材料力学第五章

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§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax M max IZ WZ
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§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
EIZ 200109 5.832105 C MC 60103 194.4m
ql2 / 8 67.5kN m

x
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§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-2
图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
d1 160mm d2 130mm, a 0.267m,b 0.16m, F 62.5kN, 材料的许用应力 60MPa.
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§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
4 kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 103 88103 t ,max 7.64106 28.8 106 Pa 28.8MPa t
max
y max
Iz

M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
t ,max t
c,max c
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B
ql2 / 8 67.5kN m

x
60 103

92.55 106 P a 92.55MP a
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 120 3. 全梁最大正应力 30 z y
最大弯矩
x l = 3m
FBY
K
M max 67.5kN m
铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、
胶合面或铆钉等）
a A C E l D P q P B
§5-4 弯曲切应力
F
50 z50 50 100
例题5-5
l
悬臂梁由三块木板粘接 而成。跨度为1m。胶合面 的许可切应力为0.34MPa， 木材的〔σ〕= 10 MPa， [τ]=1MPa，求许可载荷。
FN、My、Mz
M EI Z
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1
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系 物理关系 静力学关系
E
M EI Z 1

y
E
y


正应力公式
为曲率半径，
1
为梁弯曲变形后的曲率

My IZ
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§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
M
My IZ
• 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 中性轴上,正应力等于零
2
Fl
5.梁的许可载荷为 F Fi min 3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
d
4
D
3
4
64
64
(1 4 )
b0 h0 bh3 IZ 12 12
3
d
3
32
Wz
bh 6
2
b0 h03 bh3 D ) /(h0 / 2) Wz (1 4 ) Wz ( 12 12 32
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§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力
120
x l = 3m
FBY
K
y
30 z
C 截面弯矩
M C 60kN m
C 截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I Z 5.832105 m4

M x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 103 2 5.832 105
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3.按切应力强度条件计算许可载荷
§5-4 弯曲切应力
F
50 z50 50 100
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
l
FS
M


F
h F3 b * FS S Z 3 4F3 g g bh3 IZb 3bh b 12
3 100 150 10 6 0.34 106 F3 4 4 3825N 3.825k N 3bh g
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
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§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n

a
b
m´ n´
a´
b´ m´
m x n
a´ b´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平 面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，只是绕截面内某一 轴线偏转了一个角度。
§5-2 纯弯曲时的正应力
FS
M

F1
Fபைடு நூலகம்
解： 1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷
max
6l
Fl
bh2 107 100 1502 109 3750N 3.75kN
6
M max 6F1l 2 Wz bh
max 3FS / 2 A 3F2 / 2bh F2 2 bh/ 3 2 106 100 150 106 / 3 10000 10kN N
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度 不变－－中性层 中间层与横截面的 交线－－中性轴
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§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
m a o b m
n a o by
dx
n
二、物理关系
胡克定理
E
E
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y

§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系
max max
=6(l/d)
（l 为梁的跨度）
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§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较 对于宽为b、高为h 的矩形截面
max max
=4(l/h)
（l 为梁的跨度）
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§5-4 弯曲切应力
有些情况必须考虑弯曲切应力
梁的跨度较短（l / h < 5）； 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；
例题5-1
120
30
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 z
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FS
90kN
解：1. 求支反力

FAy 90kN FBy 90kN

ql2 / 8 67.5kN m
分析（1）
max
max
M max ymax Iz
M
max
（2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 Wz 最
Wz

小的截面
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§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fb Fa
C截面：
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§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN

M x 90kN
I Z 5.832105 m4 1 M EI
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（5）结论 轴满足强度要求
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自 重 F1 6.7kN,起重量 F2 50kN, 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max
第五章 弯曲应力
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第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
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§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
（4）计算 Wz
，选择工
字钢型号
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§5-3 横力弯曲时的正应力
解：（1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）根据 max
M max 计算 Wz
Wz
M max

(6.7 50) 103 9.5 4 140106
962106 m3 962cm3
（4）选择工字钢型号
截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I z 5.832105 m4

M x 90kN
max
M max ymax IZ 180 103 2 5.832 105
ql2 / 8 67.5kN m

x
67.5 103

104.17 106 P a 104.17MP a
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论
q 71.34kg/m
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§5-3 横力弯曲时的正应力
试校核梁的强度。
例题5-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30MPa, c 60MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c
M C 901 601 0.5 60kN m
M

bh3 0.12 0.183 x IZ 5.832105 m 4 12 12 90kN 180 60103 ( 30) 103 M y 2 K C K IZ 5.832105
x
（压应力） 61.7 106 P a 61.7MP a
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§5-4 弯曲切应力
3 FS 2 A
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§5-4 弯曲切应力
二、工字型截面梁
B b0
F
s
h h 0
z y
y
Fs b0 h0
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§5-4 弯曲切应力
三、圆形截面梁
d
Fs
z
k
O'
O
k'
y
max
4 Fs 3 R 2
§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较
对于直径为 d 的圆截面
目录
y
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 kN.m
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
梁满足强度要求
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§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
b y A n x n1 dx P m m1
q(x)
m h
m
m1 O
Fs z q1 y
B x
p n dx p1 n1 y
x
关于切应力的分布作两点假设：
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
M
Mymax max IZ
max
M WZ
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IZ WZ ymax
min
M WZ
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
A
IZ Wz y max
圆截面
IZ Wz
矩形截面
bh IZ 12
3
空心圆截面
IZ
空心矩形截面
Fa 62.5 267 32 max 3 WzB d1 0.163 32 41.5 106 Pa 41.5MPa MB
max
MC WzC

Fb 62.5 160 32 46.4 106 Pa 46.4MPa 3 d 2 0.133 32
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§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
80 20 10 120 20 80 yc 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
80 203 Iz 80 20 422 12 201203 20120 282 12 7.64106 m 4