山东高考数学考点梳理

高考数学考点梳理

一、考前必记的34个概念、公式 1．四种命题的相互关系

2．熟记五种常考函数的定义域

(1)当f (x )为整式时，函数的定义域为R.

(2)当f (x )为分式时，函数的定义域是使分母不为0的实数集合．

(3)当f (x )为偶次方根时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合． (4)当f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为大于0且不为1的实数集合．

(5)当f (x )中有tan x 时，则应考虑x ≠k π＋π

2(k ∈Z)．

3．指数函数与对数函数的对比区分表

关于直线y ＝x 对称

图像 R

(0，＋∞)

值域 (0，＋∞)

R 定义域 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)

y ＝a x (a ＞0且a ≠1)

解析式

4.方程的根与函数的零点

(1)方程的根与函数零点的关系：

由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．所以，方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图像与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．

(2)函数零点的存在性：

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )＜0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根． 5．导数公式及运算法则

(1)基本导数公式： C ′＝0(C 为常数)；

(x m )′＝mx m －1(m ∈Q)；(sin x )′＝cos x ； (cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；

(a x )′＝a x ln a (a >0且a ≠1)；(ln x )′＝1x ； (log a x )′ ＝1

x ln a

(a >0且a ≠1)．

0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；

a ＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数

0＜a ＜1时，在R 上是减函数；

a ＞1时，在R 上是增 函数

单调性

非奇非偶

非奇非偶

奇偶性 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)

y ＝a x (a ＞0且a ≠1)

解析式

(2)导数的四则运算：

(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝ ⎛⎭

⎪⎫u v ′＝u ′v －u v ′

v 2(v ≠0)．

(3)复合函数的导数：

[f (ax ＋b )]′＝af ′(ax ＋b )，如y ＝sin 2x 有y ′＝2cos 2x . 6．导数与极值、最值

(1)函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝0且f ′(x )在x 0附近“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝0且f ′(x )在x 0附近“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值．

(2)函数f (x )在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f (x )在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”． 7．同角三角函数的基本关系

(1)商数关系：sin α

cos α＝tan α⎝ ⎛⎭

⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ；

(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 8．三角函数的诱导公式

(1)sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z.

(2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.

(3)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.

(4)sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫

π2－α＝sin α，

sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫

π2＋α＝－sin α.

9．三角函数图像的三种基本变换

y ＝sin x 的图像向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图像； y ＝sin x 图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1

ω倍，得到y ＝sin ωx 的图像；

y ＝sin x 图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y ＝A sin x 的图像．

10．三角函数的对称中心与对称轴

(1)函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z)，对称轴为x ＝k π＋π

2

(k ∈Z)．

(2)函数y ＝cos x 的对称中心为⎝

⎛⎭

⎪⎫

k π＋π2，0(k ∈Z)，对称轴为x ＝k π(k ∈Z)．

(3)函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π2，0(k ∈Z)，没有对称轴．

11．三角恒等变换的主要公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝

tan α±tan β

1∓tan αtan β

；

sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.

12．辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝a 2

＋b 2

sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2

，cos φ＝a

a 2＋b

2 . 13．平面向量的有关运算

(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |.

(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.