九年级二次函数复习

学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T （二次函数知识点回顾 ）Z （二次函数一般题型解法分析）授课日期及时段教学目的通过本次课程，①掌握二次函数的基础知识；②掌握解决二次函数的基础题型的一般方法；教学内容一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、次函数的基本形式1、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.例题：根据下列条件，求二次函数的解析式。

二、二次函数图象1、二次函数的图像性质（1）. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．（2）. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．2、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． （2）. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：（3）. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．3、 图像的平移方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、题型分析二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数54)72(22++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

4、已知函数35)1(12-+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。

二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b24a1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A.13B.10C.15D.145．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。

8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.10．已知二次函数3222++-=a ax x y ，当=a 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数1)1(2-+-+=m x m mx y 有最小值为0，则m ＝ 。

12．已知二次函数342-+-=m x x y 的最小值为3，则m ＝ 。

函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。

2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－14x 2+x －45．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

6．把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

函数y=a(x －h)2的图象与性质 1．填表：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标()223--=x y()2321+=x y2．试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移23个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

5．二次函数y=a(x －h)2的图象如图：已知a=12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

二次函数的增减性1.二次函数5632+-=x x y 的增减性 ；函数有最 值是 。

2.已知函数542+-=mx x y ，当2->x 时,y 随x 的增大而增大；当2->x 时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。

3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+52的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 .二次函数的平移技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。

将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减1.抛物线y= －32 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

2.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .3.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 .函数的交点1.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。