB ⇔ 与AC 共线；与AB 共线的单位向量||ABAB ±.5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则cos ||||a ba b θ⋅==；注意:,a b 〈〉 为锐角0a b ⇔⋅> ,,a b 不同向； ,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅< ,,a b 不反向.6. 平面向量数量积的坐标表示： ⑴若11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212a b x x y y ⋅=+；||AB⑵若(,)a x y = ,则222a a a x y =⋅=+ .7. 1P ,P ,2P 三点共线⇔存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+且1λμ+=.8. 13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；9. PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔为ABC ∆的内心； ||||()(0)AB ACAB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆内心.六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： ①若0ab >,b a >,则11ab>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)若0,>ba ,2211a b a b++≥(当且仅当b a =时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等； （2)公式注意变形如：22222()a b a b ++≥, 22()a b ab +≤；4. 证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤.注意：若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,||a；n >.②将分子或分母放大(或缩小) ⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.如：知222x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知221x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ=(01r ≤≤)；知221x y ab+=,可设c o s,s i n x a y b θθ==；已知22221x y ab-=,可设s e c ,t a n x a y b θθ==.⑺最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则()a f x <恒成立.七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan ()k παα=≠(如右图)：3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k 方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为112121y y x x y y x x ----=,它不包括垂直于坐标轴的直线. ⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1xy ab+=,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)； ⑵相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.6.夹角公式：1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2,(0,πθθ∈且2112121tan ||(1)k k k k k k θ-+=≠-.7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C++=的距离是d .8.设三角形ABC ∆三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123(,33x x x y y y G ++++；9. ⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)DE --,(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且220,40B D E AF =+->).10. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程 222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外；②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆内；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上. 11. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离 ②d r =⇔相切 ③d r <⇔相交12. 圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切； ||R r d R r -<<+⇔两圆相交；||d R r =-⇔两圆相内切； ||d R r <-⇔两圆内含；0d =⇔两圆同心.13. 过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.14. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 八.圆锥曲线方程 一 、椭圆定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。