二次函数(一般式)的图像和性质
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数(一般式)的图像和性质
解释二次函数图像的平移公式，如何改变图像的 位置。
介绍二次函数图像的垂直伸缩公式，如何改变图 像的高度。
详细说明二次函数图像的水平伸缩公式，如何改 变图像的宽度。
讨论二次函数图像的反比例伸缩公式，如何改变 图像的比例。
介绍二次函数图像的对称公式，如何实现图像的 对称变换。
二次函数的性质
1 单峰函数
3
二次函数的应用
展示二次函数在实际问题中的应用，如 物理、经济等领域。
二次函数的性质
例题解析
通过解析例题，进一步理解二次函数的性质和应用。
阐述二次函数的性质，它 是一个单峰函数。
2 奇偶性及对称轴
讲解二次函数的奇偶性质 以及对称轴的位置。
3 导数及斜率
介绍二次函数的导数和斜 率，深入理解函数的变化 速度。
二次函数的性质
1
凹凸性及拐点
探讨二次函
到曲线的变化点。
介绍最小二乘法在二次函数中的应用，
用于拟合数据和函数。
平移变换
详细说明二次函数图像的平移 变换，改变图像的位置。
二次函数的性质
垂直伸缩变换
使用垂直伸缩变换改变二次函数 图像的高度。
水平伸缩变换
介绍二次函数图像的水平伸缩变 换，改变图像的宽度。
反比例伸缩变换
讨论二次函数图像的反比例伸缩， 改变图像的比例。
二次函数的性质
平移公式 垂直伸缩公式 水平伸缩公式 反比例伸缩公式 对称公式
二次函数(一般式)的图像 和性质
二次函数是一般式的函数，定义了二次函数的特性和图像。我们将深入探讨 二次函数的各个方面，包括开口方向、对称轴、零点、顶点和最值等。
二次函数的一般式
定义和图像
通过一般式的定义，了解二次函数的图像特征和 形状。
2.4二次函数一般式的图像
二次函数c bx ax y ++=2的图像知识点一:k h x a y +-=2)(图像性质 1.二次函数k h x a y +-=2)(的图像平移2.二次函数k h x a y +-=2)(的图像性质（1）当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口方向向上，对称轴是直线h x =，顶点坐标是),(k h ；当h x >时，Y 随X 的增大而增大，当h x <时，Y 随X 的增大而减小，当h x =时，函数有最小值K（2）当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口方向向下，对称轴是直线h x =，顶点坐标是),(k h ；当h x >时，Y 随X 的增大而减小，当h x <时，Y 随X 的增大而增大，当h x =时，函数有最大值K【例1】将抛物线22x y =如何平移可得到抛物线1)4(22--=x y3.求二次函数k h x a y +-=2)(的函数解析式或解析式中的待定系数方法规律：（1）若点A ),(n m 在抛物线k h x a y +-=2)(上，则点A 坐标满足k h m a n +-=2)( (2) 求函数解析式中某个字母系数，常利用方程思想，注意解的验算。
练习：1.把抛物线23x y =先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为 2.抛物线2)1(2-=x y 的对称轴为 ，顶点坐标为 ，函数最值为 当X 图像从左到右上升。
3.抛物线2)21(+-=x y 可以看成是由抛物线 向 平移 个单位得到 4.2)(h x a y -=的图像如图所示，对h a ,的符号判断正确的是 （ A 0.0>>h a B 0.0<<h a C 0.0<>h a D .0><h a5.二次函数5)4(212+-=x y 的图像的开口方向是 对称轴是顶点坐标是6.二次函数b kx y kx y +=-=与一次函数2)(的图像在坐标系中的位置大概是（ ）7.若抛物线的顶点坐标为（2,3）且点（3,1）在图像上，则此抛物线的解析式为（ ）A 13)2(22-+=x yB 3)2(22+--=x y C 3)2(22--=x y D 3)2(22+-=x y8.K 为任意实数，则抛物线k k x y 21)(322+--=的顶点在（ ） A 直线x y =上 B 直线x y -=上 C 直线x y 21=上 D 直线x y 21-=上9.如图所示，b kx y h x a y +=-=221)(与交于A,B ， 其中A （0，-1），B （1,0）求（1）此 二次函数与直线的解析式 （2）当212121,,y y y y y y >=<时，分别确定自变量X 的取值范围DCBA知识点二：二次函数c bx ax y ++=2的图像性质【例1】已知抛物线10622++=x x y ，求（1）函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标 （2）作出草图 （3）根据函数图像指出X 为何值时，0,0,0<=>y y y （4）函数最大值或做小值是多少分析：把函数一般式配方化为顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，即可求解练习：1.142+-=x x y 通过配方可以写成 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ，最值是2.把二次函数342+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ） A 1)2(2--=x y B 1)2(2-+=x y C 7)2(2+-=x y D 7)2(2++=x y3.把642+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式是 4.抛物线3422+--=x x y 经过平移得到22x y -=，平移方法是（ ） A 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D 向右平移1个单位，再向下平移3个单位5.抛物线3222--=x x y ，当X ，Y 随X 增大而增大；当X ，Y 随X 增大而减小6.抛物线1422-+-=x x y 的的对称轴是 ，顶点坐标是 ，最值是7.已知点),21(),,213(),,1(321y y y --在函数12632++=x x y 的图像上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A 321y y y >>B 231y y y <<C 312y y y >>D 312y y y <<8.配方法练习：（1）322--=x x y （2）522---=x x y（3）3222--=x x y (4) 3422---=x x y2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像特征与ac b c b a 4,,2-及的符号之间的关系【例2】二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 2这四个代数式中，值为正数的是（ ）个A 4B 3C 2练习：1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像如图所示，则a 0，b 0，c 0 2．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3<k B ．03≠<k k 且 C ．3≤k D ．03≠≤k k 且3．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．已知反比例函数xky =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）5.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图像大致是（ ）6.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0． 7.已知)0(2≠++=a c bxax y 的图像如图所示，请根据信息回答下列问题 （1）确定c b a ,,的符号（2）确定c b a c b a -+++和的符号DCBA。
22.1.4二次函数(一般形式)的图象及性质
C.b= - 8
D.b= - 8 ,
c= 18
8.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
y y y
(
C
y
)
o
-3
x
o -3
x
o -3
x
o -3
x
A
B
C
D
9.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 6.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列 y 各式中不成立的是( B ) A.b2-4ac>0 B.abc>0 1 o x C.a+b+c=0 D.a-b+c<0 -1
( )
A
7.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( B ) A.b=2 B.b= - 6 , c= 6
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
能力提升
1.用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗 框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的 透光面积最大？最大透光面积是多少？
图 26.2.5
2.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6 米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点， 抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面 直角坐标系， 求（1）以这一部分抛物线为图 y 象的函数解析式，并写出x的取 O 值范围； x （2） 有一辆宽2.8米，高1米的 农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道？
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质精品系列PPT
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
二次函数的图象与性质
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)当 y=0 时, 1 x- 4 =0,解得 x=4,即 A(4,0), 33
抛物线过点
A,对称轴是
x=
3 2
,得
16a 12
3 2a
3 2
,
c
0,
解得
a c
1, 4,
8
16
64
所以二次函数 y=- 3 x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点. 16
∵- 3 x2+ 9 x+3=0 的解为 x1=-2,x2=8,∴公共点的坐标是(-2,0)或(8,0). 16 8
2.(2019云南)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且 与x轴有两个交点. (1)求k的值;
y 随 x 的增大而减小
二次函数的图象和性质
【例1】 (2018成都)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( D ) (A)图象与y轴的交点坐标为(0,1) (B)图象的对称轴在y轴的右侧 (C)当x<0时,y的值随x值的增大而减小 (D)y的最小值为-3
【例2】 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
标可以看出对应 的函数值,4a+2b+c的值是x=2时对应的函数值,4a-2b+c的
的式子的值
值是x=-2时对应的函数值…
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
一般式二次函数的图像和性质
二次函数与三角函数结合，可以用来解决周期性运动 等问题。
与微积分结合
在微积分中，二次函数是最简单的一类函数，可以用 来理解和学习其他更复杂的函数。
与线性代数结合
二次函数常常出现在线性代数中，如矩阵的特征值、 行列式等。
谢谢观看
二次函数的根的性质
总结词
二次函数的根的乘积等于常数项除以系数a， 根的和等于系数b除以系数a。
详细描述
根据Vieta定理，二次函数$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根$x_{1}$和$x_{2}$满足$x_{1}
cdot x_{2} = frac{c}{a}$，$x_{1} + x_{2} = frac{b}{a}$。
一般式二次函数的图像和性质
目录
• 二次函数的一般形式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的增减性 • 二次函数的根的性质 • 二次函数的应用
01
二次函数的一般形式
二次函数的一般定义
总结词
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
对称轴与系数关系
对称轴的x坐标可以通 过系数a、b、c计算得 出，对称轴的位置与二 次项系数a的正负有关。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向
由二次项系数a决定。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下 。
总结词
二次函数的开口方向由系数a的正负决定，影响函数的增减性 。
二次函数的开口大小
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。$a$、$b$和$c$被称为 二次函数的系数。
二次函数(一般式)的图像和性质
2
2a
4a
(4)增减性： b x 当 a 0时，对称轴左侧（ y随x增大而减小； 2）， a b x 对称轴右侧（ 2a），y随x增大而增大； b x 当 a 0 时，对称轴左侧（ 2a ），y随x增大而增大； b x 对称轴右侧（ 2a ），y随x增大而减小； 用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线 的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
1 … 0 … －6 0
2 2
3 0
4 … －6 …
y
（1,0）
· · ·
x=2
（2,2）y
2x 8x 6
2
（3,0） （4）观察：①图象有
由图像知：
x
（0,－6）
·
（4,－6）
· ④该抛物线与x轴有
2 个交点. ____
最 低点，即x= 2 时， y有最大值是 2 ； <2 ② 当x 时,y随x的 增大而增大； 当x >2时,y随x的 增大而减小。 ③该抛物线与y轴交于 -6) 点(0，。
化为 y a x h k 的形式。
2
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
0 用描点法画出 y 2x 8x 6 的图像 （1）顶点坐标为 (2，2) ； （2）列表：顶点坐标填在___ 表格中间；
2
x y
二次函数 y ax
2
bx c 图象和性质
郑新昌
一、知识链接：
2
（ -3，-1）， 1．抛物线 y 2 x 3 1 的顶点坐标是 ________ 直线x＝-3 对称轴是________ 。当x =-3 时y有最 小 值 是 -1 ；当 x >-3时， y随x的增大而增大； 当x<-3 时，y随x 的增大而减小。 2. 中，很 容易确定抛物线的顶点坐标为 （h，k） ， 所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
考点07 二次函数的图像与性质(解析版)
考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数具有许多独特的性质，下面将逐一阐述。
一、图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(-b/(2a))为抛物线的最值。
二、轴对称性二次函数具有轴对称性，即抛物线以垂直于x轴的线为轴对称。
轴对称线的方程为x = -b/(2a)。
三、零点与解析式二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。
通过求解二次方程ax^2 +bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。
解析式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
四、判别式二次函数的判别式可以帮助我们判断二次方程的根的情况。
判别式的值为D = b^2 - 4ac，根据判别式的不同情况，可得到以下结论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。
五、函数的增减性与极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的增减性与a的正负有关。
当a > 0时，函数在抛物线的开口上方是递增的；当a < 0时，函数在抛物线的开口下方是递增的。
同时，函数的极值点即为抛物线的顶点，极值点的纵坐标为函数的最值。
六、对称轴与对称性二次函数的对称轴是垂直于x轴的轴线x = -b/(2a)，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
对称性质表明，若抛物线上存在点(x, y)，那么对称轴上也存在对应的点(-x, y)。
七、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程紧密相关。
二次函数y = ax^2 + bx + c的图像和性质与二次方程ax^2 + bx + c = 0的解密切相关，二者是一一对应的关系。
初中：二次函数性质与图像
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0
时，抛物线的开口向上，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而减
小；当x≥－2ba时，y随x的增大而增大；当x＝－2ba时，y有最
小值
4ac－b2 4a
．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而增大；当x≥－
1．二次函数的定义： 一般地，形如_y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶 点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数， a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图 象的对称轴为直线__x＝x1＋2 x2．
＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)
两点．有下列结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx
＋c的图象的对称轴为直线x＝－1；③2a＋c＝0；④a
－b＋c＞0.其中正确的有
()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【解析】 函数图象开口向下，∴a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0，∴ac＜0，故①错误． 二次函数的图象与x轴相交于点A(－2，0)，B(1，0)，由对称性可知其对
(1)b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有两个交点
－b±
2ba2－4ac，0.
(2)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴只有一个交点－2ba，0. (3)b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴没有交点．
二次函数一般式的图象和性质
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点1二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x-h)2+k之间的关系1.用配方法将y=x2-6x+11化成y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x+3)2+2B.y=(x-3)2-2C.y=(x-6)2-2D.y=(x-3)2+22.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k=知识点2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质3.关于二次函数y=x2-8x+12的图象,下列说法错误的是( )A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,12)B.顶点坐标是(4,-3)C.函数图象与x轴的交点坐标是(2,0),(6,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小4.(雅安中考)在二次函数y=x2-2x-3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( )A.0,-4B.0,-3C.-3,-4D.0,0知识点3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( )A.a>0,b>0B.a>0,c>0C.b>0,c>0D.a,b,c都小于06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(泰安中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )8.将抛物线y=x2+2x+2向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的解析式为( )A.y=(x-1)2+3B.y=(x-3)2+4C.y=(x+3)2+4D.y=(x+1)2+49.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是( )A.m=1B.m=2C.m≤-1D.m≥-110.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A.当a=1时,函数图象过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大11.(日照中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若-是抛物线上两点,则y1<y2.其中结论正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.①③④12.抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是( )A.4B.6C.8D.1013.若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点,则定点坐标为14.已知二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(-1,0),当a-b为整数时,ab的值为15.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为16.已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.(1)求b的值;(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k(k>0)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.拓展探究突破练17.若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质一、基础知识1、二次函数的三种形式: 一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且顶点式:)0()(2≠+-=a k h x a y ;交点式:)0)()((21≠--=a x x x x a y .2、一般地,抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的形状相同,位置不同.把抛物线2ax y =向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线k h x a y +-=2)(.平移的方向、距离要根据h ,k 的值来决定. 抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点:(1)当0>a 时,开口向上,函数有最小值k ;当0<a 时,开口向下,函数有最大值k ; (2)对称轴是h x =; (3)顶点是),(k h .3、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且的图像是抛物线.○1顶点是：)44,(2ab ac a b --，对称轴是：a b x 2-=. ○2开口方向：0>a 时，开口向上；0<a 时，开口向下. ○3增减性：当0>a ，在a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小，在a bx 2->时,y 随x 的增大而增大； 当0<a 时，在a b x 2-<时，y 随x 的增大而增大，在abx 2->时,y 随x 的增大而减小.○4最值:当0>a 时，函数有最小值,且当a b x 2-=时，y 有最小值是ab ac 442-； 0<a 时，函数有最大值,且当a b x 2-=时，y 有最大值是ab ac 442-. ○5开口大小:a 越大抛物线的开口越小,反之越大. 4、我们可以利用根的判别式来判断函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且与x 轴交点的个数(1)当042>-=∆ac b 时,抛物线与x 轴有两个交点;(2)当042=-=∆ac b 时,抛物线与x 轴有一个交点; (3)当042<-=∆ac b 时,抛物线与x 轴无交点. 5、抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且与y 轴的交点是),0(c .二、快速练习1、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 2、二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 第3题3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定4、抛物线2ax y =向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线5、函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．6、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点(31)，； ②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 7、求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。
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分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)， 对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图 象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容 易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当 x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0， －6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的 轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个 点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4， －6)连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
练习3 画出 y x2 2x 2 的图像。 x … －1 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 5…
y=x2－2x＋2 x=1
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
x1,0, x2,0，其中 x1, x2为方程ax2 bx c 0
的两实数根
(7)抛物线 y ax2 bx c 与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2 bx c 0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
解： (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以 b 0 ，而a＜0，故b＞0；
2a
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点 的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正 半轴，即c＞0；
判断b2－4ac的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
2
2
2
2
Q b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
4ac 4a
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
(6)抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点
①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线y ax2 bx c与x轴的交点坐标为
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
解法一：Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以4ac b2
0，故
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2
解法二：
Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
Q b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
x
c a
a
x2
1 2
2
,
即y 1 x2 x 1
2
2
。