人教版高一数学必修第一节 函数及其表示

第一节 函数及其表示

一、基础知识

1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：

在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．

求函数定义域的策略

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．

(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．

(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

关于分段函数的3个注意

(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．

考点一 函数的定义域

[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1

x 的定义域是( )

A ．[－1,0)∪(0,1)

B ．[－1,0)∪(0,1]

C ．(－1,0)∪(0,1]

D ．(－1,0)∪(0,1)

(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－1

2 C ．(－1,0)

D.⎝⎛⎭⎫12，1

[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

1－x >0，x ＋1>0，

x ≠0，

解得－1

所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．

(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1

2.

[答案] (1)D (2)B [解题技法]

1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；

(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π

2

(k ∈Z)；

(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题

(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；

(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．

[题组训练]

1.函数f (x )＝1

ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )

A ．[－2,0)∪(0,2]

B ．(－1,0)∪(0,2]

C ．[－2,2]

D ．(－1,2]

解析：选B 由⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，

4－x 2≥0，

得－1

2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)

x －1的定义域是________________．

解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，

所以若g (x )有意义，应满足⎩

⎪⎨⎪

⎧

1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，

所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.

因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}

考点二 求函数的解析式

[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法

因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .

因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪

⎧

4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，

a ＋

b ＋

c ＝5，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝1，

b ＝－5，

c ＝9，

所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法

令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －1

2，

所以f (t )＝4⎝⎛

⎭

⎫t －122

－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，

所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法

因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．

(2)解方程组法

由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－

x ，②

①×2－②，得3f (x )＝2x ＋

1－2－

x .