《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
运筹学 第3章 LP的对偶问题与灵敏度分析
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0
运筹学第三章习题答案详细
运筹学第三章习题答案详细运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它运用数学和逻辑的方法来解决实际问题。
在运筹学的学习中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和应用。
本文将详细解答运筹学第三章的习题，帮助读者更好地掌握该章节的内容。
第一题是关于线性规划的基本概念和性质的。
线性规划是运筹学中的重要分支，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。
这个问题可以用一个线性规划模型来描述，其中包括决策变量、目标函数和约束条件。
在解答这个问题时，我们需要先确定决策变量、目标函数和约束条件，然后使用线性规划的方法求解最优解。
具体的计算过程可以通过线性规划的算法来完成。
第二题是关于线性规划的图解法的。
线性规划的图解法是一种直观的解法，它通过绘制变量的可行域和目标函数的等高线图来求解最优解。
在解答这个问题时，我们需要先将约束条件转化为直线或者曲线的形式，然后绘制出这些直线或曲线，并确定它们的交点。
最后，我们需要在可行域内找到使目标函数取得最大或最小值的点，这个点就是线性规划的最优解。
第三题是关于整数规划的应用的。
整数规划是线性规划的一种特殊形式，它要求决策变量取整数值。
在解答这个问题时，我们需要先确定整数规划的模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
然后，我们可以使用整数规划的算法来求解最优解。
在实际应用中，整数规划可以用来解决很多实际问题，比如生产计划、运输调度等。
第四题是关于线性规划的灵敏度分析的。
灵敏度分析是线性规划中的一种重要技术，它用来分析目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响。
在解答这个问题时，我们需要计算目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响程度，并进行相应的调整。
通过灵敏度分析，我们可以了解到线性规划模型对参数变化的敏感性，从而做出更加准确的决策。
第五题是关于线性规划的对偶问题的。
线性规划的对偶问题是线性规划的一个重要概念，它可以用来求解原始问题的最优解。
《运筹学教程》第三章习题答案
《运筹学教程》第三章习题答案1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。
它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。
又称效率价格。
影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。
只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。
市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。
2.证明：当原问题约束条件右端变为b i′时，原问题变为： maxz=∑C i X js.t. ∑a ij X i≤b i′(i=1,2,3,……,m)X j≥0 (j=1,2,3,……,n)对偶问题为： minp=∑b i′y is.t. ∑a ij y i≥C iy i≥0(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n) 设，当b i变为b i′原问题有最优解（X1′X2′X3′……X n-1′X n′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……y n-1′y n′）,则有：又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：所以3（1）.minp=6y1 + 2y2s.t. -y1+2y2≥-33y1+3y2≥4y1,y2≥0(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5-2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5-6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-610X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0则对偶规划为：.minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3≥2y1′-y1〞+5y2 + 9y3≥-23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞-5y2 + 4y3≥2-3y1′+3y1〞+5y2 -4y3≥-2即：minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3=23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞+5y2 + 4y3=2令 y1〞- y1′= y1，得：minp= 5y1 -6y2 + 12y3s.t. -2y1-6y2 + 10y3≥2y1-5y2 -9y3=2-3y1+y2 + 6y3≥-5-3y1-5y2 + 4y3=24、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
运筹学第三章 对偶问题和灵敏度分析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
项目
基变量 非基变量
CB XB Cj-Zj
B-1 b
XB Ⅰ 0
表2.5
XN B-1 N CN－CB B-1 N
XS B-1Ⅰ - CB B-1
初始单纯形表:
项目
非基变量
XB
XN
B-1 0 XS
b
B
N
Cj-Zj
CB
CN
B1 p1p2...pn
基变量
XS Ⅰ 0
项目
基变量 非基变量
XB
CB XB B-1 b
x 1 , x 2 , x 3 0
2.
m in Z 3 x1 2 4 x4 0
x2 3 x3 4 x4 5
2
x
1
3 x2
7 x3
4 x4
2
x 1 0 ， x 2 0 , x 3、 x 4 无 约 束
答 案 ：1 . m a x W 2 y 1 3 y 2 5 y 3
2y1 3y 2 y3 2
3 5
y y
1 1
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y 1 0 , y 2 . y 3 0
2 .m ax W 3 y1 5 y 2 2 y3
3对偶理论与灵敏度分析解析
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++++=无约束321321321321321,0,534332243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束(3)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1111n j m i x n j b x m i a x x c z ij mi j ij nj i ij mi ijnj ij (4)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1(),,1(min 1211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij nj i j ij nj jj 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么?(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；(4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(0322326532min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质；2、 对偶单纯形法；3、 灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方 法。
要求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。
§ 1对偶问题的对称形式一、对偶问题弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利 2元，每生产一件产品乙可获利 3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设X i 、X 2分别为甲、乙两种产品的产量作一比较：若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲，可获利 2元，那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。
即:2力 4y 33将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为则目标函数maxz 二2x 「3x 2x 「2x 2 岂8i4x 1 - 16 i4x 2 兰12约束条件-x 1,x^ 0(1)不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售 3分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料这时要考虑每种资源的定价问题，设A 、B 的附加额。
时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。
即:。
=8y 〔+ 16y 2 + 12y 3对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。
为此，得到如下模型：min =8y 1 16y 212y 3"+4丫2工 2< 2y i +4y ^ 3 J j > 0 , j =1,2,3我们就称（2）为模型（1）的对偶问题。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量，说明在最优生产计划中，第种资源一定还有剩余。
8．对于来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加个单位，相应的目标函数值增加。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量，且所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题（1）（2）；；（3）（4）；；（5）（6）；。
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（1）（2）；；（３）（４）；；五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时与的变化范围。
对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
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( ) N0 = CN0 − CB0 B0−1N0 = 6, −2,3 ，则 x1 为换入变量。
( ) ( ) x
=
min
( )
B0−1b i B0−1P1 i
B0−1P1
i
0
=
min
2 2
,
4 1
=
1，所以对应的换出变量为
4。
由此得到新的基 B1 、基变量 XB1 及系数 CB1 、非基变量 XN1 及系数 CN1 分别为：
0 0 1 1 1
−1/ 3
1/ 3 0 0 1 0 0 1/ 3 0 0 B1−1 = E1B0−1 = −4 / 3 1 0 0 1 0 = −4 / 3 1 0
−1/ 3 0 1 0 0 1 −1/ 3 0 1
计算非基变量的检验数为：
1 / 3 0 0 1 1 0
N1 = CN1 − CB1 B1−1N1 = ( M ,1, 0) − (2, M , 0) −1 / 4
量 x4, x5 ，在第三个约束条件中加入松弛变量 x6 ，得该线性规划的标准型：
min z = 2x1 + x2 + Mx4 + Mx5 3x1 + x2 + x4 = 3 4x1x+1 +23x2x2+−x6x3=+3x5 = 6 x1, x2,L , x6 0
2 / 33
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B1
=
( P1,
P5
)
=
2 1
0 1 , X B1
=
x1 x5
,
CB1
= (6,0) ，
X N1 = ( x4, x2, x3 )T ,CN1 = (0, −2,3)
对偶理论及灵敏度分析习题
对偶理论及灵敏度分析习题1. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划中的一种方法，它是将一个线性规划问题转化为另一个等价的线性规划问题。
这个等价问题被称为原问题的对偶问题，原问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系。
2. 什么是灵敏度分析？灵敏度分析是一种方法，用于评估一个线性规划问题的解对输入数据的变化的敏感程度。
它涉及到对线性规划问题的目标函数系数、约束条件常数、以及右手边向量的变化进行分析，以确定线性规划问题在输入数据变化下的解的变化情况。
3. 对偶问题和原问题之间有什么关系？对偶问题和原问题之间存在着一种对偶关系，即两个问题中的变量和约束条件互相对应。
对原问题的对偶问题的目标函数系数就是原问题的约束条件系数，而对原问题的每个变量的约束条件对应着对偶问题的每个变量的目标函数系数。
4. 什么是原问题？原问题是一个线性规划问题，它包括在一组约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
原问题通常表示为标准形式或规范形式。
5. 什么是对偶问题？对偶问题是一个等价的线性规划问题，它与原问题共享相同的约束条件，但目标函数和约束条件的系数经过了转换。
对偶问题可以用来评估原问题的最优解并提供其他信息，如原问题的灵敏度分析和可行性分析。
6. 什么是灵敏度分析中的“影响范围”？灵敏度分析中的“影响范围”指输入参数发生变化时，该变化对解决方案的影响的程度范围。
影响范围可以用来确定哪些输入参数对问题的解决非常敏感，以及如何调整这些参数以最大程度地减少对解决方案的影响。
7. 在灵敏度分析中，什么是“松弛变量”的作用？在灵敏度分析中，“松弛变量”用于评估一个约束条件的“松弛度”，即约束条件与等式相差多少。
这个信息可以用来确定输入参数值的变化可以多少，以使某个约束条件的松弛度保持不变。
8. 什么是敏感性分析？敏感性分析是一种评估线性规划问题解决方案的稳定性的方法。
它涉及到对输入参数的变化进行分析，以确定对线性规划问题最优解的影响程度。
华南理工大学-运筹学-第3章-线性规划的对偶理论(简)-工商管理学院
5-最优生产计划中某种资源未充分利用时，其影子价格必
然为0。这意味着增加该资源的供应量不会为企业带来利
润或产出的增加。
17
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解原问题的（线性规划问题的）对
偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理和单纯形法来求解
原问题的一种方法。
18
【注】企业卖出相同数量关系的原材料，收益应不低于用
其生产出最终产品而获得的利润。
4
引例
5
引例
6
基本概念
1-原问题的目标函数系数(行)向量对应于对偶问题约束条
件的右端常数(列)向量。
同理，原问题约束条件的右端常数(列)向量对应于对偶问
题的目标函数系数(行)向量。
7
基本概念
2-原问题与对偶问题约束不等式的不等号方向相反。
素从而影响原最优基的可行性，进而使最优解发生变化。
因为b的变化不会直接影响非基变量的检验数，那么只要b
的变化没有造成最优基的变化，则资源的影子价格保持不
变，此时可直接用影子价格乘以新增/减少的资源数量得
出最优利润的变化。
49
灵敏度分析示例1
在本例中，只要1落在[200, 400]内，最优基维持不变，
千克，最优解有什么变化？
1的周供应量1在什么范围内变化时，原生产组合（仅生产A和
B）仍为最优组合？
1增加至500时，最优解是什么？
44
灵敏度分析示例1
45
灵敏度分析示例1
46
灵敏度分析示例1
47
灵敏度分析示例1
48
灵敏度分析示例1
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
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第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题
一、思考题
1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？
2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？
3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？
4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检
验数之间的关系？
5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？
6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）
，其经济意
义是什么？
7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量
的检验数
（标准形为
求最小值），其经济意义是什么？
8．将
的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解
将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？
二、判断下列说法是否正确
1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定
有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量
，说明在最优生产计
划中，第
种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量
，说明在最优生产计
划中，第
种资源一定还有剩余。
8．对于
来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为
，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加
个单位，相应的目标函数值增加。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量
，且
所在行的
所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题
（1）
（2）
；
；
（3）
（4）
；
；
（5）
（6）
；。
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题
（1）
（2）
；
；
（３）
（４）
；
；
五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时
与
的变化范围。
（１）
（２）
；
；
（３）
（４）
；
．
六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中
为松弛变量，问题的约束为形式
表 3—1
5/2 0 1/2 1 1/2 ０
5/2 1 －1/2 0 －1/6 1/3
0 －４0 －４－２
（1）写出原线性规划问题；
（2）写出原问题的对偶问题；
（3）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。
七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题：
表３—２
甲乙丙原料拥有量
A 6 3 5 45
（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？
（3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划；
（4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？
（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．
八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。
已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３—４。
表３——４
（１）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到
50/6 ，求最优生产计划。
（4）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（5）设备A的能力如为100+10 ，确定保持原最优基不变的的变化范围。
（6）如有一种新产品丁，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产？
（7）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。
《运筹学》
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答
二．解：（1）√ （2）√（3）X（4）√(5) √（6）√（7）X（8）X（9）X （10）X
三、（1）
（2）
；
；
（3）
（4）
；
（5）
（6）
；。
四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下：
表３—１
０
－３
－２
－１
４
３
０
１
０
０
０
１
１
－１
－１
１
０
０
１
－１
０
１
０
－１
００－６０－３－２
由于基变量
所在行的
值全为非负，故问题无可行解。
（２）最优解为
；
（３）最优解为
；
（４）最优解为
；
五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表３—２(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) ．
（1）
表３—２（１）
1 1 3 0 0
３１１0．5 １０.5 0
０２２1．5 ０－0.5 1
３３1．5 ３ 1.5 0
－２－0.5 ０－１.5 0 由此表可以看出，资源1的影子价格为1.5 ，资源2的影子价格为0 。
且
；。
(2)
表 3 — 2（2）
9 8 50 19 0 0
19 2 2 4/3 0 １2/3 －5/3 50 1 －０.5 －1/3 1 ０－1/6 2/3
３1３26/3 50 19 13/3 5/3
－4 －2/3 ０0 －13/3 －5/3 由此表可以看出，资源1的影子价格为13/3 ，资源2的影子价格为5/3 。
且
；。
（3）
表 3—2（3）
1 1 3 0 0
4 １１.
5 1 0 1 －0.5
3 ２－１0 1 －1 1
10 ３ 4 ３ 1 1
－２0 ０－１－１由此表可以看出，资源1的影子价格为1 ，资源2的影子价格为1 。
且
；。
(4)
表 3—2（4）
2 3 5 0 0 0 0
0 1 0 0 0 １－3/2 －1/8 1/4
2 1 1 0 0 0 3/2 －1/8 －3/4 5 2 0 0 1 0 －１1/4 1/2
3 3/2 0 1 0 ０3/
4 －3/16 －1/8
16.5 2 3 5 0 1/4 7/16 5/8
0 0 ０0 －1/4 －7/16 －5/8
由此表可以看出，资源1的影子价格为0 ，资源2的影子价格为1/4 ，资源3的影子价格为7/16 ，资源2的影子价格为5/8 。
且
；。
六、解：（１）原线性规划问题：
；
（２）原问题的对偶规划问题为：
；
（３）对偶规划问题的最优解为：。
七、解：（１）设
分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为
；
得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—3）
表 3—3
4 1
5 0 0
4 5 １－1/3 0 1/3 －1/3
5 3 0 1 1 －0.2 0．4
３5 4 11/3 5 1/3 2/3
0 －8/3 ０－１/3 －2/3
可得
，
；
（2）产品甲的利润变化范围为 [ 3，6 ] 。
（3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁15件，而
；
（4）购进原料B 15单位为宜；
（5）新计划为。
八、解：（1）设
分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为
；得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—4）
表3——4
10 6 4 0 0 0
6 200/3 0 1 5/6 5/3 －1/6 0 10 100/3 1 0 1/6 －2/3 1/6 0 0 100 0 0 4 －２0 1
2200/3 10 6 20/3 10/3 2/3 0
0 0 －8/3 －10/3 －2/3 0
可得
，
；
（2）
；
（3）
；（4）
；
（5）该产品值得安排生产；（6）。