2019年高考数学理科全国1卷19题-解析几何说题

2019年高考数学理科全国1卷19题说题

已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3

2

的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴

的交点为P 。

（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =，求||AB

【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。

【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =。本题的第一问来自于教材，稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：

题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且

斜率为2

3

的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= （ ）

A 。5

B 。6

C 。7

D 。8

题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为

(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。

（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。 【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t =

+1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252

x x +=； 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t 的方程，解方程求得结果； （2）设直线l ：2

,3

x y m =

+联立直线方程与抛物线方程，利用3AP PB = 可得123,y y =-结合韦达定理求出123,1y y ==-；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】

解法1：（1）设直线l 与x 轴交于(,0)P m ，方程为2

由2233x y m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩

得2230y y m --=，设112(,),(,A x y B x y 121223y y y y m +==-，， =4120m ∆+> 12323||||=4232AF BF x x y y m +=++=12（+)+2+ 得7=12m ， 因此直线l 的方程为27,31228x y y =+=即

（2）由3AP PB =，得123,y y =- 又122y y +=， 从而2232,y y -+=故123,1y y ==-，

代入C 的方程得1213,3x x ==，故得A(3,3),1

(,1)3

B -,

故||3

AB =

解法2：设直线l 的方程为3

,2

y x t =

+1122(,),(,),A x y B x y 由题设得3(,0)4F ，故123||||2AF BF x x +=++，由题设得125

2x x +=

由2323y x t y x ⎧

=+⎪⎨⎪=⎩

，得22912(1)40x t x t +-+=， 则22=144(-1)494144(12)0t t t ∆-⨯⨯=->，124

(1)3

x x t +=--

从而45(1)32t --=，得78

t =-

因此直线l 的方程即37

28

y x =-

（2）由（1）22

912(1)40x t x t +-+=，得124(1)3x x t +=--

1122222,0),(,),(,)

333P t AP t x y PB t x y -=---=+又（

由3AP PB =,得212

23=3t x t x y y +--12

，=-3

可得2122

=1+)=233x t x t

--（，

故128|||=

33AB x x =-=.

解法3：设直线l 的方程为3,2y x t =

+1122(,),(,),A x y B x y 由题设得3

(,0)4

F ，故

||||AF BF +=

1212333

()()4442

x x x x ==+++=++=

从而得125

2x x +=

， 以下略。

解法4：设直线l 的方程为3

(),2

y x m =-1122(,),(,),A x y B x y 以下略。

解法5（点差法）：（1）设直线l 的方程为3

,2

y x t =+1122(,),(,),A x y B x y

由题设得3(,0)4F ，故123||||2AF BF x x +=++， 由题设得125

2

x x +=

221212*********

33,()

()2

y y y y x x y y y y x x --=-+=+-由得3= 125

2,(,1)4y y AB M ∴+=弦的中点为,而且M 在抛物线内部，

因此直线l 的方程为3537

1(),2428y x y x -=-=-即，以下略。

解法6：(1) 由题设得3

(,0)4

F ,设A(3a 2，3a)，B(3b 2，3b)，

由l 的斜率为32，得22a b ≠, 22

3332

3323

a b a b a b -=⇒+=-, 由抛物线的定义，得2222335

||||(3)(3)4446

AF BF a b a b +=+++=⇒+=

2233335

(,)(,1)224a b a b AB M ++∴=弦的中点为，而且M 在抛物线内部，

因此直线l 的方程为3537

1(),2428

y x y x -=-=-即

（2）由3AP PB =,可得033(30),a b -=-故-3a b =

又由 (1)的23a b +=，从而得1

1,3

a b ==-

故A(3,3),1

(,1)3

B -,

故||3AB =。