高中数学-几何概型

课题:几何概型

自主梳理

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式

P (A )＝____________________________________________________________________.

求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

4．古典概型与几何概型的区别

(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；

(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的． 自我检测

1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )

A.14

B.13

C.427

D.415

2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，

则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

A.14

B.13

C.12

D.23

3.

如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则

此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )

A.12

B.32

C.13

D.14

4．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．

5．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14

，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．

探究点一 与长度有关的几何概型

例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？

变式迁移1 在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接

等边三角形边长的概率是________．

探究点二与角度有关的几何概型

例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，

与线段AB交于点M，求AM

变式迁移2

若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于

AC的长的概率”，答案还一样吗？

探究点三与面积有关的几何概型

例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．

变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

分类讨论与数形结合思想的应用

例(12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.

(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；

(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．

【突破思维障碍】

1．古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．

2．用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”． 【易错点剖析】 1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏． 2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误． 1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量

的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．

2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．

3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域

用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量

.

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )

A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8

2．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4

的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.23

4．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩

⎪⎨⎪⎧

f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为( )

A.58

B.12

C.38

D.14 5．在区域⎩⎨⎧ x ＋y －

2≤0，x －y ＋2≥0，

y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )

A.π2

B.π8

C.π6

D.π4

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 落在阴影部分的概率为________．

7．如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________． 8．在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是

________．

三、解答题(共38分)