2019年上海中考数学二模汇编第25题
2019年沪教版中考模拟上海市浦东新区中考数学二模试卷 含解析
2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题1．下列各数不是4的因数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如果分式x y x y+-有意义，则x 与y 必须满足( ) A ．x y =- B ．x y ≠- C ．x y = D ．x y ≠3．直线27y x =-不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO CO =，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是( )A ．BO DO =B ．AB BC = C ．AB CD = D ．//AB CD二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．52的相反数是 ． 8．分解因式：2224a ab b -+-= ．9．已知函数()f x =，那么(2)f -= ．10．如果关于x 的方程220x x m ++=有两个实数根，那么m 的取值范围是 ．11．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x 厘米(0)x >，周长为y 厘米，那么y 关于x 的函数解析式为 ．12．从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是 ．13．在四边形ABCD 中，向量AB u u u r 、CD u u u r 满足4AB CD =-u u u r u u u r ，那么线段AB 与CD 的位置关系是 ．14．某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为名．15．已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于 ．16．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．17．如图，已知在ABC ∆中，3AB =，2AC =，45o A ∠=，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点1A 处，点C 落在点1C 处，那么1AC = ．18．定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP 、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M 、N 为圆O 的一对反演点，且点M 、N 到圆心O 的距离分别为4和9，那么圆O 上任意一点到点M 、N 的距离之比AM AN= ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：102(3)9|2331--+．20．解不等式组：25351263x x x +⎧⎪⎨-<⎪⎩…，并写出这个不等式组的自然数解． 21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线6y x=经过第一象限内的点A ，延长OA 到点B ，使得2BA AO =，过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，交双曲线于点C ，点B 的横坐标为6．求：（1）点A 的坐标；（2）将直线AB 平移，使其经过点C ，求平移后直线的表达式．22．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB 最长为20米，吊臂与水平线的夹角ABC ∠最大为70︒，旋转中心点B 离地面的距离BD 为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH （参考数据：sin 700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan 70 2.75)︒≈；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．23．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，AB AD =，AM BD ⊥，垂足为点M ，连接CM 并延长，交线段AB 于点N ．求证：（1）ABD BCM ∠=∠；（2）BC BN CN DM =g g ．24．已知抛物线213y x bx c =++经过点(3,4)M -，与x 轴相交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P是这条抛物线对称轴上一点，PC BC=，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P在x轴上方时，求PCB∠的正弦值．25．已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MN AP⊥，垂足为点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为5，8AB=．（1）当P是优弧¶AB的中点时（如图），求弦AP的长；（2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，32为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理由；（3）当BNO BON∠=∠，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长．2019年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数不是4的因数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：4Q 的因数有：1、2、4，∴各数不是4的因数是3．故选：C ．2．如果分式x y x y+-有意义，则x 与y 必须满足( ) A ．x y =- B ．x y ≠- C ．x y = D ．x y ≠【解答】解：由题意得：0x y -≠，即：x y ≠，故选：D ．3．直线27y x =-不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 直线21y x =-，20k =>，1b =-，∴该直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B ．4．某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解答】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定，故选：A ．5．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选：C ．6．已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO CO =，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是( )A ．BO DO =B ．AB BC = C ．AB CD =D ．//AB CD 【解答】解：//AD BC Q ，ADB CBD ∴∠=∠，在ADO ∆与CBO ∆中，ADB CBDAOD COB OA CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADO CBO AAS ∴∆≅∆，AD CB ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =Q∴四边形ABCD 是菱形；故B 正确；故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．52的相反数是 2 ．【解答】解：52的相反数是52-，故答案为：52-．8．分解因式：2224a ab b -+-= (2)(2)a b a b -+-- ．【解答】解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--．故答案为：(2)(2)a b a b -+--．9．已知函数()6f x x =+，那么(2)f -= 2 ．【解答】解：()6f x x =+Q ，(2)262f ∴-=-+=．故答案为：2．10．如果关于x 的方程220x x m ++=有两个实数根，那么m 的取值范围是 1m … ．【解答】解：Q 方程有两个实数根，∴△22424440b ac m m =-=-⨯=-…， 解得：1m …．故答案为：1m …．11．已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x 厘米(0)x >，周长为y 厘米，那么y 关于x 的函数解析式为 12y x = ．【解答】解：Q 正多边形的中心角为30度，∴3601230︒=︒， ∴正多边形为正十二边形，设边长为x 厘米(0)x >，周长为y 厘米，则y 关于x 的函数解析式为：12y x =； 故答案为：12y x =．12．从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是 13． 【解答】解：共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为13， 故答案为：13．13．在四边形ABCD 中，向量AB u u u r 、CD u u u r 满足4AB CD =-u u u r u u u r ，那么线段AB 与CD 的位置关系是 平行 ．【解答】解：Q 4AB CD =-u u u r u u u r ，∴AB u u u r 与CD u u u r 是共线向量，由于AB u u u r 与CD u u u r 没有公共点，//AB CD ∴，故答案为：平行．14．某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为 160 名．【解答】解：根据题意结合统计图知：估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为1056016052010⨯=++人， 故答案为：160．15．已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于 130︒ ．【解答】解：18050130︒-︒=︒．故这个角的补角等于130︒．故答案为：130︒．16．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米．【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米） 故答案为：7．17．如图，已知在ABC ∆中，3AB =，2AC =，45o A ∠=，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点1A 处，点C 落在点1C 处，那么1AC = 22 ．【解答】解：如图，连接1AC ，由旋转知，ABC ∆≅△11A BC ，13AB A B ∴==，112AC A C ==，1145CAB C A B ∠=∠=︒，145CAB CA B ∴∠=∠=︒，1ABA ∴∆为等腰直角三角形，1111190AA C CA B C A B ∠=∠+∠=︒，在等腰直角三角形1ABA 中，1232AA AB ==，在Rt △11AA C 中，22221111(32)222AC AA A C =+=+=，故答案为：22．18．定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP 、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点．已知点M 、N 为圆O 的一对反演点，且点M 、N 到圆心O 的距离分别为4和9，那么圆O 上任意一点到点M 、N 的距离之比AM AN 3．【解答】解：由题意Oe的半径24936r=⨯=，r>Q，6r∴=，当点A在NO的延长线上时，6410AM=+=，6915AN=+=，∴102153 AMAN==，当点A''是ON与Oe的交点时，2A M''=，3A N''=，∴23A MA N''=''，当点A'是Oe上异与A，A''两点时，易证△OA M ONA'∆'∽，∴6293A M OAA N ON''==='，综上所述，23AMAN=．故答案为：23．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：102(3)9|2331--+．【解答】解：原式1331231=--+=-．20．解不等式组：25351263xx x+⎧⎪⎨-<⎪⎩…，并写出这个不等式组的自然数解．【解答】解：25351263xx x+⎧⎪⎨-<⎪⎩①②…，由①得：1x-…，由②得：4x<．故不等式组的解集是：14x-<…．故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线6yx=经过第一象限内的点A，延长OA到点B，使得2BA AO=，过点B作BH x⊥轴，垂足为点H，交双曲线于点C，点B的横坐标为6．求：（1）点A的坐标；（2）将直线AB平移，使其经过点C，求平移后直线的表达式．【解答】解：（1）作AD x⊥轴，垂足为D，BH x⊥Q轴，AD x⊥轴，90BHO ADO∴∠=∠=︒，//AD BH∴，2BA AO=Q，∴12 OD OADH AB==，Q点B的横坐标为6，6OH∴=，2OD∴=，Q双曲线6yx=经过第一象限内的点A，可得点A的纵坐标为3，∴点A的坐标为(2,3)；（2）Q双曲线6yx=上点C的横坐标为6，∴点C的坐标为(6,1)，由题意得，直线AB的表达式为32y x =，∴设平移后直线的表达式为32y x b =+，Q平移后直线32y x b=+经过点(6,1)C，3162b∴=⨯+，解得8b=-，∴平移后直线的表达式382y x =-． 22．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB 最长为20米，吊臂与水平线的夹角ABC ∠最大为70︒，旋转中心点B 离地面的距离BD 为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH （参考数据：sin 700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan 70 2.75)︒≈；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【解答】解：（1）根据题意，得20AB =，70ABC ∠=︒，2CH BD ==，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒Q ，sin 70200.9418.8AC AB ∴=︒=⨯=g ，20.8AH ∴=．答：这辆吊车工作时点A 离地面的最大距离AH 为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x 千米，由题意，得40401203x x -=-， 解得，160x =，240x =-，经检验：160x =，240x =-都是原方程的解，但240x =-符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．23．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，AB AD =，AM BD ⊥，垂足为点M ，连接CM 并延长，交线段AB 于点N ．求证：（1）ABD BCM ∠=∠；（2）BC BN CN DM =g g ．【解答】证明：（1）AB AD =Q ，ABD ADB ∴∠=∠，//AD BC Q ，ADB MBC ∴∠=∠，ABD MBC ∴∠=∠，AB AD =Q ，AM BD ⊥，BM DM ∴=，DC BC ⊥Q ，90BCD ∴∠=︒，CM BM DM ∴==，MBC BCM ∴∠=∠，ABD BCM ∴∠=∠；（2）BNM CNB ∠=∠Q ，NBM NCB ∠=∠，NBM NCB ∴∆∆∽，::BN CN BM BC ∴=，而BM DM =，::BN CN DM BC ∴=，BC BN CN DM ∴=g g ．24．已知抛物线213y x bx c =++经过点(3,4)M -，与x 轴相交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果P 是这条抛物线对称轴上一点，PC BC =，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，当点P 在x 轴上方时，求PCB ∠的正弦值．【解答】解：（1）Q 抛物线213y x bx c ==++经过点(3,4)M -，( 3.0)A -， 433033b c b c -=++⎧⎨=-+⎩， 解得：235b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴这条抛物线的表达式为212533y x x =--； （2）(3,0)A -Q ，(5,0)B ，∴这条抛物线的对称轴为直线x l =．设点P 的坐标为(,)l y ．PC BC =Q ，点B 的坐标为(5,0)，点C 的坐标为(0,5)． 22PC BC ∴=．22221(5)55y ++=+．解得2y =或12y =-．∴点P 的坐标为(1,2)或(,12)l -；（3）作PH BC ⊥，垂足为点H ．Q 点(5.0)B ，点(0,5)C ，点(1,2)P ，52PC BC ∴==设直线BC 的解析式为5y kx =-，代入(5,0)B 解得1k =，∴直线BC 的解析式为5y x =-，把1x =代入得，4y =-，∴直线BC 与对称轴相交于点(1,4)D -，6PD ∴=，PBC PCD PBD S S S ∆∆∆=+Q ， ∴111526164222PH ⨯=⨯⨯+⨯⨯g ． 解得32PH =．323sin 552PCB ∴∠==．25．已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上一点，过点O 作MN AP ⊥，垂足为点M ，并交射线AB 于点N ，圆O 的半径为5，8AB =．（1）当P 是优弧¶AB 的中点时（如图），求弦AP 的长； （2）当点N 与点B 重合时，试判断：以圆O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 的位置关系，并说明理由；（3）当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 半径的长．【解答】解：（1）连接PO 并延长交弦AB 于点H ，如图1所示： P Q 是优弧¶AB 的中点，PH 经过圆心O ，PH AB ∴⊥，AH BH =，在AOH ∆中，90AHO ∠=︒，142AH AB ==，5AO =，3OH ∴===，在APH ∆中，90AHP ∠=︒，538PH OP OH =+=+=，AP ∴===；（2）当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交；理由如下： 作OG AB ⊥于G ，如图2所示：OBG ABM ∠=∠Q ，OGB AMB ∠=∠，OBG ABM ∴∆∆∽， ∴BM BG AB OB =，即485BM =， 解得：325BM =， 327555OM ∴=-=， Q 7352<， ∴当点N 与点B 重合时，以点O 为圆心，32为半径的圆与直线AP 相交； （3）①当点N 在线段AB 延长线上时，当圆N 与圆O 相外切时，作OD AB ⊥于D ，如图3所示： 5OA OB ==Q ，142AD DB AB ∴===，3OD ∴===，BNO BON ∠=∠Q ，5BN OB ∴==，9DN DB BN ∴=+=，在Rt ODN ∆中，由勾股定理得：ON ===， Q 圆N 与圆O 相切，∴圆N 半径55ON =-=-；当圆N 与圆O 相内切时，圆N 半径55ON =+=+；②当点N 在线段AB 上时，此时点P 在弦AB 的下方，点N 在圆O 内部，如图4所示： 作OE AB ⊥于E ，则4AE BE ==，223OE OB BE =-=， BNO BON ∠=∠Q ，5BN OB ∴==，1EN BN BE ∴===，在Rt OEN ∆中，由勾股定理得：22223110ON OE EN =+=+=， ∴圆N 半径为510-或510+；综上所述，当BNO BON ∠=∠，且圆N 与圆O 相切时，圆N 半径的长为3105-或3105+或510-或510+．。
2019年上海中考数学二模试卷精选汇编压轴题专题综合训练及答案解析
2019 年九年级中考二模数学试卷精选汇编压轴题专题宝山区、嘉定区25.（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分， 第（3）小题 5 分）在圆 中， 、 是圆 的半径，点 在劣弧 上， AC 12 AC OB AB，（1）如图 8，求证： 平分 ；（2）点 在弦 的延长线上，联结 ，如果△ 是直角 三角形，请你在如图 9 中画出点 的位置并求 的长；（3）如图 10，点 在弦 上，与点 不重合，联结 与弦 交于点 ，设点 与点 的距离为 △，△ 的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.AAAOODEOCBCBCB图 8图 9图 10C AB O AO BO O OA 10， ∥ ，联结 .AB OACM AC BM AMB M CMD AC A OD ABE D Cy y x x OEB25.（1）证明：∵ 、 是圆 的半径∴ …………1 分∴ …………1 分∵ ∥ACOB∴BAC B…………1 分 图 8∴OABBAC∴ 平分 …………1 分(2)解：由题意可知不是直角，所以△ 是直角三角形只有以下两种情况: AMB 90 ABM 90① 当，点 的位置如图 9-1……………1 分过点 作 ,垂足为点HA∵ 经过圆心 ∴∵ ∴2HO在 Rt △ 中， 2HO 2OA2CMB∵OA10∴OH8图 9-1∵ ∥∴AMB OBM 180∵AMB 90∴OBM90∴四边形 是矩形∴OBHM10ACAO BO O AO BO OABB AC OBAB OACBAMAMB和 AMB 90 M O OHAC 1OH AHHC ACAC12AHHC 6 AHO AH AC OB OBMHO B∴CM HM HC 4……………2分②当ABM 90M的位置如图9-2由①可知AB 85，cos CAB 255∴ABM cos CAB 5AM5 AM 20CM AM AC 8……………2分综上所述，的长为或 .说明：只要画出一种情况点的位置就给1分，两个点都画正确也给1分.（3）过点作,垂足为点G由（1）、（2）可知，sin OAG sin CABA由（2）可得：5∵∴……………1分D E OG∵∥∴ (1)AE AD又5BE AD 12x OB 10 AE 8分CB图10∴BE85BE1012x∴BE 80522x……………1分∴11805y BE OG2222x25∴y 40022x……………1分自变量x的取值范围为长宁区0x 12……………1分，点AB2在Rt△中，CM48MO OG AB5sin CABOA 10OG 25BE OBAC OB, ,25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB 于点D，联结AO、BO、AD、BD. 已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；（2）如图2，设A C=x，SS ACOOBD y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．AOCD图1BOCA BD图2第25题图OA B备用图25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，∴OD⊥AB，AC 12AB 4（2分）在 Rt △AOC 中，，AO =5，∴（1 分）O D 5，CO AO 2 AC 23C D OD OC 2（1 分）（2）过点 O 作 OH ⊥AB ，垂足为点 H ，则由（1）可得 AH =4，OH =3∵AC =x ，∴CH|x 4 |在 Rt △HOC 中，，AO =5，∴CO HO2HC 23 2 | x4 | 2x 28x 25，（1 分）∴yS S S AC OC x x 2 8x 25ACO ACO OBCSSSBC OD 8 x5OBDOBCOBDx x 2 8x 25 （40 5 x0 x 8）（3 分）（3）①当 OB //AD 时， 过点 A 作 AE ⊥OB 交 BO 延长线于点 E ，过点 O 作 OF ⊥AD ,垂足为点 F ，则 OF =AE ，SABO1 1AB OHAB OH OB AE AE2 2OB24OF5在 Rt△AOF 中， ，AO =5，∴AFAO2OF27 5 ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD 2 A F14 5 . （3 分）②当 OA //BD 时， 过点 B 作 BM ⊥OA 交 AO 延长线于点 M ，过ACO 90CHO 90∴ AFO90点D作DG⊥AO，垂足为点G，则由①的方法可得DG BM 245，在Rt△GOD中，，DO=5，∴GO DO2DG27718AG AO GO 5555，在Rt△GAD 中，DGA90，∴AD AG2DG26（3分）综上得14AD 或65崇明区25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，已中，，，，D是AC边上一点，且AB2AD AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），AEF C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分；（2）设，，求与之间的函数关系式；（3）联结FG，当是等腰三角形时，求BE的长度．A ADFDBGE（第25题图）C B C（备用图）DGO90，△知ABC AB 8BC 10AC 12ABCBE x CF y y x△GEF25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（1）∵，16∴AD3又∵AB2AD g AC∴1620CD 1233……………………………1分∵AB2AD g AC ∴AD ABAB AC又∵∠B AC是公共角∴△ADB∽△ABC…………………………1分∴∠ABD ∠C，BD ADBC AB∴BD 203∴BD CD∴∠DBC ∠C………………………1分∴∠ABD ∠DBC∴BD平分∠A BC………………………1分（2）过点作交的延长线于点H16∵AH∥B C ∴AD DH AH4 DC BD BC2053∵BD CD 203，AH 8∴AD DH 163∴AB 8AC 12A AH∥BC BD3BH 12……1分∵AH∥B C ∴AH HGBE BG∴812BGx BG∴BG 12xx 8…1分∵∠BEF ∠C ∠EFC即∠BEA ∠AEF ∠C ∠EFC∵∠AEF ∠C∴∠BEA ∠EFC又∵∠DBC ∠C ∴△BEG∽△CFE…………1分…………………………………………………12x∴BE BGCF EC ∴x 8y 10xy∴x22x 8012…………………………………………………………1分（3）当△是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°GE GF易证GE BE2EF CF3，即x2y3，得到BE 4………2分2°EG EF易证BE CF，即x y，BE 5105…………2分3°FG FE易证GE BE3EF CF2，即x3y2BE 389………2分x GEF奉贤区25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分 5分，第(3)小题满分4分）已知：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．（1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；（2）若E是弧AB的中点，求证：BE2BO BC；（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．A A AEDO C图9B O备用图B O备用图B黄浦区25．（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.25.解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB= ，x 1，——————————————所以22y2x 12————————（1分）. ———则y x22x 30x3————————————（2分）（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分）则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.∴∠AET=∠B=70°.———————————————————————（1分）又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°.——————————————————（1分）由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1分）所以∠AEC=70°＋35°=105°.——————————————————（1分）（3）当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2.——————————————————————（2分）当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又AC BC2AB2x24，则AD CAAC CB1x24x24117xx2（舍负）—————（2分）易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或117.—————————2—————————（1分）金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sin B35，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP=x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．EA Q D A DB PC B C图9备用图25．解：（1）在⊙P 中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠APB，∠PQA＝∠QPC，∴∠APB＝∠EPC，……（1分）∵梯形ABCD中，AD∥BC，A B=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………（1分）∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1分）（2）作AM⊥BC，PN⊥AD，∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，∴AM=PN，AN=MP．………………………………………………………（1 分）在△R t AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=，5∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……………………………………（1分）∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ= 2x-8，……………………………………（1分）y 3x 1211∴y AQ PN 2x 8322，………………………（1分），即3定义域是4x 分）132．………………………………………………………（1（3）解法一：由△QED与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△A PB∽△E CP，∴∠PAB＝∠DEQ，又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………………………（2分）②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠P AQ＝∠APB，∠E DQ＝∠C，∠B＝∠C，∴∠B＝∠APB，∴AB=AP，∵AM⊥BC，∴BM=MP=4，∴BP=8．………（2分）综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………（1分）解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD，在△R t APN中，AP PQ 32x 4x28x 25，∵QD∥PC，∴，QD PC∵△APB∽△ECP，∴，∴，PB PC PB QD①2x 8x28x 25x如果8x 252xAQ EQQP QD，，∴AQ APQP PB，即2EQ EPAP EP AP EQ解得x 5………………………………………………………………………（2分）②如果AQ DQQP QE ，∴AQ PBQP AP，即x22x 88x 25x2x8x 25，解得x 8………………………………………………………………………（2分）综上所述BP的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，平行四边形ABCD 中，已知AB=6，BC=9，cos ABC 13．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．设BP=x．A D（1）求AC的长；EP·O（2）设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙B O外切时，第25 题图求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，A求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．O C DB C第25 题备用图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）解：（1）作AH⊥BC于H，且cos ABC 13，AB=6，A DBH AB cos ABC 623 BC=9，HC=9-2=7，…………（2分）E·B HO第25题图(1)CAH 622242，……………………（1分）AC AH2HC232499﹒………（1分）（2）作OI⊥AB于I，联结PO,∴∠OAB=∠ABC,AC=BC=9，AO=4.5AIEOD∴Rt△AIO中，∴AI=1.5，IO=2AI 1cos IAO cos ABCAO3 B H第25题图(2)……………………（1分）C∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=，……………………（1分）2∴Rt△PIO中，981153OP2PI2OI2(32)2(x)218x29x x29x244分）……（1∵⊙P与⊙O外切，∴OP x29x 1534x y……………………（1分）1那么PP·2A I 329x∴y=x2153 1 9x x 4x 4 2236 x 153 x…………………………（1 分）∵动点 P 在边 AB 上，⊙P 经过点 B ,交线段 PA 于点 E ．∴定 义域：0<x ≤3…………（1 分）（3）由题意得：∵点 E 在线段 AP 上，⊙O 经过点 E ，∴⊙O 与⊙P 相交∵AO 是⊙O 半径，且 AO ＞OI ，∴交点 E 存在两种不同的位置，OE =OA =92① 当 E 与点 A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =1.5，AE =3，∴点 E 是 AB中点，BE1 3 AB 3 BP PE PI 32 2IO =32OP PI2IO232(3 2 )227 3 3……………………（2 分）② 当 E 与点 A 重合时，点 P 是 AB 中点，点 O 是 AC 中点,1 9 OP BC2 2……（2 分）∴OP3 3 或 ．2闵行区25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）如图，已知在 Rt △ABC 中，∠ACB = 90o ，AC =6，BC = 8， 点 F 在线段 AB 上，以点 B 为圆心，BF 为半径的圆交 BC 于点, , , 9E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果»»，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．C DE CA F BA B（第25题图）（备用图）25．解：（1）在Rt△ABC中，AC 6，B C 8，ACB 90o∴AB 10．……………………………………………………………ED 2E F（1分）过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH 35x，BH45x，FH 15x．…………………………（1分）在Rt△EHF中，EF2EH2FH231xx552，∴y 105x(0x 8)．………………………………………（1分+1分）（2）取»的中点P，联结BP交ED于点G∵»»，P是»的中点，∴»»»．∴∠FBE=∠EBP=∠PBD．∵»»，BP 过圆心，∴BG⊥E D，ED=2EG =2DG．…………（1分）又∵∠CEA=∠DEB，∴∠CAE=∠EBP= ∠ABC．……………………………………………（1分）又∵BE是公共边，∴BEH ≌BEG EH EG GD x5．在Rt△CEA 中，∵AC = 6，BC 8，tan CAE tan ABC AC CEBC AC，∴2EDED 2E F ED EP EF PDEP EF．∴3CE AC tan CAE6 6 3 3 9 8 2 2 ．……………………………（1分）∴BE 8分）9 16 9 72 2 2 2．……………………………………………（1∴ED 2E G6 67 21 x 5 5 2 5．……………………………………（1分）（ 3 ） 四 边 形ABDC 不 可 能 为 直 角 梯形．…………………………………（1 分）①当 CD ∥AB 时，如果四边形 ABDC 是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o ．CDAF在 Rt△CBD 中，∵ ，∴ CD BC cos BCD5EBBD BC si n BCD24 5BE．3232 ∴ C D 5 16 ， C E 5 1 ；AB 10 25 BE 32 45∴ C DCE ．AB BE∴CD 不平行于 AB ，与 CD ∥AB 矛盾． ∴ 四 边 形 ABDC 不 可 能 为 直 角 梯形．…………………………（2 分）②当 AC ∥BD 时，如果四边形 ABDC 是直角梯形，C只可能∠ACD =∠CDB = 90o ．EDAFBBC 832 ，8∵AC ∥BD ，∠ACB = 90o ，∴∠ACB =∠CBD = 90o．∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o．与∠ACD =∠CDB = 90o 矛盾．∴ 四 边 形ABDC 不 可 能 为 直 角 梯形．…………………………（2 分）普陀区25．（本题满分 14 分）已知 是 的直径 延长线上的一个动点，P 的另一边交 ⊙O 于点 C 、D ，两点位于 AB 的上方， ＝6， ， 1 3， 如图 11 所示．另一个半径为 6 的⊙O 1 经过点 C 、D ，圆心距 ．1（1）当 时，求线段 的长；（2）设圆心O 1在直线 上方，试用 的代数式表示 ；（3）△ 在点 1P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时 的值；如果不能，请说 明理由．DCPA O BA OB图 11备用图⊙O P BAsin P ＝ AB OP ＝mOO ＝n m ＝6 CDAB n mPOO n25．解：（1）过点作⊥，垂足为点，联结．在Rt△POH 中，∵sin P＝13，，∴．（1分）∵＝6，∴．···········（1分）由勾股定理得CH 5．·········（1分）OH DC CD 2CH 25．······（1分）（2）在Rt△POH 中，∵sin P＝1 ，，∴m．（133分）在Rt△OCH 中，CH2＝9m 2．······（1分）在Rt△中，1m2＝36n 32．·····（1分）可得m m 2，解得3n 81．··（22n分）（3）△POO1成为等腰三角形可分以下几种情况：●当圆心O1、在弦异侧时①OP＝OO1，即，由3n2812n解得．·（1分）即圆心距等于、1的半径的和，就有、1外切不合题意舍去．··············（1分）②O P＝OO11，由(n m m)m2()33＝n，解得m＝n3，即23nn＝32812n，9．5·（1分）●当圆心O1、在弦同侧时,同理可得m＝813n2n2．∵POO1是钝角，∴只能是m n，即n＝813n2n2，解得n＝95H OCO OH CDPO 6OH 2OC＝3AB∵⊥，∴PO＝m OH＝3O CH CH236n ＝9332 m＝O CDm＝n n＝n＝9⊙O⊙O⊙O⊙O222解得n＝15O CD5．··················（2分）综上所述，n 的值为95或9．5青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90o，点B 在弧MN上移动，联结BM，作OD BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y．（1）如图9-2，当AB OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.N N NBBC DC DO A M O A M O M 图9-1图9-2备用图25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．······················（1分）∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．515······················ （1 分）∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ········ （1 分） ∴AC =AM ． ··········· （1 分）（2）过点 D 作 DE //AB ，交 OM 于点 E ． · （1 分）∵OB ＝OM ，OD ⊥BM ，∴BD ＝DM ． ·· （1 分） ∵DE //AB ，∴ ，∴AE ＝EM ，DM AE∵OM = 2 ，∴AE ＝ 1 2x．····2∵DE //AB ，（1 分）∴OAOC 2DMOE OD OD， ········ （1 分）∴ ， OD 2OE∴yxx2．（0 x2） ······（2 分）（3）（i ） 当 OA =OC 时，∵DM1 1 1 BM OC x2 2 2，在 Rt △ODM 中 ，OD OM 2 DM 221 4x 2． ∵yDM OD，∴1 x1 x2 2 x 24．解得x14 2 2，或x14 22（舍）． ·················· （2 分）（ii ）当 AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ，MD MEDM OAx2∵∠A CO>∠C OB，∠C OB=∠AOC，∴∠A CO>∠AOC，∴此种情况不存在．·······（1分）（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=，∵∠C AO>∠M，∠M=9090，∴> ，∴BOA290BOA90，∴此种情况不存在．···················（1分）松江区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）如图，已知△R t ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.（1）求CE的长；（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求AACC的长.CCBC E BC E，∴>45，∵(第25题图)(备用图)25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题每个 小题各 5 分）解：（1）∵AE ∥CDBCDCBE AE ∵BC=DCA…………………………………1 分D∴BE=AE ……………………………B ……1 分设 CE =xE则 AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°，(第 25 题图)∴AC 2CE 2 AE2即9 x2( x 2)2………………………1 分∴即5 x4CE5 4 Q (1)分A（2）①D∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1 分CEP∴ C B又∵AE∥CD∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P………………………………1分∴△ACE∽△PCA，…………………………1分∴AC2CE CP…………………………1分即532CP4∴ (1)5分②设CP=t，则PE t 5 4∵∠ACB=90°，∴AP 9t2∵AE∥CD∴AQ ECAP EP……………………………1分即AQt2955 54t 5 4∴AQ 5t294t 5……………………………1分若两圆外切，那么5t29AQ14t 5此时方程无实数解……………………………1分若两圆内切切，那么5t29AQ54t 5∴15t240t 160解之得t 2041015………………………1分36CP4t又∵t 5 4∴t 2041015………………………1分徐汇区25.已知四边形是边长为10的菱形，对角线、相交于点，过点作∥交延长线于点，联结交于点.（1）如图1，当时，求的长；（2）如图2，以为直径作⊙，⊙经过点交边于点（点、不重合），设的长为，的长为；①求关于的函数关系式，并写出定义域；③联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长.AEAC BDABCDE C CF DB AB F EF BC HEF B C AEEF O O C CD GAE x EH yC Gy xEG DEG DG杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r 为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。
相似三角形与线段比、面积比问题(含2019年上海中考真题25题)-冲刺中考数学满分应对方法与策略
第15讲相似三角形与线段比、面积比问题【考点梳理】这类题型一般涉及分类讨论的数学思想，它是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题．【典型例题】1．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．2．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点M是射线BA上的一动点，BP⊥CM，垂足为P，PD⊥PN，与射线BC交于点N，联结DN．（1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）．①求证：；②联结DN，设BM＝x，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；（2）若S△DPN＝3S△CPN，求出BM的长．3．（2022•长宁区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边BC上一点，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4，BP＝4．（1）求线段PD的长；（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求的值．4．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，cos B＝，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC＝x，＝y．（1）如图1，当x＝4时，求AF的长；（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AC⊥AE，求AF的长．5．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．（1）当x＝3时，求tan∠BCE的值；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．6．（2021秋•黄浦区期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB ＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．8．（2021秋•虹口区期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC 延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．9．（2022秋•黄浦区校级月考）已知△ABC，AD是一条角平分线．（1）【探究发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：．小红的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，（角平分线的性质）＝，∵，∴（2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：；（3）【拓展应用】如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若，直接写出的值是2﹣．10．（2022秋•虹口区校级月考）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点F．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABF为等边三角形；②若△AFB与△PEQ相似，求∠MON的大小和的值．11．（2022春•长宁区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．（1）求证：△ACF∽△BCE；（2）如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；（3）在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．。
2019上海各区二模25压轴题专题.
2019各区二模压轴集合2019普陀二模25．（本题满分14分）如图12，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4cos 5BAC ∠=，点O 是边AC 上一个动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心，AO 为半径作⊙O ，⊙O 与射线AB 交于点D ；以点C 为圆心，CD 为半径作⊙C ，设OA x =． （1）如图13，当点D 与点B 重合时，求x 的值；（2）当点D 在线段AB 上，如果⊙C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值围；（3）在点O 的运动的过程中，如果⊙C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值围．备用图BAC图12AB C OD图13AB （D ）C O2019崇明二模25．（满分14分，其中第(1)、(2)小题满分各4分，第(3)小题满分6分） 如图9，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，8AB DC ==，12BC =，3cos 5C =，点E 为AB 边上一点，且2BE =．点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且EFG B ∠=∠．设BF 的长为x ，CG 的长为y ．（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；（3）当CFG △为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长．DAEB FCG图9ABCDE第25题备用图2019金山二模25. 如图，在ABC Rt ∆中，90=∠C ，16=AC cm ，20=AB cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒cm 1速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒cm 34速度在边BC 上运动，若点D ，点E 从点C 同时出发，运动t 秒(0>t )，联结DE .（1）求证：DCE ∆∽BCA ∆．（2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P . ①当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值.②在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当PFM ∆与CDE ∆相似时，求t 的值.B第25题图2019奉贤二模25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图10，已知△ABC，AB，3BC，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是弧DF的中点，求:BD CD的值；（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．图102019长宁二模25.（本满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，3=AC ，4=BC ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，DP ED ⊥，交边BC 于点E ． (1) 求证：DE BE =；(2) 若x BE =，y AD =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；(3) 延长ED 交CA 的延长线于点F ，联结BP ，若BDP ∆与DAF ∆相似，求线段AD 的长．图7BECADP备用图BCA备用图BCA2019松江二模25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，BC=16．点O 在边BC 上，以O 为圆心，OB 为半径的弧经过点A ．P 是弧AB 上的一个动点．（1）求半径OB 的长；（2）如果点P 是弧AB 的中点，联结PC ，求∠PCB 的正切值； （3）如果BA 平分∠PBC ，延长BP 、CA 交于点D ，求线段DP 的长．·（第25题图）OBCA ·（备用图）OBCA2018宝山嘉定二模第25题图2019虹口二模25．（本题14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =3，AB =4，点P 为射线BC 上一动点，以P 为圆心，BP 长为半径作⊙P ，交射线BC 于点Q ，联结BD 、AQ 相交于点G ，⊙P 与线段BD 、AQ 分别相交于点E 、F ．（1）如果BE=FQ ，求⊙P 的半径；（2）设BP=x ，FQ=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值围； （3）联结PE 、PF ，如果四边形EGFP 是梯形，求BE 的长．2019浦二模25. 已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点. （1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示∠AOD ； （2）如图2，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长.2109静安二模2019徐汇二模2019青浦二模25.（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，D 是AB 的中点. 以CD 为直径的⊙Q 分别交BC 、BA 于点F 、E ，点E 位于点D 下方，联结EF 交CD 于点G ．（1）如图11，如果BC =2，求DE 的长； （2）如图12，设BC =x ，=GDy GQ，求y 关于x 的函数关系式及其定义域； （3）如图13，联结CE ，如果CG =CE ，求BC 的长．图11图13图122019闵行二模25．（本题共3小题，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分，满分14分）如图1，点P 为∠MAN 的部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ．（1）求证：∠BPD =∠MAN ； （2）如果sin MAN ∠，AB =BE = BD ，求BD 的长； （3）如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果 ∠MAN = 45°，且BE // QC ，求PQF CEFS S ∆∆的值．E M（图2）ANQFPCDBMN A B CD P（图1）E2019黄浦二模25.已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF=∠A．（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB=AD，在线段AB上截取AG=AE，联结GE．求证：GE=DF；（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB=3，AD=4，cos A=，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．。
2019年上海市宝山区、嘉定区中考二模数学试题及答案
2019学年嘉定九年级第二次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列说法中，正确的是（▲）（A ）23是分数； （B ）0是正整数； （C ）722是有理数；（D ）16是无理数. 2.抛物线2(1)4y x =-+与y 轴的交点坐标是（▲）（A ）（0，4）； （B ）（1，4）； （C ）（0，5）； （D ）（4，0）． 3.下列说法正确的是（▲）（A ）一组数据的平均数和中位数一定相等； （B ）一组数据的平均数和众数一定相等； （C ）一组数据的方差一定是正数；（D ）一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据.4.今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，年利率是%.254，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（▲）（A ）20003%)25.41(+元； （B ）20002+0003254⨯⨯%.元； （C ）20003254⨯⨯%.元； （D ）20003%)25.41(⨯+元． 5.如图1，已知向量a 、b 、c ，那么下列结论正确的是（▲）（A ）b c a =+； （B ）b c a =-； （C ）c b a -=+； （D ）c b a =+．6.已知⊙1O 的半径长为cm 2，⊙2O 的半径长为cm 4.将⊙1O 、⊙2O 放置在直线l 上（如图2），如果⊙1O 在直线l 上任意滚动，那么圆心距21O O 的长不可能是(▲) （A ）cm 1； （B ）cm 2； （C ）cm 6； （D ）cm 8.l图21O2Oa bc图1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.化简：21-= ▲ ．8. 计算：=23)(a ▲ ．9. 计算：=÷3166 ▲ （结果表示为幂的形式）． 10.不等式组⎩⎨⎧>+≤-04201x ,x 的解集是 ▲ ．11.在一个不透明的布袋中装有2个白球和8个红球，它们除了颜色不同之外，其余均相同.如果从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ▲ ．（将计算结果化成最简分数） 12.如果关于x 的方程1)1(2+=-a x a 无解，那么实数a = ▲ ．13.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）呈反比例，其函数关系式为xy 100=.如果近似眼镜镜片的焦距250.x =米，那么近视眼镜的度数y 为 ▲ ． 14.方程x x -=+6的根是 ▲ ．15.手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下： 拥有座机数（部） 0 1 2 3 4 相应户数10141871该街道拥有多部电话（指1部以上,不含1部）的家庭大约有 ▲ 户.16.如果梯形两底的长分别为3和7，那么联结该梯形两条对角线的中点所得的线段长为 ▲ ．17.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换：①),(y x f =（2+x ，y ）．如)1,1(f =)1,3(；②),(y x g =),(y x --，如)2,2(g =)2,2(--. 按照以上变换有：))1,1((f g =)1,3(g =)1,3(--，那么))4,3((-g f 等于 ▲ ． 18.如图3，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，︒=∠90A ，cm AB 5=，cm BC 13=.以点B 为旋转中心，将BC 逆时针旋转︒90至BE ，BE 交CD 于F 点.如果点E 恰好落在射线AD 上，那么DF 的长为 ▲ cm .三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）ACB D E图3FABC DE FMN图6计算：︒+︒︒-︒+-60sin 45tan 30sin 30cos 42730）（.20.（本题满分10分）解方程：12221=++-x x .21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图4，在ABC ΔRt 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，且CA CD BC ⋅=2. （1）求证：CBD A ∠=∠；（2）当α=∠A ，2=BC 时，求AD 的长（用含α的锐角三角比表示）.22.（本题满分10分，每个小题各5分）某游泳池内现存水)(m 18903，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍.假设在换水时需要经历“排水——清洗——灌水”的过程，其中游泳池 内剩余的水量y （3m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的 函数关系如图5所示.根据图像解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y （3m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的函数关系式，写出函数的定义域.23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，点E 是正方形ABCD 边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点F 在CD 边的延长线上，且满足BE DF =.联结EF ，点M 、N 分别是EF 与AC 、AD 的交点.（1）求AFE ∠的度数；ACBD图4(h)tO1890521 图5)(m 3y（2）求证：FCACCM CE =.24．（本题满分12分，每小题满分4分） 已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221经过点)0,3(-A 、)23,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积.25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC .（1）如图8，求证：AB ∥OC ；（2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =；（3）过点C 作射线1AO 的垂线，垂足为E ，联结OE 交AC 于F .当5=AO ，11=B O 时，求AFCF的值.AC（O 1）BOP AOPAB CO 1OP 图7 O xy1- 1-11参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.C ；2.C ；3.D ；4.B ；5.C ；6.A.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.12-；8.6a ；9.326；10.12≤<-x ；11.54；12.1=a ；13.400=y ；14.2-=x ；15.2600；16.2；17.（5，4-）；18.1235（或写成12112）. 三、简答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=23121234331+-⨯+- ……………………6分=32132331+-+- …………1分=13231-=+--. …………2+1分20．解：方程两边同时乘以)x )x 2(2+-（，得 4)2(222-=-++x x x …1+1+1+1分整理，得 0232=--x x . ……2分解这个整式方程，得 21731+=x ，21732-=x . ……2+1分 （若记错了求根公式，但出现了17，即根的判别式计算正确，可得1分）经检验知，21731+=x ，21732-=x 都是原方程的根. ……1分 所以，原方程的根是 21731+=x ，21732-=x . 21.解：（1）∵CA CD BC ⋅=2，∴BCCACD BC =. ……1分 ∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠. ……1分 ∴△ACB ∽△BCD . ∴CBD A ∠=∠. ……1+1分 说明：若没有写出“∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠”，但只要写出了BCD ACB ∠=∠，可得1分.（2）∵CBD A ∠=∠，α=∠A ，∴α=∠CBD .……………………………1分 在Rt △ACB 中，90ACB ∠=︒，2=BC ，α=∠A . ∵BCACA =∠cot ， ∴ααcot 2cot =⋅=BC AC . …………………………………………2分 在Rt △BCD 中，︒=∠90BCD ，α=∠CBD ，2=BC ， ∵BCCDCBD =∠tan ， ∴ααtan 2tan =⋅=BC CD . …………………………………………2分 ∴ ααtan 2cot 2-=-=CD AC AD . ……………………………1分 本题解题方法较多，请参照评分.如写成 ααtan 2tan 2-=AD ；4cos 4tan 22--=ααAD ； 4cos 44sin 422---=ααAD ；ααtan 24sin 42--=AD 等等，均正确.22.解（1）由图像可知，该游泳池5个小时排水)(m 18903， ……1分所以该游泳池排水的速度是37851890=÷（/h m 3）. ……1分由题意得该游泳池灌水的速度是18921378=⨯（/h m 3），……1分由此得灌水)(m 18903需要的时间是101891890=÷（h ） ……1分 所以清洗该游泳池所用的时间是610521=--（h ） ……1分（2）设灌水过程中的y （3m ）与换水时间t （h ）之间的函数关系式是b kt y +=（0≠k ）. 将（11，0），（21,1890）代入b kt y ++=，得⎩⎨⎧=+=+.b k ,b k 189021011 解得⎩⎨⎧-==.b ,k 2079189 ……1+2分所以灌水过程中的y （3m ）与时间t （h ）之间的函数关系式是2079189-=t y （2111≤<t ）. ……1+1分备注：学生若将定义域写成2111≤≤t ，亦视为正确，此处不是问题的本质. 23.解：（1）在正方形ABCD 中， ︒=∠=∠=∠90BAD ADC B ，AD AB =.……1分 ∵BE DF =，︒=∠=∠90ADF B ，AD AB =，∴△ABE ≌△ADF .……1分 ∴AF AE =，DAF BAE ∠=∠. ……………1+1分 ∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠90BAD BAE EAD DAF EAD EAF . ……1分 ∵AF AE =，∴AEF AFE ∠=∠. ∴︒=︒⨯=∠=∠459021AEF AFE . ……………1分 (2) 方法1：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠45ACD . ……………1分∵︒=∠45AEF ，∴ACF AEF ∠=∠. ……………1分 又∵FMC AME ∠=∠， ……………1分 ∴△ABE ∽△ADF ， ……………2分 ∴FCACCM CE =. ……………1分 方法2：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠=∠45ACD ACB . …………1分 ∵△ABE ≌△ADF ，∴AFD AEB ∠=∠. ……………1分∵CAE CAE ACB AEB ∠+︒=∠+∠=∠45， C F MC F M A F E A FD ∠+︒=∠+∠=∠45， ∴CFM CAE ∠=∠. ……………2分又∵ACD ACB ∠=∠，△ACE ∽△FCM . ……………1分∴FCACCM CE =. ……………1分 其他方法，请参照评分.24．解：（1）将)0,3(-A 、)23,0(-C 代入c bx x y ++=221，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+--.23,032)3(2c c b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.c ,b 231 ………………2分 所以抛物线的表达式为23212-+=x x y . ………………1分 其顶点P 的坐标为（1-，2-）. ………………1分 （2）方法1：延长AP 交y 轴于G ，过 C 作AG CH ⊥，垂足是H . 设直线AP 的表达式为b kx y +=， 将),(A 03-、),(P 21--代入，得⎩⎨⎧-=+-=+-23b k b k ，解得⎩⎨⎧-=-=31b k . ∴3--=x y . 进而可得G （30-,）. ………1分 ∴OA OG =，︒=∠=∠45OAG G . 在Rt △CHG 中，42345sin =︒⋅==CG CH HG . ………1分 在Rt △AOG 中，2345cos =︒=OGAG ，∴429=-=HG AG AH . ∴31tan ==∠AH CH CAP .……1+1分 方法2：设a CH =，易得a CG 2=，a OG 22=，a AG 4=，a AH 3=， 31tan ==∠AH CH CAP . 方法3：联结OP ，利用两种不同的方式分别表示四边形APCO 的面积：49+=+=∆∆∆APC AOC APC APCO S S S S 四边形；415433=+=+=∆∆POC APO APCO S S S 四边形； ∴23=∆APC S ，然后求523=AC 、22=AP ， 利用面积求AC 边上的高552=h ，求1010sin =∠CAP ，进而求31tan =∠CAP .（3）设)2321,(2-+t t t Q ， …………1分由Q 在第四象限，得t t =，2321232122+--=-+t t t t . 联结OQ ，易得 AOQ QOC AOC QAC S S S S ∆∆∆∆-+=. ∵4923321=-⨯-⨯=∆AOC S ，t t S QOC 432321=⨯-⨯=∆， ………1分 492343232132122+--=-+⨯-⨯=∆t t t t S QOA …………1分 ∴t t t t t S QAC 4943)492343(434922+=+---+=∆. …………1分 25.解：（1）∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴AC O OAC 1∠=∠. ………1分 在⊙O 中，∵OC OA =，∴C OAC ∠=∠. …………1分 ∴C AC O ∠=∠1. ∴1AO ∥OC ，即AB ∥OC . …………1+1分 （2）方法1：联结OB . ………1分 ∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，AC 1OO ⊥， ………1分 由点1O 与点B 重合，易得AC OB ⊥. ………1分 ∵点O 是圆心，AC OB ⊥，∴CB AB = ………2分方法2：∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴1AO AO =，1CO CO = ………1+1分由点1O 与点B 重合，易得 AB AO =,CO CB = …………1分 ∵OC OA =，∴CB AB =. ∴ CB AB = ………1+1分 方法3：证平行四边形1AOCO 是菱形. (3) 过点O 作AB OH ⊥，垂足为H .∵AB OH ⊥，AB CE ⊥，∴OH ∥CE ，又∵AB ∥OC ，∴5==OC HE .……1分当点1O 在线段AB 上（如图），6111=+=+=B O AO B O AO AB ，又∵ AB OH ⊥，∴321==AB AH . ∴835=+=+=AH EH AE ……1分∵AB ∥OC , ∴85==AE OC AF CF ……1分当点1O 在线段AB 的延长线上，类似可求75==AE OC AF CF . …2分。
2019年上海宝山区中考数学二模试卷-(解析版)
2019年上海宝山区中考数学二模试卷-（解析版）一、选择题1. 下列说法中，正确的是( )A. 0是正整数B. 1是素数C. √22是分数 D. 227是有理数2. 关于x 的方程x 2−mx −2=0根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定3. 将直线y =2x 向下平移2个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是( )4. 下列说法正确的是( )A. 一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据B. 一组数据的平均数和中位数一定不相等C. 一组数据的众数可以有几个D. 一组数据的方差一定大于这组数据的标准差 5. 对角线互相平分且相等的四边形一定是( )A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6. 已知圆O 1的半径长为6cm ，圆O 2的半径长为4cm ，圆心距O 1O 2=3cm ，那么圆O 1与圆O 2的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切二、填空题7. √4=______．8. 一种细菌的半径是0.00000419米，用科学记数法把它表示为______米. 9. 因式分解：x 2−4x =______． 10. 不等式组{3x +6>0x−1≤0的解集为______．11. 在一个不透明的布袋中装有2个白球、8个红球和5个黄球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同.如果从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是______． 12. 方程√x +3=2的解是x =______．13. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)呈反比例，其函数关系式为y =120x.如果近似眼镜镜片的焦距x =0.3米，那么近视眼镜的度数y 为______． 14. 数据1、2、3、3、6的方差是______．15. 在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用a ⃗ 、b ⃗ 表示)．16. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 在对角线BD 上，DF ：DE =2：√5，EF ⊥BD ，那么tan∠ADB =______．17.如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为______度.18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，且∠BDC=90∘.如果△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D1，那么线段DD1的长为______．三、解答题19.先化简，再求值：2xx2−4+x+1x+2−32−x，其中x=2+√3．20.解方程组：{4x2−4xy+y2=1x+2y=321.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90∘，AC=AD．(1)如果∠BAC−∠BCA=10∘，求∠D的度数；(2)若AC=10，cot∠D=13，求梯形ABCD的面积．22.有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．(1)求该抛物线的表达式；(2)如果水面BC上升3米(即OA=3)至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．23.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点(不与B、C重合)，点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90∘，联结MN、AC，N与边AD交于点E．(1)求证；AM=AN；(2)如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AC⋅AE．24.在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在劣弧AB⌢上，OA=10，AC=12，AC//OB，联结AB．(1)如图1，求证：AB平分∠OAC；(2)点M在弦AC的延长线上，联结BM，如果△AMB是直角三角形，请你在如图2中画出点M的位置并求CM的长；(3)如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．1. D2. A3. B4. C5. B6. C7. 28. 4.19×10−69. x(x−4)10. −2<x≤111. 1312. 113. 40014. 2.815. 12(a⃗+b⃗ )16. 217. 12018. 422519. 解：原式=2x(x+2)(x−2)+(x+1)(x−2)(x+2)(x−2)+3(x+2)(x+2)(x−2)=2x+x2−x−2+3x+6(x+2)(x−2)=x2+4x+4(x+2)(x−2)=(x +2)2(x +2)(x −2)=x+2x−2，当x =2+√3时， 原式=2+√3+22+√3−2=4+√3√3=4√3+33． 20. 解：{4x 2−4xy +y 2=1 ②x+2y=3 ①由②得(2x −y)2=1，所以2x −y =1③，2x −y =−1④ 由①③、①④联立，得方程组： {2x −y =1x+2y=3，{2x −y =−1x+2y=3解方程组{2x −y =1x+2y=3得，{y =1x=1解方程组{2x −y =−1x+2y=3得，{x =15y =75．所以原方程组的解为：{y 1=1x 1=1，{x 2=15y 2=7521. 解：(1)在△ABC 中，∠B =90∘，则∠BAC +∠BCA =90∘， 又∠BAC −∠BCA =10∘， ∴∠BCA =40∘， ∵AD//BC ，∴∠CAD =∠BCA =40∘， 又∵AC =AD ，∴∠D =∠ACD =12×(180∘−40∘)=70∘； (2)作CH ⊥AD ，垂足为H ，在Rt △CDH 中，cot∠D =13，令DH =x ，CH =3x ， 则在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2， 即102=(10−x)2+(3x)2， 解得：x =2则CH =3x =6，BC =AH =10−x =8，∴梯形ABCD 的面积=12(BC +AD)×CH =12×(10+8)×6=54，22. 解：(1)设抛物线解析式为：y =ax 2+c ，由题意可得图象经过(5,0)，(0,4)， 则{25a +4=0c=4，解得：a =−425，故抛物线解析为：y =−425x 2+4；(2)由题意可得：y =3时，3=−425x 2+4 解得：x =±52， 故EF =5，答：水面宽度EF 的长为5m ．23. 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =AD ，∠BAD =90∘，又∠MAN =90∘， ∴∠BAM =∠DAN ， 在△BAM 和△DAN 中， {∠B =∠ADN =90∘AB =AD ∠BAM =∠DAN， ∴△BAM≌△DAN ， ∴AM =AN ；(2)四边形ABCD 是正方形， ∴∠CAD =45∘，∵∠CAD =2∠NAD ，∠BAM =∠DAN ， ∴∠MAC =45∘，∴∠MAC =∠EAN ，又∠ACM =∠ANE =45∘， ∴△AMC∽△AEN ， ∴AM AE=AC AN，∴AN ⋅AM =AC ⋅AE ，∴AM 2=AC ⋅AE ．24. 解：(1)把A(−4,0)代入直线y =x +m 中得：−4+m =0， m =4，∴y =x +4，把B(n,3)代入y =x +4中得：n +4=3，n =−1，(2)把A(−4,0)和点B(−1,3)代入y =x 2+bx +c 中得：{1−b +c =316−4b+c=0，解得：{c =8b=6， ∴y =x 2+6x +8=(x +3)2−1， ∴P(−3,−1)，易得直线PB 的解析式为：y =2x +5， 当y =0时，x =−52， ∴G(−52,0)，过B作BM⊥x轴于M，过G作GH⊥AB于H，由勾股定理得：BG=√BQ2+GQ2=√32+(52−1)2=3√52，S△ABG=12AG⋅BM=12AB⋅GH，1 2×(4−52)×3=12×3√2GH，∴GH=3√24，Rt△GHB中，sin∠ABP=GHBG =3√243√52=√1010；(3)设Q(x,x+4)，∵∠BOD=∠AQO，∠OBD=∠QBO，∴△BDO∽△BOQ，∴BDBO =BOBQ，∴BO2=BD⋅BQ，∴12+32=√12+12⋅√(x+1)2+(x+4−3)2，10=√2⋅√2(x+1)，x=4，∴Q(4,8)．25. 解：(1)∵OA、OB是⊙O的半径，∴AO=BO，∴∠OAB=∠B，∵OB//AC，∴∠B=∠CAB，∴∠OAB=∠CAB，∴AB平分∠OAC；(2)由题意知，∠BAM不是直角，所以△AMB是直角三角形只有以下两种情况：∠AMB=90∘和∠ABM=90∘，①当∠AMB=90∘，点M的位置如图1，过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH经过圆心，AC=12，∴AH=HC=12AC=6，在Rt△AHO中，∵OA=10，∴OH=√OA2−AH2=8，∵AC//OB，∠AMB=90∘，∴∠OBM=180∘−∠AMB=90∘，∴∠OHC=∠AMB=∠OBM=90∘，∴四边形OBMH是矩形，∴BM=OH=8、OB=HM=10，∴CM=HM−HC=4；②当∠ABM=90∘，点M的位置如图2，由①可知，AB=√AM2+BM2=8√5、cos∠CAB=AMAB =8√5=2√55，在Rt△ABM中，cos∠CAB=ABAM =2√55，∴AM=20，则CM=AM−AC=8，综上所述，CM的长为4或8；(3)如图3，过点O作OG⊥AB于点G，由(1)知sin∠OAG=sin∠CAB，由(2)可得sin∠CAB=√55，∵OA=10，∴OG=2√5，∵AC//OB，∴BEAE =OBAD，又AE=8√5−BE、AD=12−x、OB=10，∴8√5−BE =1012−x，∴BE=80√522−x，∴y=12×BE×OG=12×80√522−x×2√5=40022−x(0≤x<12)．【解析】1. 解：A.0不是正整数，故本选项错误；B.1是正整数，故本选项错误；C.√22是无理数，故本选项错误；D.227是有理数，正确；故选：D．根据实数的分类，即可解答．本题考查了实数，解决本题的关键是掌握实数的分类．2. 解：△=(−m)2−4×1×(−2)=m2+8，∵m2≥0，∴m2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．先计算△=(−m)2−4×1×(−2)=m2+8，由于m2为非负数，则m2+8>0，即△>0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义即可判断方程根的情况．此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5. 解：对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形，故选：B．根据矩形的判定解答即可．此题考查矩形的判定，关键是根据对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形解答．6. 解：因为6−4=2，6+4=10，圆心距为3cm，所以，2<d<8，根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，所以两圆相交．故选：C．求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系.根据两圆的位置关系得到其数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d>R+r；外切，则d=R+r；相交，则R−r<d<R+r；内切，则d=R−r；内含，则d<R−r．考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间求解．19. 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21. (1)在△ABC中，∠B=90∘，∠BAC−∠BCA=10∘，可求∠BCA，由AD//BC得∠CAD=∠BCA，由AC=AD可求∠D；(2)作CH⊥AD，垂足为H，在Rt△CDH中，cot∠D=13，令DH=x，CH=3x，AC=10，AH=10−x，利用勾股定理求x，可得CH=3x=6，BC=AH=10−x=8，用梯形面积公式计算．本题考查了梯形中角的计算、面积的计算问题，体现了梯形问题转化为三角形问题解决的思想．23. (1)根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAM≌△DAN，根据全等三角形的性质证明；(2)证明△AMC∽△AEN，根据相似三角形的性质证明．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24. (1)分别将A、B两点的坐标代入直线y=x+m中可得：m、n的值；(2)先利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式，求点P的坐标，作辅助线构建直角△GHB，根据三角函数的定义可得结论；(3)设Q(x,x+4)，证明△BDO∽△BOQ，列比例式BDBO =BOBQ，可得方程，解方程可得结论．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的应用，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想和方程思想的运用是解题的关键．。
2019年上海市虹口区中考数学二模试卷含答案解析+【精选五套中考模拟卷】
2019年上海市虹口区中考数学二模试卷含答案解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1.（4分）下列实数中，有理数是（）A. B.:免 C.Jt D.02.（4分）如果关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A.k<lB.k<l且kNOC.k>lD.k>l且kNO.3.（4分）如果将抛物线y=x，向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A.y=x2+lB.y=x2-1C.y=（x+1）2D.y=（x-1）2.4.（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图.如果乘车的频率是0.4,那么步行的频率为（）人散0乘车步行情车方式A.0.4B.0. 36C.0. 3D.0. 245.（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在AAOB（OA<OB）边0A、0B上分别截取0D、0E,使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于§4）E为半径作弧，两弧交于AAOB内的一点C；（3）作射线0C交AB边于点P.那么小明所求作的线段0P是AAOB的（）■BA.一条中线B.一条高C.一条角平分线D,不确定6.（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE如果AB=6,BC=4,那么分别以AD、BE为直径的（DM与（DN的位置关系是（）\DB-------CA.外离B.外切C.相交D.内切二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.（4分）a64-a2=.8.（4分）某病毒的直径是0.000068毫米，这个数据用科学记数法表示为毫米.—X〉19.（4分）不等式组・的解集是2x<410.（4分）方程J_x+2=乂的解为.11.（4分）已知反比例函数产旦生，如果当x>0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为.x12.（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1,-2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是.13.（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是.14.（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是株.植树株数（株）567小组个数34315.（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是2如，那么这个正六边形的边长为.16.（4分）如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,如果云=总痴=总那么用向量二房示向量云是.217.（4分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=10,sinA=—,CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半5径作。
上海2019二模25题合集
D P
E
A
B
第 25 题图
C
D E
A
B
第 25 题备用图
第 2页（共 70页）
3. （奉贤）（本题满分 14 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 5 分，第(3) 小题满分 5 分）
如图 10，已知△ABC，AB= 2 ，BC = 3 ，∠B=45°，点 D 在边 BC 上，联结 AD， 以 点 A 为圆心，AD 为半径画圆，与边 AC 交于点 E，点 F 在圆 A 上，且 AF⊥AD． （1）设 BD 为 x，点 D、F 之间的距离为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定 义域； （C） （2）如果 E 是弧 DF 的中点，求 BD : CD 的值；（C） （3）联结 CF，如果四边形 ADCF 是梯形，求 BD 的长 ．（D）
A
D
G EF
B
P
Q
C
第 25 题图
第 13页（共 70页）
14. （青浦）（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3） 小题 5 分）
已知：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，D 是 AB 的中点. 以 CD 为直径的⊙Q 分别交 BC、BA 于点 F、E，点 E 位于点 D 下方，联结 EF 交 CD 于点 G． （1）如图 11，如果 BC=2，求 DE 的长； （B+）
（1）当 P 是优弧 AB 的中点时（如图），求弦 AP 的长； （2）当点 N 与点 B 重合时，试判断：以圆 O 为圆心， 3 为半径的圆与直线 AP 的位置关系，
2 并说明理由； （3）当 BNO BON ，且圆 N 与圆 O 相切时，求圆 N 半径的长．
2019年最新上海市各区九年级中考二模数学试卷精选汇编：函数综合运用及其他
九年级中考二模数学试卷精选汇编 函数综合运用专题宝山区、嘉定区22、有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC 的宽为10米，拱桥的最高点D 到水面BC 的距离DO 为4米，点O 是BC 的中点，如图5，以点O 为原点，直线BC 为x 轴，建立直角坐标系xOy .（1）求该抛物线的表达式；（2）如果水面BC 上升3米（即3=OA ）至水面EF ，点E 在点F 的左侧， 求水面宽度EF 的长.22.解：（1）根据题意：该抛物线的表达式为：b ax y +=2………………1分 ∵该抛物线最高点D 在y 轴上，4=DO ，∴点D 的坐标为)4,0(………1分 ∵10=BC ,点O 是BC 的中点 ∴点B 的坐标为)0,5(- ∴254-=a ，4=b …2分 ∴抛物线的表达式为：42542+-=x y …………………1分（2）根据题意可知点E 、点F 在抛物线42542+-=x y 上，EF ∥BC ……1分 ∵3=OA ∴点E 、点F 的横坐标都是3，…1分 ∴点E 坐标为)3,25(-……………1分 ， 点F 坐标为)3,25(……1分 ∴5=EF （米）……………1分 答水面宽度EF 的长为5米.长宁区22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x=70或者x=250（舍去） （2分） 答：门票价格应该定为70元. （1分）第22题图崇明区22．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：（1）选用表格中给出的数据，求y 关于x 的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？ 22．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：设(0)y kx b k =+≠ ………………………………………………1分把0x =，32y =；35x =，95y =代入，得323595b k b =⎧⎨+=⎩……………1分解得9532k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ……………………………………………………………………2分∴y 关于x 的函数解析式为9325y x =+ ……………………………………1分 （2）由题意得：932565x x +=+ ………………………………………………4分 解得30x = …………………………………………………1分 ∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56奉贤区22.（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件．甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费． （1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x 份，支付甲印刷厂的费用为y 元，写出y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？22、（1）0.27100(0)y x x =+>； （2）乙；黄浦区22．（本题满分10分）今年1月25日，上海地区下了一场大雪.这天早上王大爷去买菜，他先去了超市，发现蔬菜普遍涨价了，青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表.王大爷觉得超市的菜不够新鲜，所以他又去了菜市场，他花了30元买了一些新鲜菠菜，他跟卖菜阿姨说：“你今天的菠菜比昨天涨了5元/斤。
2019上海中考数学卷25题思路解析精品教育.doc
2019上海中考数学卷25题思路解析如图，在⊙O 中AB 是直径，AB=2，点C ，点D 是圆上的两点，连结BD ，AC 交于E ，OD ⊥AC 垂足为F.（1）如图11，若AC=DB ，求弦AC 的长.（2）如图12，E 是DB 的中点，求∠ABD 的余切.（3）连结CB ，DC ，DA 若CB 是⊙O 内接正n 边形的一边，DC 是是⊙O 内接正（n+4）边形的一边，求三角形ADC 的面积.（1）∵AC=DB ，∴弧ADC=弧BCD ，∴弧AD=弧BC ，则∠A=∠B ；又∵∠AOD=2∠B∴∠AOD=2∠A ，则∠AOD+∠A=3∠A ；又∵OD ⊥AC∴∠AFO=900，∴∠AOD+∠A=900，∴3∠A=900，∠A=300；在Rt △AFO 中，AO=1，AF=AO ×cos ∠A=1×cos300=23； 又∵OD ⊥AC∴AC=2 AF =3（2）连结CB ，OE ，∵AB 为直径，∴3∠C=900，又∵∠DFE=900；易证得△BCE ≌△DFE ，∴BC=DF ；又∵是△ABC 的中位线，∴BC=2OF ，则DO=3OF ，又∵DO=1∴OF=31，DF=32 由垂径定理推论，OE ⊥BD∴在Rt △DEO 中，易证得Rt △DFE ∽Rt △EFO ，∴EF 2=OF ×DF=92，则EF=32； 又∵∠ABD=∠D ，cot ∠ABD=cot ∠D=EF DF =2 （3）为了方便研究问题，我们省略线段BD ，标注了α，β，21α 在Rt △AFO 中，21α+∠AOF=900；∠AOF=1800-α-β∴β+21α=900连结OC ，根据⊙O 内接正n 边形的中心角公式，α=n 0360 ，β=43600+n ； ∴4360+n +21·n 360=90解得，n=4 ，n=-2（舍去）；此时得α=900 ，β=450 ，∴∠AOF=450 ，为解题方便最好重新画图如下，用割补法，S △ADC = S 四AOCD -S △AOC易证得△AOD ≌△COD ，∴S 四AOCD =2S △ODC ，S △ODC =21OD ·FC ，而FC=OC ·sin450=22，∴S △ODC =21·1·22=42，则S 四AOCD =2S △ODC 22∵S △AOC =21·1·1=2112∴S△ADC = S四AOCD-S△AOC=2。
2019年上海市静安区中考数学二模试卷（解析版）
2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷（解析版）2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有⼀个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列⼆次根式中，与是同类⼆次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣13．（4分）函数y＝﹣（x＞0）的图象位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）如图，在同⼀平⾯内，将边长相等的正⽅形、正五边形的⼀边重合，那么∠1的⼤⼩是（）A．8°B．15°C．18°D．28°5．（4分）⼩明和⼩丽暑期参加⼯⼚社会实践活动，师傅将他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品个数，下列说法中正确的是（）A．⼩明的平均数⼩于⼩丽的平均数B．两⼈的中位数相同C．两⼈的众数相同D．⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差6．（4分）下列说法中正确的是（）A．对⾓线相等的四边形是矩形B．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正⽅形D．正多边形都是中⼼对称图形⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：a2?a4＝．8．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是．9．（4分）⽅程：＝3的解为．10．（4分）如果关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．11．（4分）某商店三⽉份的利润是25000元，要使五⽉份的利润达到36000元，假设每⽉的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是．12．（4分）已知正⽐例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增⼤⽽．（填“增⼤”或“减⼩”）13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．14．（4分）为了解某校九年级男⽣1000⽶跑步的⽔平情况，从中随机抽取部分男⽣进⾏测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所⽰的不完整的统计图，那么扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为度．15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重⼼，则＝．16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，那么⊙C的半径是．17．（4分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知＝，＝，那么向量＝．（⽤向量，表⽰）．18．（4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，那么点P的坐标是．三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：4﹣+（﹣1）2++|1﹣|．20．（10分）解⽅程组：21．（10分）⼀个⽔库的⽔位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5⼩时内6个时间点的⽔位⾼度，其中x表⽰时间，y 表⽰⽔位⾼度．（1）通过观察数据，请写出⽔位⾼度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当⽔位⾼度达到8⽶时，⽔库报警系统会⾃动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．22．（10分）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF?BC，求∠BAF的度数．23．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBF；（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．24．（12分）在平⾯直⾓坐标系xOy中（如图7），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，与x轴的另⼀个交点为A，顶点为P（﹣3，4）．（1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ．设点B的纵坐标为m，⽤含m的代数式表⽰∠BPQ的正切值；（3）联结AP，在（2）的条件下，射线PB平分∠APQ，求点B到直线AP的距离．25．（14分）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P 交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆⼼半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷参考答案与试题解析⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有⼀个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列⼆次根式中，与是同类⼆次根式的是（）A．B．C．D．【分析】各项化简后，利⽤同类⼆次根式定义判断即可．【解答】解：与是同类⼆次根式的是，故选：C．【点评】此题考查了同类⼆次根式，熟练掌握同类⼆次根式的定义是解本题的关键．2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣1【分析】利⽤平⽅差公式计算即可求出值，【解答】解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，故选：A．【点评】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．3．（4分）函数y＝﹣（x＞0）的图象位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反⽐例函数中y＝，当k＜0，双曲线的两⽀分别位于第⼆、第四象限，在每⼀象限内y随x的增⼤⽽增⼤，进⽽得出答案．【解答】解：函数y＝﹣（x＞0）的图象位于第四象限．故选：D．【点评】此题主要考查了反⽐例函数的性质，正确记忆反⽐例函数图象分布的象限是解题关键．4．（4分）如图，在同⼀平⾯内，将边长相等的正⽅形、正五边形的⼀边重合，那么∠1的⼤⼩是（）A．8°B．15°C．18°D．28°【分析】∠1的度数是正五边形的内⾓与正⽅形的内⾓的度数的差，根据多边形的内⾓和定理求得⾓的度数即可得出结果．【解答】解：∵正五边形的内⾓的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，⼜∵正⽅形的内⾓是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．【点评】本题考查了多边形的内⾓和定理、正⽅形的性质，求得正五边形的内⾓的度数是关键．5．（4分）⼩明和⼩丽暑期参加⼯⼚社会实践活动，师傅将他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品个数，下列说法中正确的是（）A．⼩明的平均数⼩于⼩丽的平均数B．两⼈的中位数相同C．两⼈的众数相同D．⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差【分析】根据众数、中位数、⽅差和平均数的计算公式分别进⾏解答即可得出答案．【解答】解：A、⼩明的平均数为（2+6+7+7+8）÷5＝6，⼩丽的平均数为（2+3+4+8+8）÷5＝5，故本选项错误；B、⼩明的中位数为7，⼩丽的中位数为4，故本选项错误；C、⼩明的众数为7，⼩丽的众数为8，故本选项错误；D、⼩明的⽅差为4.4，⼩丽的⽅差为6.4，⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差，故原题说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了众数、中位数、⽅差和平均数，熟练掌握定义和公式是解题的关键；⼀组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将⼀组数据按照从⼩到⼤（或从⼤到⼩）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；⼀般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则⽅差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了⼀组数据的波动⼤⼩，⽅差越⼤，波动性越⼤，反之也成⽴．6．（4分）下列说法中正确的是（）A．对⾓线相等的四边形是矩形B．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正⽅形D．正多边形都是中⼼对称图形【分析】根据矩形的判定⽅法对A进⾏判断；根据正⽅形的判定⽅法对B进⾏判断；根据矩形的性质、三⾓形中位线定理以及菱形的判定⽅法对C进⾏判断；根据中⼼对称图形的定义对D进⾏判断．【解答】解：A对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，所以A选项错误；B、对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形，所以B选项正确；C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；D、边数为偶数的正多边形都是中⼼对称图形，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断⼀件事情的语句，叫做命题．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，⼀个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是⽤推理证实的，这样的真命题叫做定理．⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：a2?a4＝a6．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进⾏运算即可．【解答】解：a2?a4＝a2+4＝a6．故答案为：a6．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．8．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是x＞0．【分析】根据⼆次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，解得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】本题考查⼆次根式，解题的关键是熟练运⽤⼆次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．9．（4分）⽅程：＝3的解为10．【分析】将⽆理⽅程两边平⽅，转化为⼀元⼀次⽅程来解．【解答】解：两边平⽅得：x﹣1＝9，移项得：x＝10．故本题答案为：10．【点评】本题由于两边平⽅，可能产⽣增根，所以解答以后要验根．10．（4分）如果关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞4．【分析】关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的⼆次⽅程x2﹣4x+m＝0⽆实数根，由此可解．【解答】关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的⼆次⽅程x2﹣4x+m＝0⽆实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，∴m＞4．故答案为：m＞4．【点评】本题考查⼆次三项式的因式分解问题，可转化为对应的⼆次⽅程的实数根的情况，属于⽐较简单的问题．11．（4分）某商店三⽉份的利润是25000元，要使五⽉份的利润达到36000元，假设每⽉的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是20%．【分析】设每⽉的利润增长率为x，根据该商店三⽉份及五⽉份的利润，可得出关于x的⼀元⼆次⽅程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每⽉的利润增长率为x，依题意，得：25000（1+x）＝36000，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤，找准等量关系，正确列出⼀元⼆次⽅程是解题的关键．12．（4分）已知正⽐例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增⼤⽽减⼩．（填“增⼤”或“减⼩”）【分析】直接根据正⽐例函数的性质解答．【解答】解：因为正⽐例函数y＝﹣2x中的k＝﹣2＜0，所以y的值随x的值增⼤⽽减⼩．故答案是：减⼩．【点评】本题考查了正⽐例函数的性质：正⽐例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第⼀、三象限，y值随x的增⼤⽽增⼤；当k＜0时，图象经过第⼆、四象限，y值随x的增⼤⽽减⼩．13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．【分析】利⽤列举法展⽰所有4种等可能的结果数，再确定取得的3个数中不含2的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等可能的结果数，所以取得的3个数中不含2的概率＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利⽤列表法或树状图法展⽰所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数⽬m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．14．（4分）为了解某校九年级男⽣1000⽶跑步的⽔平情况，从中随机抽取部分男⽣进⾏测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所⽰的不完整的统计图，那么扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为72度．【分析】根据A等次的⼈数和所占的百分⽐求出总⼈数，再⽤C等次的⼈数除以总⼈数求出所占的百分⽐，然后乘以360°即可得出答案．【解答】解：扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为：360°×＝72°，故答案为：72．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运⽤．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重⼼，则＝．【分析】设△ABC边AB上的⾼为h，根据三⾓形的重⼼到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得△ABG边AB上的⾼线为h，再根据三⾓形的⾯积公式计算即可得解．【解答】解：设△ABC边AB上的⾼为h，∵G是△ABC的重⼼，∴△ABG边AB上的⾼为h，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三⾓形的重⼼，熟记三⾓形的重⼼到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，那么⊙C的半径是．【分析】根据等腰直⾓三⾓形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，∵以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，∴CD⊥AB，∴CD＝，即⊙C的半径是故答案为：．【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据等腰直⾓三⾓形的性质和直线与圆的位置关系解答．17．（4分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知＝，＝，那么向量＝+．（⽤向量，表⽰）．【分析】如图，延长FG交CD的延长线于H．⾸先证明CM＝EC，求出即可解决问题．【解答】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB∥CH，∴＝＝1，∴AF＝DH，设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，∵EF∥CH，∴＝＝，∴CM＝CE，∵＝+＝+，∴＝＝+，故答案为+．【点评】本题考查平⾯向量，平⾏四边形的性质，平⾏线分线段成⽐例定理等知识，解题的关键是学会添加常⽤辅助线，灵活运⽤平⾏线分线段成⽐例定理解决问题，属于中考常考题型．18．（4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，那么点P的坐标是（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．【分析】先求出OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，tan∠BAO＝，得出∠BAO＝60°，AB＝2OA＝4，分∠PQB＝120°或∠PQB＝60°两种情况，（1）当∠PQB＝120°时，⼜分两种情况：①延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，QN⊥BM，由折叠得出BM＝MP＝4，求出BN＝NM＝BM＝2，由勾股定理得出NP＝＝2，ON＝OM+NM＝4，即可得出P点的坐标；②QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，即可得出P点的坐标；（2）当∠PQB＝60°时，Q点与A点重合，AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝2，即可得出P点的坐标；综上情况即可P点的坐标．【解答】解：∵A（2，0），B（0，6），M（0，2），∴OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝4，∵直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，∴∠PQB＝120°或∠PQB＝60°，（1）当∠PQB＝120°时，分两种情况：①如图1所⽰：延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，∴∠QNB＝90°，即QN⊥BM，由折叠得：BM＝MP＝4，∠BQM＝∠PQM，∵∠PQB＝120°，∴∠BQM＝∠PQM＝120°，∴∠BQN＝∠MQN＝60°，∵QN⊥BM，∴BN＝NM＝BM＝2，在Rt△PNM中，NP＝＝＝2，ON＝OM+NM＝4，∴P点的坐标为：（2，4）；②如图2所⽰：QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（0，﹣2）；（2）当∠PQB＝60°时，如图3所⽰：Q点与A点重合，由折叠得：AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（﹣2，0）；综上所述：P点的坐标为：（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了翻折变换的性质、直⾓三⾓形的性质、勾股定理、三⾓函数、坐标等知识，熟练掌握翻折变换的性质、直⾓三⾓形的性质，并进⾏分类讨论是关键．三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：4﹣+（﹣1）2++|1﹣|．【分析】将原式每⼀项分别化简为+（2+1﹣2）+（﹣）+﹣1，再进⾏计算即可．【解答】解：原式＝+（2+1﹣2）+（﹣）+﹣1＝+3﹣2+﹣+﹣1＝+﹣2．【点评】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每⼀项准确化简是正确计算的关键．20．（10分）解⽅程组：【分析】先将⼆次⽅程化为两个⼀次⽅程，则原⽅程组化为两个⼆元⼀次⽅程组，解⽅程组即可．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+5y）＝0原⽅程组可化为：或解得：，．∴原⽅程组的解为，．【点评】本题考查了解⾼次⽅程组，将⾼次⽅程化为⼀次⽅程是解题的关键．21．（10分）⼀个⽔库的⽔位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5⼩时内6个时间点的⽔位⾼度，其中x表⽰时间，y表⽰⽔位⾼度．（1）通过观察数据，请写出⽔位⾼度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当⽔位⾼度达到8⽶时，⽔库报警系统会⾃动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；（2）将y＝8代⼊（1）中的函数解析式，求出x的值，再⽤x的值减去5即可解答本题．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，，得，即y与x之间的函数解析式为y＝0.3x+3；（2）把y＝8，代⼊y＝0.3x+3，得8＝0.3x+3，解得，x＝，＝，答：再过⼩时后系统会发出警报．【点评】本题考查⼀次函数的应⽤，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼀次函数的性质解答．22．（10分）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF?BC，求∠BAF的度数．【分析】（1）通过证明△AME≌△CMF得到ME＝MF．则可判断四边形AECF为平⾏四边形，然后利⽤对⾓线互相垂直得到结论；（2）利⽤CD2＝BF?BC和AB＝CD得到＝，根据相似三⾓形的判定⽅法得到△ABF∽△CBA，所以∠2＝∠3，⽽根据菱形的性质得∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，从⽽可求出∠1的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平⾏四边形，⼜∵EF⊥AC，∴平⾏四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF?BC，∴＝，⼜∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴＝⼜∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．【点评】本题考查了相似三⾓形的判定与性质：在判定两个三⾓形相似时，应注意利⽤图形中已有的公共⾓、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作⽤，寻找相似三⾓形的⼀般⽅法是通过作平⾏线构造相似三⾓形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．23．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBF；（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．【分析】（1）由等腰三⾓形的性质得出∠ABC＝∠C，由垂径定理得出AD⊥BC，BD＝CD，证出DE是△ABC的中位线．得出DE∥AC，证出∠BFC＝90°，由⾓的互余关系即可得出结论；（2）连接OB．证出△ODB是等腰直⾓三⾓形，得出∠BOD＝45°．再由等腰三⾓形的性质得出∠OBA＝∠OAB．即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所⽰：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵直线AD经过圆⼼O，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵点E为弦AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC，∵BF⊥DE，∴∠BPD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，。
2019年最新上海市中考二模数学试卷含答案解析
初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=； （D ）6321)(a a-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ）（A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC=BD ，下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB=CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC⊥BD 且AO=OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．第14题图ABCDE F第15题图16．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠C=90°，BC=CD=4，52=AD ，若a AD =，=，用a 、b 表示= ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP//AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+② 12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点D 在BA 的延长线上，BC=24，135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD=6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图．ADB第21题图第16题图DCBA第18题图AB CD（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB//CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG=GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．第22题图AC DEFGB 第23题图备用图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD. 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8． （1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC=x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．第二学期初三数学参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）O AC BO BA C DBAO1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++；18．215-． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB=AC ∴BC BE 21= ∵BC=24 ∴ BE=12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE=5，BE=12，AB=13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x=70或者x=250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG=GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A（0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ，∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA=OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OH PH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB=8， ∴OD⊥AB，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO=5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB，垂足为点H ，则由（1）可得AH=4，OH=3 ∵AC=x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO=5，∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分） ∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分） （3）①当OB//AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD,垂足为点F ，则OF=AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO=5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA//BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO=5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分） 综上得6514或=AD。
2019年上海市黄浦区中考数学二模试卷-解析版
2019年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 下列自然数中，素数是( )A. 1B. 2C. 4D. 92. 下列运算正确的是( ) A. (a 2)3=a 5B. a 2⋅a 3=a 5C. (2a)2=4aD. a 6÷a 3=a 2 3. 反比例函数y =m x 的图象在第二、四象限内，则点(m,−1)在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 为了了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指( )A. 400B. 被抽取的50名学生C. 400名学生D. 被抽取的50名学生的体重5. 下列等式成立的是( )A. −(−a ⃗ )=a ⃗B. a⃗ +(−a ⃗ )=0 C. a ⃗ −b ⃗ =b ⃗ −a ⃗D. 0⃗ −a ⃗ =a ⃗ 6. 半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. √4=______．8. 因式分解：a 2−9=______．9. 方程√x +1=3的根是x =______．10. 直线y =2x −3的截距是______．11. 不等式组{2x >5,x −3<0的解集是______． 12. 若关于x 的方程x 2−(2m −1)x +m 2=0没有实数根，则m 的取值范围是______．13. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是______．14. 秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表(如表所示)，图表中c =______．分数段频数 频率 60≤x <706 a 70≤x <8020 0.4 80≤x <9015 b 90≤x ≤100 c 0.1815. 16. 如图，点O 是△ABC 的重心，过点O 作DE//AB ，分别交AC 、BC 于点D 、E ，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，那么DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(结果用a⃗ 表示)．17.如图，函数y=12x(x>0)的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果点B 的横坐标为3，则点C的坐标为______．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=35，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么BDB1C=______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.解分式方程：x+2x−2−16x2−4=1x+2．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：√3tan60°−cos30°−(27)13+|1−√3|−(√2019)0．21.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的外部，AB=AC=4，BC=4√3，求⊙O的半径．22.A、B两地相距30千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地出发前往B地，途中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路．图中的线段OM和折线OCDE 分别反映了甲、乙两人所行的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：(1)甲骑自行车的速度是______千米/分钟；(2)两人第二次相遇时距离A地______千米；(3)线段DE反映了乙修好车后所行的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系．请求出线段DE的表达式及其定义域．23.如图，已知四边形ABCD，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，DO=BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE=∠ACB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求证：DEEF =ADCD．24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0)，直线y=2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE//x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．(1)求抛物线的表达式；(2)当BC=CE时，求证：△BCE∽△ABO；(3)当∠CBA=∠BOC时，求点C的坐标．25.已知四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF=∠A．(1)如图1，当点E在线段AD上时，若AB=AD，在线段AB上截取AG=AE，联结GE.求证：GE=DF；(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB=3，AD=4，cosA=1，设AE=x，3 DF=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；(3)记BE与CD交于点M，在(2)的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：素数是2，故选：B．根据素数的概念判断即可．此题考查有理数，关键是根据素数的概念解答．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、(a2)3=a6，错误；B、a2⋅a3=a5，正确；C、(2a)2=4a2，错误；D、a6÷a3=a3，错误；故选：B．3.【答案】C的图象在第二、四象限内，【解析】解：∵反比例函数y=mx∴m<0，∴点(m,−1)的横纵坐标都为负，∴点M在第三象限，故选：C．根据反比例函数的性质，结合反比例函数图象所在象限，求出m的取值范围，再由点的坐标特点，确定点所在象限．本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特征，关键是根据反比例函数图象的位置确定m的取值范围．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体.解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．【解答】解：样本是被抽取50名学生的体重，故选D．5.【答案】A【解析】解：(B)原式=0⃗，故B错误；(C)a⃗−b⃗ ≠b⃗ −a⃗，故C错误；(D)原式=−a⃗，故D错误；故选：A．根据平面向量的线性运算法则即可求出答案．本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型．6.【答案】C【解析】【分析】本题利用两圆相交时，圆心距与两圆半径之间的数量关系进行判断．根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．【解答】解：∵5−1=4，1+5=6，∴相交时，4<圆心距<6，∴只有C中5满足．故选：C．7.【答案】2【解析】解：∵22=4，∴√4=2．故答案为：2如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．8.【答案】(a+3)(a−3)【解析】【分析】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 2−9可以写成a2−32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2−9=(a+3)(a−3)．a9.【答案】8【解析】解：方程两边平方得：x+1=9，解得：x=8，经检验：x=8是方程的解．故答案是：8．把方程两边平方去根号后求解．本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10.【答案】−3【解析】解：∵在一次函数y=2x−3中，b=−3，∴一次函数y=2x−3在y轴上的截距b=−3．故答案是：−3．由一次函数y=kx+b在y轴上的截距是b，可求解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的关系式．11.【答案】52<x<3【解析】解：{2x>5 ①x−3<0 ②，解①得x>52，解②得x<3，所以不等式组的解集为52<x<3．故答案为52<x<3．分别解两个不等式得到x>52和x<3，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12.【答案】m>14【解析】解：根据题意△=(2m−1)2−4m2<0，整理得−4m+1<0，解得m>14．故答案为m>14．根据根的判别式的意义得到△=(2m−1)2−4m2<0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．13.【答案】12【解析】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4，6，故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是：36=12．故答案为：12．共有6种等可能的结果数，其中点数是2的倍数有2、4和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是2的倍数的概率．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14.【答案】9【解析】解：200.4=50，c=50−6−20−15=9，故答案为：9根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得c的值．本题考查频数分布表，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．15.【答案】40【解析】解：正九边形的中心角等于：3609=40°．故答案是：40．利用360度除以边数9，即可求解．本题考查了正多边形的计算，理解正多边形的中心角相等是关键．16.【答案】13a.【解析】解：如图，连接CO并延长交AB于点M，∵点O是△ABC的重心，∴M是AB的中点，∵DE//AB，∴△CDO∽△CAM，∴DOAM =COCM=23，∴DO=23AM=23×12a=13a.故答案为：13a.连接CO并延长交AB于点M，因为点O是△ABC的重心，可得M是AB的中点，由DE//AB，可得△CDO∽△CAM，即DOAM =COCM=23，即可得出DO的长．本题考查三角形重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握三角形重心的概念和性质．17.【答案】(6,2)【解析】解：把x=3代入y=12x(x>0)中，得y=4，∴B(3,4)，∵C点是AB的中点，A点在x轴上，∴C点的纵坐标为：4÷2=2，把y=2代入y=12x(x>0)中，得x=6，∴C(6,2)．把B点的横坐标代入反比例函数的解析式求得B点的纵坐标，再根据C点是AB的中点求得C点的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式中求得其横坐标便可．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，关键是由B点纵坐标求出C点的纵坐标．18.【答案】35【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB1∽△DEB 是本题的关键．设AC=3x，AB=5x，可求BC=4x，由旋转的性质可得CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，由题意可证△CEB1∽△DEB，可得BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，即可求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，sinB=ACAB =35，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC=√AB2−AC2=4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=12A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC−CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，故答案为：35．19.【答案】解：去分母得：(x+2)2−16=x−2，整理得：x2+3x−10=0，即(x−2)(x+5)=0，解得：x=2或x=−5，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=−5．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20.【答案】解：原式=√3√3−√323+√3−1−1=2−3+√3−2=−3+√3．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：如图，连接AO ，交BC 于点D ，连接BO∵AB =AC ，∴AB⏜=AC ⏜ 又AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD =CD∵BC =4√3，∴BD =2√3∴在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，∴BD 2+AD 2=AB 2又∵AB =4，∴AD =2设半径为r.在Rt △BDO 中，∵BD 2+DO 2=BO 2∴(2√3)2+(r −2)2=r 2∴r =4∴⊙O 的半径为4．【解析】连接AO ，交BC 于点D ，连接BO ，由垂径可求AO ⊥BC ，BD =CD ，即可求BD =2√3，由勾股定理可求AD 的长，圆的半径．本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长是本题的关键．22.【答案】解：(1)14；(2)20；(3)设线段DE 的表达式为y =kx +b(k ≠0)，∵线段DE 经过点D(50,10)和(80,20)，∴{50k +b =1080k +b =20， 解得，{k =13b =−203， ∴y =13x −203，当y =30时，x =110，∴y =13x −203(50≤x ≤110)．【解析】解：(1)由图可得，甲骑自行车的速度是：30÷120=14千米/分钟，故答案为：14；(2)两人第二次相遇时距离A地：14×80=20千米，故答案为：20；(3)见答案．【分析】(1)根据函数图象中的数据可以求得甲骑自行车的速度；(2)根据(1)中的答案和函数图象中的数据可以求得两人第二次相遇时距离A地的距离；(3)根据(2)中的答案和一次函数的性质可以求得线段DE的表达式及其定义域．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】解：(1)证明∵AD//BC，∴ADBC =DOBO，∵DO=BO，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AC，∴∠ACD+∠DCE=90°，∵∠DCE=∠ACB，∴∠ACB+∠ACD=90°，即∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ADC=90°，∵AD//BC，∴DEBD =EFFC，∴DEAC=EFFC∴DEEF =ACFC，∵∠ADC=∠ACF=90°，∴cot∠DAC=ACFC =ADCD，∴DEEF =ADCD．【解析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠BCD=90°，即可求解；(2)由AD//BC，得：DEBD =EFFC，cot∠DAC=ACFC=ADCD，即可求解．本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大．24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0)，∴对称轴为x=1，∵直线y=2x经过抛物线的顶点B，∴B(1,2)，设y=a(x−1)2+2，∵抛物线经过原点O(0,0)，∴a=−2，∴y=−2x2+4x．(2)∵BC=CE，∴∠BEF=∠CBE，∵CE//x轴，∴∠BEF=∠BOA，∵B(1,2)，A(2,0)，∴OB=AB=√5，∴∠BOA=∠BAO，∴∠CBE=∠BEF=∠BOA=∠BAO，∴△BCE∽△ABO；(3)记CE与y轴交于点M，过点B作BN⊥CE，垂足为点N．设C(m,−2m2+4m)．∵∠BEF=∠BOC+∠ECO，∠BFE=∠CBA+∠BCE，又∠CBA=∠BOC，∠BEF=∠BFE，∴∠ECO=∠BCE，∴tan∠ECO=tan∠BCE．∵CE//x轴，x轴⊥y轴，∴∠OMC=∠BNC=90°，∴OMCM =BNCN，∴−2m2+4mm =2+2m2−4mm−1，∴m1=1(舍)，m2=32，∴C(32,32 )．【解析】(1)先根据题意得出抛物线的顶点坐标，设其顶点式，再将原点代入计算可得；(2)由BC=CE知∠BEF=∠CBE，再由CE//x轴知∠BEF=∠BOA，根据OB=AB=√5知∠BOA=∠BAO，从而得∠CBE=∠BEF=∠BOA=∠BAO，据此即可得证；(3)记CE与y轴交于点M，作BN⊥CE，设C(m,−2m2+4m).由∠BEF=∠BOC+∠ECO，∠BFE=∠CBA+∠BCE知∠ECO=∠BCE，据此得tan∠ECO=tan∠BCE.结合∠OMC=∠BNC=90°得OMCM =BNCN，据此得出关于m的方程，解之可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点．25.【答案】解：(1)∵AG=AE，∴∠AGE=180°−∠A2．∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°，∵∠ABC=2∠C，∴∠C=180°−∠A2，∴∠AGE=∠C，∵AD//BC，∴∠D+∠C=180°，又∠BGE+∠AGE=180°，∴∠BGE=∠D，∵∠BEF+∠FED=∠A+∠GBE，∵∠BEF=∠A，∴∠FED=∠GBE，又AB=AD，AG=AE，∴BG=ED，∴△GBE≌△DEF(ASA)，∴GE=DF；(2)在射线AB上截取AH=AE，联结EH，∵∠HBE=∠A+∠AEB，∠DEF=∠BEF+∠AEB，又∠BEF=∠A，∴∠HBE=∠DEF．∵AD//BC，∴∠EDC=∠C，∠A+∠ABC=180°．∵AH=AE，∴∠H=180°−∠A2，又∠ABC=2∠C，∴∠H=∠C，∴∠H=∠EDC，∴△BHE∽△EDF，∴BHED =EHDF．过点H作HP⊥AE，垂足为点P．∵cosA=13，AE=AH=x，∴AP=13x，PH=2√23x，PE=23x，∴EH=2√33x，∵AB=3，AD=4，AE=x，DF=y，∴x−3x−4=2√3x3y，∴y=2√3x2−8√3x3x−9(x>4)；(3)记EH与BC相交于点N．∵△EMF∽△ABE，∠BEF=∠A，∴∠AEB=∠EMF，或∠AEB=∠EFM，若∠AEB=∠EMF，又∠AEB<∠EMF，矛盾，∴此情况不存在，若∠AEB=∠EFM，∵△BHE∽△EDF，∴∠BEH=∠EFM，∴∠AEB=∠BEH，∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠BEH=∠EBC，∴BN=EN=BH=x−3，∵AD//BC，∴ABAH =ENEH，∴3x =2√3x3，∴x=2√3+3，∴线段AE的长为2√3+3．【解析】(1)根据全等三角形的判定和性质解答即可；(2)在射线AB上截取AH=AE，联结EH，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可；(3)记EH与BC相交于点N，分∠AEB=∠EMF或∠AEB=∠EFM两种情况进行解答即可．本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2019年上海各区初三二模数学试卷25题专题汇编(教师版)
2019年上海各区初三二模数学试卷25题专题汇编（教师版）题型一、等腰三角形的分类讨论思路点拨：出现概率较高题型，重点。
解决此类问题主要通过两个方面解决：1.一方面从边方面入手，将此三角形的三边用x y 或的表达式表示，根据腰相等建立方程求出线段长度（优点：方法简单，易理解；缺点：计算量偏大，易出错）；2.另一方面从角方面入手，利用等腰产生的底角相等转化出其他的角度关系或边长关系进而建立方程求出线段的长度（优点：计算量偏小，易计算，缺点：此方法对于孩子的分析能力要求较高，适合一部分程度较好的学生）。
25(2019崇明)、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=8，BC=12，cos C=53，点E 为AB 边上一点，且BE=2，点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且∠EFG=∠B ，设BF 的长为x ，CG 的长为y .（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长.题型二、动点产生的相似综合 思路点拨：1.首先寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线 段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）2.然后注意分类讨论，先找到对应相等的角，再决定分类讨论情况：3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）.25(2019黄浦)．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ⊙BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .求证：GE=DF ；（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1cos 3A =，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若⊙EMF 与⊙ABE 相似，求线段AE 的长.25.解：（1）∵AG AE =，∴1802AAGE ︒-∠∠=.∵AD ∥BC ，∴180A ABC ∠+∠=︒， ∵2ABC C ∠=∠，∴1802AC ︒-∠∠=，∴AGE C ∠=∠，---------------------------------（1分）∵AD ∥BC ，∴180D C ∠+∠=︒，又180BGE AGE ∠+∠=︒，∴BGE D ∠=∠.----------（1分） ∵BEF FED A GBE ∠+∠=∠+∠，∵BEF A ∠=∠，∴FED GBE ∠=∠ .--------------（1分） 又AB=AD ，AG=AE ，∴BG=ED ，∴GBE ∆≌DEF ∆，∴GE=DF . --------------------------（1分） （2）在射线AB 上截取AH=AE ，联结EH . ------------------------------------------------------------（1分）∵HBE A AEB ∠=∠+∠，DEF BEF AEB ∠=∠+∠，又BEF A ∠=∠，∴HBE DEF ∠=∠. ∵AD ∥BC ，∴EDC C ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒.∵AH=AE ，∴1802AH ︒-∠∠=， 又2ABC C ∠=∠，∴H C ∠=∠，∴H EDC ∠=∠，∴BHE ∆∽EDF ∆.-------------------（1分） ∴BH EH ED DF =.过点H 作HP ⊥AE ，垂足为点P .∵1cos 3A =，AE AH x ==， ∴13AP x =，223PH x =，23PE x =，∴233EH x =.-------------------------------------（1分） ∵AB =3，AD =4，AE x =，DF y =，∴23334xx x y -=-，∴()22383439x x y x x -=>-.（2分） （3）记EH 与BC 相交于点N .∵EMF ∆∽ABE ∆，BEF A ∠=∠，∴AEB EMF ∠=∠，或AEB EFM ∠=∠.-------------（1分） 若AEB EMF ∠=∠，又AEB EMF ∠<∠，矛盾，∴此情况不存在. -----------------------------（1分）若AEB EFM ∠=∠，∵BHE ∆∽EDF ∆，∴BEH EFM ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠.------（1分） ∵AD ∥BC ，∴AEB EBC ∠=∠，∴BEH EBC ∠=∠，∴3BN EN BH x ===-,D A BCEF 图9ABCE F G D图8∵AD ∥BC ，∴AB ENAH EH=，∴3x =，∴3x =.----------------------------------（2分） ∴线段AE的长为3.25(2019金山)、如图，在Rt △ABC 中，∠CC=90°，AC=16cm ，AB=20cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒1cm 速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒34cm 速度在边BC 上运动，若点D 、点E 从点C 同时出发，运动t 秒（t > 0），联结DE. （1）求证：△DCE ∽△BCA ； （2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P. ① 当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值；② 在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当△PFM 与△CDE 相似时，求t 的值.25（2019长宁）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长.题型三、动点产生的面积问题思路点拨：首先考虑底乘以高。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编综合计算专题20190128186
综合计算宝山区、嘉定区21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，AD AC =. （1）如果BAC ∠︒=∠-10BCA ，求D ∠的度数； （2）若10=AC ，31cot =∠D ，求梯形ABCD 的面积.21.解：（1）∵AD ∥BC∴CAD BCA ∠=∠ …………………1分 ∵BAC ∠︒=∠-10BCA∴BAC ∠︒=∠-10CAD …………………1分 ∵︒=∠90BAD∴BAC ∠︒=∠+90CAD∴︒=∠40CAD …………………1分 ∵AD AC =∴D ACD ∠=∠ …………………1分 ∵︒=∠+∠+∠180CAD D ACD∴︒=∠70D …………………1分(2) 过点C 作AD CH ⊥,垂足为点H ，在Rt △CHD 中，31cot =∠D ∴31cot ==∠CH HD D …………………………1分 设x HD =,则x CH 3=，∵AD AC =,10=AC ∴x AH -=10 在Rt △CHA 中，222AC CHAH =+ ∴22210)3()10(=+-x x∴2=x ，0=x （舍去）∴2=HD …………1分 ∴6=HC ，8=AH ，10=AD ………………1分 ∵︒=∠=∠90CHD BAD ∴AB ∥CH图4DCB A图4DCBAH∵AD ∥BC ∴四边形ABCH 是平行四边形 ∴8==AH BC ………1分 ∴梯形ABCD 的面积546)810(21)(21=⨯+=⨯+=CH BC AD S ………1分 长宁区21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC（1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）崇明区ACDB第21题图21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点， 过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ． （1）如图1，当PD AB ∥时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长．21．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：联结OD∵直径12AB = ∴6OB OD == ……………………………………1分∵PD OP ⊥ ∴90DPO =︒∠∵PD AB ∥ ∴180DPO POB +=︒∠∠ ∴90POB =︒∠ ……1分 又∵30ABC =︒∠，6OB =∴30OP OB tan =︒=g………………………………………………1分 ∵在Rt POD △中，222PO PD OD += ……………………………1分∴2226PD +=∴PD =……………………………………………………………1分 （2）过点O 作OH BC ⊥，垂足为H ∵OH BC ⊥（第21题图1）ABOPCD （第21题图2）OABDPC∴90OHB OHP ==︒∠∠ ∵30ABC =︒∠，6OB =∴132OH OB ==，30BH OB cos =︒=g ……………………2分 ∵在⊙O 中，OH BC ⊥∴CH BH ==……………………………………………………1分 ∵BP 平分OPD ∠ ∴1452BPO DPO ==︒∠∠ ∴453PH OH cot =︒=g……………………………………………1分∴3PC CH PH =-=- ………………………………………1分奉贤区21.（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图6，在△ABC 中，AB =13，AC=8，135cos =∠BAC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． (1) 求EAD ∠的余切值； (2) 求BFCF的值． 21、（1）56； （2）58； 黄浦区21．（本题满分10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.图6ABCD EF（1）求△ABC的面积；（2）求CE∶DE.21. 解：（1）由AB=AC=6，AH⊥BC，得BC=2BH.—————————————————————————（2分）在△ABH中，AB=6，cosB=23，∠AHB=90°，得BH=2643⨯=，AH226425-=2分）则BC=8，所以△ABC面积=1258852⨯=——————————————（1分）（2）过D作BC的平行线交AH于点F，———————————————（1分）由AD∶DB=1∶2，得AD∶AB=1∶3，则31CE CH BH ABDE DF DF AD====. ——————————————（4分）金山区21．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：AF=BE；（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．AB CDFE图521．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠ AFD=∠EBA=90°，………………………（2分）∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2分）在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF=∴cot∠CDF=cot∠DAF=AFDF==．………………………………（2分）静安区21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．（1）求证：DC=EC；（2）求△EAF的面积．第21题图21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵正方形ABCD ，∴DC=BC=BA=AD , ∠BAD =∠ADC =∠DCB =∠CBA =90°AH=DH=CH=BH , AC ⊥BD ,∴∠ADH =∠HDC =∠DCH =∠DAE = 45°． …………（2分） 又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE =∠EDH∵∠DAE +∠ADE =∠DEC , ∠EDH +∠HDC =∠EDC …………（1分） ∴∠EDC =∠DEC …………（1分） ∴DC =EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD ，∴AD ∥BC , ∴△AFE ∽△CBE ∴2)(ECAE S S CEB AEF =∆∆ ………………………………（1分） ∵AB=BC=DC=EC =1，AC =2,∴AE =12- …………………………（1分）Rt △BHC 中， BH =22BC =22, ∴在△BEC 中，BH ⊥EC , 4222121=⨯⨯=∆BEC S ……………………（2分） ∴2)12(42-=∆AEF S , ∴4423)223(42-=-⨯=∆AEF S …………（1分） 闵行区21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC = 90o，1tan 2ABC ∠=．（1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得ABC ABM S S ∆∆=2求点M 的坐标．第21题图（第21题图）21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分） ∴22222425AB OA OB =+=+=．………………………………（1分） ∵90BAC ∠=o ，1tan 2ABC ∠=，∴5AC =． 过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ∆∆∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）11255522ABC S AB AC ∆=⋅=⨯⨯=．………………………………（1分） ∵2ABM ABC S S ∆∆=，∴52ABM S ∆=．……………………………………（1分） ∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分） ∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分）普陀区21．（本题满分10分）如图7，在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，45DAB ∠=o ，3tan 4B =. （1）求DE 的长；（2）求CDA ∠的余弦值．ABCDE 图721．解：（1）∵DE ⊥AB ，∴︒=∠90DEA又∵45DAB ∠=o ，∴AE DE =． ················· （1分） 在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ，43tan =B ，∴43=BE DE ． ······· （1分）设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=．∵7AB =，∴743=+x x ，解得1=x ． ··············· （2分） ∴3=DE ． ·························· （1分） （2） 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得23=AD ． ··········· （1分）同理得5=BD ． ························· （1分） 在Rt △ABC 中，由43tan =B ，可得54cos =B ．∴528=BC ． ···· （1分） ∴53=CD ． ·························· （1分）∴102cos ==∠AD CD CDA ． ··················· （1分）即CDA ∠青浦区21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ．（1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.21．解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ． ················ （1分）∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴DH = DC =x ， ························ （1分） 则AD =3-x ．∵∠C =90°，AC=3，BC =4，∴AB =5. ·············· （1分）ED A图5∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ，························ （1分） ∴43=x . ·························· （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=V ABD S AB DH . ·············· （1分）∵BD=2DE ， ∴2==V V ABD ADE S BD S DE， ···················· （3分） ∴1015323=⨯=V ADE S . ···················· （1分） 松江区21.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC 中，∠B =45°，1tan 2C =， BC =6.（1）求△ABC 面积；（2）AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于 点E. 求DE 的长．21.（本题满分10分, 每小题各5分） 解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H …………1分 在Rt ABC ∆中，∠B =45°设AH =x ,则BH =x ………………………………1分 在Rt AHC ∆中，1tan 2AH C HC == ∴HC=2x ………………………………………………………1分(第21题图)DAC∵BC =6∴x+2x =6 得x =2∴AH =2…………………………………………………………1分 ∴162ABC S BC AH ∆=⋅⋅=……………………………………1分 (2)由（1）得AH =2，CH =4在Rt AHC ∆中，AC ==2分∵DE 垂直平分AC∴12CD AC = ED ⊥AC …………………………………………………1分在Rt EDC ∆中，1tan 2ED C CD ==……………………………1分∴DE =………………………………………………1分 徐汇区21. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D .（1）求tan DAB ∠；（2）若⊙O 过A 、D 两点，且点O 在边AB 上，用尺规作图的方法确定点O 的位置并求出的⊙O 半径.（保留作图轨迹，不写作法）杨浦区21、（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知，如图5，在梯形ABCD中，DC//AB, AD=BC, BD平分∠ABC，∠A=600求：（1）求∠CDB的度数（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。
2019上海市金山数学二模
2019上海市金山数学二模一、（金山区）选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列实数中，是有理数的是（）A. πB. √8C. √32D. 372.不等式组{x−1<0−x>3的解集是（）A. x>−3B. x<−3C. x>1D. x<13.用换元法解方程：xx−1−x−1x-2=0时，如果设xx−1=y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（）A. y−1y −2=0 B. y−2y−1=0 C. y2−2y−1=0D. y2−y−2=04.数据2、1、0、-2、0、-1的中位数与众数分别是（）A. 0和0B. −1和0C. 0和1D. 0和25.下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6.已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2=3，那么O2A的长等于（）A. 2B. 3C. 8D. 2或8二、（金山区）填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：a2÷a-2=______．8.因式分解：a3+2a=______．9.方程√3x−2=2的解是______．10.化简：√a3b24（b≥0）的结果是______．11.已知反比例函数y=k−1x的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是______．12.已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根是x=1，那么这个方程的另一个根是______．13.从方程x2=0，√x−1=-1，x2-2x+4=0中，任选一个方程，选出的这个方程无实数解的概率为______．14.100克鱼肉中蛋白质的含量如图表，每100克草鱼、鲤鱼、花鲢鱼鱼肉的平均蛋白质含量为16.8克，那么100克鲤鱼肉的蛋白质含量是______克．15.在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是______（只要写出一个即可）．16.如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，BEBC =23，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，那么BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______（用a⃗、b⃗ 表示）．17.如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是______米（保留根号）．18.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：（√3）0+812+√2（√2−1）+（√3+√2）-1．20.解方程：1x−2−2xx2−4=1．21.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，sin∠ABC=35．求：（1）BC的长．（2）tan E的值．22.某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元；方式二：如图所示．设购买门票x张，总费用为y万元，方式一中：总费用=广告赞助费+门票费．（1）求方式一中y与x的函数关系式．（2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且乙单位购买超过100张，两单位共花费27.2万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？23.（金山区）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．24.（金山区）已知：抛物线y=-x2+bx+c，经过点A（-1，-2），B（0，1）．（1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标．（2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′．①求∠P′BB′的大小．②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于6√3时，求点N的坐标．25.（金山区）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB=20cm，动点D由点Ccm速度在边向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒43 BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE．（1）求证：△DCE∽△BCA．（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P．①当⊙P与边AB相切时，求t的值．②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），联结CP并延长CP交边AB于点M，当△PFM与△CDE相似时，求t的值．金山区答案和解析1.【答案】D【解析】解：有理数是整数和分数的集合，故选：D．根据有理数的定义即可求出答案．本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的定义，本题属于基础题型．2.【答案】B【解析】解：解不等式-x＞3，得：x＜-3，解不等式x-1＜0，得：x＜1，则不等式组的解集为x＜-3．故选：B．求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：设=y，那么将原方程可化为：，去分得，y2-1-2y=0，整理得y2-2y-1=0故选：C．依题意，设=y，那么将原方程可化为：，去分母得，y2-1-2y=0，对比选项即可得出答案此题主要考查换元法解一元二次方程．主要针对有相似的整体项，可以利用换元法进行求解，再求出最终的答案．4.【答案】A【解析】解：在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是0；将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的数是0，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是0；故选：A．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据．此题主要考查了众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5.【答案】A【解析】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．故选：A．根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．6.【答案】D【解析】解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切于点A，∴O2A=r，O1A=5，∴r-5=3或5-r=3，∴r=8或r=2，即O2A的长等于2或8．故选：D．设⊙O2的半径为r，利用两圆相切的性质得O2A=r，O1A=5，再根据内切的判定方法得到r-5=3或5-r=3，然后计算出确定r的值．本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．7.【答案】a4【解析】解：a2÷a-2=a2-（-2）=a4，故答案为：a4．根据同底数幂的除法法则计算，得到答案．本题考查的是同底数幂的除法、负整数指数幂，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．8.【答案】a（a2+2）【解析】解：a3+2a=a（a2+2），故答案为a（a2+2）．运用提公因式法分解因式即可，提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式．本题考查了因式分解，正确提取公因式是解题的关键．9.【答案】x=2【解析】解：∵=2，∴3x-2=4，∴x=2，当x=2时，左边=，右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是：x=2．故答案为：x=2．首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少，最后验根，求出方程=2的解是多少即可．此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．10.【答案】ab√a2【解析】解：=，故答案为：．依据二次根式的性质化简即可．本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知识是解题的关键．11.【答案】k＜1【解析】解：由题意可得k-1＜0，则k＜1．故答案为：k＜1．根据k＜0时，图象是位于二、四象限即可得出结果．此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．12.【答案】-2【解析】解：设关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α，∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，∴α+1=-1，∴α=-2．故答案为-2．首先设关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+1=-1，继而求得答案．此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．13.【答案】23【解析】解：∵=-1，x2-2x+4=0无实数解，∴无实数解的概率为，故答案为：．根据算术平方根具有非负性可得=-1，再计算x2-2x+4=0的△＜0，因此也无实数解，再利用概率可得答案．此题主要考查了概率公式和一元二次方程的解法，关键是掌握算术平方根具有非负性，掌握判断一元二次方程解的方法．14.【答案】17.2【解析】解：∵每100克草鱼、鲤鱼、花鲢鱼鱼肉的平均蛋白质含量为16.8克，∴设100克鲤鱼肉的蛋白质含量是x克，由题意可得：（17.9+15.3+x）=16.8，解得：x=17.2．故答案为：17.2．直接利用频数分布直方图结合平均数求法得出答案．此题主要考查了频数分布直方图，由直方图获取正确信息是解题关键．15.【答案】∠A=60°【解析】解：在△ABC中，AB=AC，再添加∠A=60°可得△ABC是等边三角形，故答案为：∠A=60°．根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得答案．此题主要考查了等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．a⃗−b⃗16.【答案】32【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AC=BC，∵BE：BC=2：3，∴BE：AD=2：3，∴AD=BE，∵=，∴=，∵=+，∴=-，故答案为-．利用平行四边形的性质求出，再根据=+求解即可．本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】（500√3+500）【解析】解：作CD⊥AB于点D．∴∠BDC=90°，∵∠DBC=45°，∴BD=CD，∵∠DAC=30°，∴tan30°====，解得CD=BD=500+500（米）．答：飞机再向前飞行（500+500）米与地面控制点C的距离最近．故答案为：（500+500）．易得CD=BD，那么利用30°的正切值即可求得BD长，即为飞机再向前飞行多少米与地面控制点C的距离最近．此题主要考查了解直角三角形的应用，用到的知识点为：点到直线的最短距离为这点到这条直线的垂线段的长度；借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是俯角问题常用的方法．18.【答案】2√5-2【解析】解：∵正多边形的对称轴共有10条，∴这个正多边形是正十边形，设这个正十边形的中心为O，则OA=OB=4，∠AOB==36°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=72°，作AC平分∠OAB交OB于C，则∠OAC=∠O，∠ACB=∠B，∴OC=CA=AB，△ABC∽△OAB，∴=，即AB2=4×（4-AB），解得，AB1=2-2，AB2=-2-2（舍去），∴AB=2-2，故答案为：2-2．根据轴对称图形的性质得到这个正多边形是正十边形，求出正十边形的中心角，作AC平分∠OAB交OB于C，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是轴对称图形、正多边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握正多边形的计算公式是解题的关键．19.【答案】解：原式=1+2√2+2-√2+√3+√2=1+2√2+2-√2+√3−√2=3+√3；【解析】分别化简零指数幂、分数指数幂、负指数幂，然后相加即可．本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、分数指数幂、负指数幂是解题的关键．20.【答案】解：去分母，得x+2-2x=x2-4，整理，得x2+x-6=0，∴（x+3）（x-2）=0，∴x+3=0或x-2=0，∴x=-3或x=2，检验：x=2时，分母x-2=0，因此x=2是原分式方程的增根，x=-3时，左边=1=右边所以原方程的解为x=-3．【解析】先去分母，化成整式方程，然后求出整式方程的解，最后检验得出结论．本题考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程求解是解题的关键．21.【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是边AB的中点；∴CD=12AB，∵CD=5，∴AB=10，∵sin∠ABC=ACAB =3 5，∴AC=6∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8；（2）作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHC=∠EHB=90°∵D是边AB的中点，∴BD=CD=12AB，∠DCB=∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠EHC=∠ACB，∴△EHC∽△ACB，∴EH AC =CHBC=ECAB由BC=8，CE=CB得CE=8，∠CBE=∠CEB，∴EH 6=CH 8=810解得EH =245，CH =325，BH =8-325=85 ∴tan ∠CBE =EHBH =3，即tan E =3．【解析】（1）先由直角三角形的中线定理求出CD 的长度，然后根据勾股定理求出长度； （2）作EH ⊥BC ，垂足为H ，所以∠EHC=∠EHB=90°，由D 是边AB 的中点，可得BD=CD=AB ，∠DCB=∠ABC ，∠EHC=∠ACB ，得到△EHC ∽△ACB ，然后根据相似比求出EH=，CH=，BH=8-=，因此tan ∠CBE==3，即tanE=3．本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．22.【答案】解：（1）方案一：单位赞助广告费10万元，该单位所购门票的价格为每张0.02万元，则y =10+0.02x ；（2）方案二：当x ＞100时，设解析式为y =kx +b ．将（100，10），（200，16）代入，得{200k +b =16100k+b=10，解得{b =4k=0.06，所以y =0.06x +4．设乙单位购买了a 张门票，则甲单位购买了（400-a ）张门票，根据题意得0.06a +4+[10+0.02（400-a ）]=27.2，解得，a =130，∴400-a =270，答：甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张．【解析】（1）方案一中，总费用=广告赞助费10+门票单价0.02×票的张数；（2）方案二中，当x ＞100时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；设乙单位购买了a 张门票，则甲单位购买了（400-a ）张门票，进而根据（（1）得甲单位的总费用，再根据两单位共花费27.2万元，列出方程解答便可．本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，及一元一次方程解决实际问题的运用，在解答的过程中求出一次函数的解析式y=0.06x+4．是解答的关键，根据自变量不同的取值，对总门票费分情况进行探讨是解决本题的易错点．23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠BAD =2∠DAC ，∠ABC =2∠DBC ，∴∠BAD +∠ABC =180°，∵∠CAD =∠DBC ，∴∠BAD =∠ABC ，∴2∠BAD =180°，∴∠BAD =90°，∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，AC =BD ，CO =12AC ，DO =12BO ，∴∠COB =∠DOC =90°，CO =DO ，∵DH ⊥CE ，垂足为H ，∴∠DHE =90°，∠EDH +∠DEH =90°，∵∠ECO +∠DEH =90°，∴∠ECO =∠EDH ，在△ECO 和△FDO 中，{∠ECO =∠EDHCO =DO ∠COE =∠DHE =90°，∴△ECO ≌△FDO （ASA ），∴OE =OF ．【解析】（1）由菱形的性质得出AD ∥BC ，∠BAD=2∠DAC ，∠ABC=2∠DBC ，得出∠BAD+∠ABC=180°，证出∠BAD=∠ABC ，求出∠BAD=90°，即可得出结论； （2）由正方形的性质得出AC ⊥BD ，AC=BD ，CO=AC ，DO=BO ，得出∠COB=∠DOC=90°，CO=DO ，证出∠ECO=∠EDH ，证明△ECO ≌△FDO （ASA ）， 即可得出结论．本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．24.（金山区）【答案】解：（1）把点A 、B 坐标代入抛物线表达式得：{1=c −2=−1−b+c ，解得：{c =1b=2，则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，故顶点P的坐标为（1，2）；（2）①设抛物线平移后为y=-（x-1+m）2+2，代入点B′（0，-1）得：-1=-（m-1）2+2，解得：m=1±√3（舍去负值），则y=-（x+√3）2+2，则顶点P′（-√3，2），连结P′B、P′B′，作P′H⊥y轴交于点H，则：P′H=√3，HB=1，BP′=√3+1=2，∵tan∠P′BH=P′H=√3，BH∴∠P′BH=60°，∴∠P′BB′=180°-60°=120°，②∵BB′=2，P′B=2，即BB′=P′B，∴∠BP′B′=∠P′B′B=30°；∵线段P′B′围绕B′旋转120°，点P′落在M处，∴∠OB′M=90°，B′M=B′P′，∴MB′∥x轴，MB′=B′P′=2√3，×B′M•h=6√3，解得：h=6，设：△MNB′在MB′边上的高为h，则S△MNB′=12设：N（a，-7）或（a，5）分别代入y=-x2+2x+1得：-7=-a2+2a+1，解得：a=4或-2；5=-a2+2a+1，△=b2-4ac＜0，故方程无实数根，故：a=4或-2，即点N（4，-7）或（-2，-7）．【解析】（1）把点A、B坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①设抛物线平移后为y=-（x-1+m）2+2，代入点B′（0，-1），求出P′（-，2），则P′H=，HB=1，BP′==2，即可求解；②BB′=2，P′B=2，即BB′=P′B，则∠BP′B′=∠P′B′B=30°，则点P′落在M处，此时MB′∥x轴，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图象平移等，其中（2）②，通过求解∠P′BB′=60°，得到点P′落在M 处且MB′∥x 轴，是本题的关键．25.（金山区）【答案】（1）证明：由题意得：CD =t ，CE =43t ， 由勾股定理得，BC =√AB 2−AC 2=12， CD CB =t 12，CE AC =43t 16=t 12， ∴CD CB =CE AC ，又∠C =∠C ，∴△DCE ∽△BCA ；（2）①连结CP 并延长CP 交AB 于点H ，∵∠ACB =90°，∴DE 是⊙P 的直径，即P 为DE 中点，∴CP =DP =PE =12DE ，∴∠PCE =∠PEC ，∵△DCE ∽△BCA ，∴∠CDE =∠B ，∵∠CDE +∠CED =90°，∴∠B +∠HCB =90°，即CH ⊥AB ，∵⊙P 与边AB 相切，∴点H 为切点，CH 为⊙P 的直径，∵sin A =CH CA =CB AB ，∴CH 16=1220，解得，CH =485，∴DE =485，sin A =sin ∠CED =CD DE =CB AB ，即CD 485=1220， 解得，CD =14425，∴t =14425；②由题意得，0＜43t ≤12，即0＜t ≤9，∵CD =t ，CE =43t ，∴DE =√CD 2+CE 2=53t ，由①得，CM =485，CP =12DE =56t ，CM ⊥AB ，∴PM =485-56t ，PF =CP =56t ，∠PMF =90°，当△FMP ∽△DCE 时，PF DE =PM CE ，即56t 53t =485−56t 43t ， 解得，t =325；当△PMF ∽△DCE 时，PF DE =PM CD ，即56t 53t =485−56t t ，解得，t =365； ∴综上所述：当△PFM 与△CDE 相似时．t =325或t =365．【解析】（1）根据题意用t 表示出CD 、CE ，根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似证明；（2）①连结CP 并延长CP 交AB 于点H ，根据切线的性质、正弦的定义求出CH 、DE ，再根据正弦的定义求出CD ，根据题意求出t ；②分△FMP ∽△DCE 和△PMF ∽△DCE 两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、切线的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编(8套,Word版,含答案)
所以 或 ，————————————（2分）
解得： 或 ，
所以点P的坐标为（5,8）， .————————————————（1分）
金山区
24．（本题满分12分，每小题4分）
平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线 经过点A（1,0）和B（3,0），
（2）当CB平分∠DCO时，求 的值．
黄浦区
24．（本题满分12分）
已知抛物线 经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴
右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相
似，求点P的坐标.
24.解：（1）由题意得： ，———————————————————（2分）
奉贤区
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知平面直角坐标系 （如图8），抛物线 与 轴交于点A、B（点A在点B左侧），与 轴交于点C，顶点为D，对称轴
为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE=∠BCE；
24.解：（1）∵直线 的经过点
∴ ……………………1分
∴ ………………………………1分
∵直线 的经过点
∴ ……………………1分
∴ …………………………………………1分
（2）由可知点 的坐标为
∵抛物线 经过点 、
∴
∴ ，
∴抛物线 的表达式为 …………………1分
∴抛物线 的顶点坐标为 ……………1分
【区级联考】上海市虹口区2019届九年级中考数学二模试卷(解析版)
2019年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.计算(a3)2的结果是( )A. a5B. a6C. a8D. a9【答案】B【解析】试题分析：（a3）2=a6，故选B．考点：幂的乘方与积的乘方．=的解为（ ）2.3A. x＝4B. x＝7C. x＝8D. x＝10．【答案】D【解析】【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程x﹣1＝9，解方程并检验即可解题.【详解】将方程两边平方得x﹣1＝9解得：x＝10经检验：x＝10是原无理方程的解故选：D．【点睛】本题考查了无理方程及一元一次方程的解法，解本题的关键是注意解出方程之后一定要进行检验，确保式子有意义.3.已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）A. a＜3B. a＞3C. a＜﹣3D. a＞﹣3．【答案】A【解析】【分析】根据题意一次函数y随自变量x的增大而增大，即可得出3﹣a＞0，从而求得a的取值范围.【详解】∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大∴3﹣a＞0解得a＜3故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像增减性问题，解决此类问题只要牢固掌握一次函数k>0，函数图像递增，k<0函数图像递减，反过来亦适用.4.下列事件中，必然事件是（ ）A. 体育中考中，小明考了满分B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C. 抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1D. 四边形的外角和为180度．【答案】C【解析】【分析】必然事件：，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件随机事件：可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，【详解】A、在体育中考中，小明考了满分是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C、抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；D、四边形的外角和为180度是不可能事件，故选：C．【点睛】本题考查了必然事件和随机事件的定义，解决本类题目的关键是掌握一定会发生的，和一定不会发生的都是必然事件.5.正六边形的半径与边心距之比为（ ）A. 1B. 1C. 2D. 2在【答案】D【解析】【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r，∴R：r＝12，故选：D．【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】已知等腰三角形ABC中tan B＝2，根据题意可求得△ABC中过顶点A的高AF的长度，进而求得AB的长度，以及得到；因为AF和CD均为中线，故交点为重心，通过重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可求出CD，所以要满足B点在⊙D内，即满足r大于BD长度；要满足点C在⊙D外即r小于CD长度.【详解】如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF ＝CF ＝2，∵tan B ＝2，∴2AFBF=，即AF ＝4，∴AB ∵D 为AB 的中点，∴BD G 是△ABC 的重心，∴GF ＝13AF ＝43，∴CG ，∴CD ＝32CG ，∵点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，＜r ，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数求线段长度，三角形重心，点与圆的位置关系；解答本题的关键是发现BC 边上的高和CD 的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求出CD 的长度.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：2﹣1＝_____．【答案】12．【解析】【分析】负整数指数幂：:任何不为零的数的 -n(n 为正整数)次幂等于这个数n 次幂的倒数.【详解】2﹣1＝111=22．故答案为12．【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则即可解题.8.在数轴上，实数2_____侧．（填“左”、“右”）【答案】左【解析】【分析】2可得到2＜0，判断出2.【详解】根据题意可知：20∴2故填：左大小比较即可解题.9.不等式﹣2x ＞﹣4的正整数解为_____．【答案】x ＝1．【解析】【分析】将不等式两边同时除以-2，即可解题【详解】∵﹣2x ＞-4∴x ＜2∴正整数解为：x ＝1故答案为：x ＝1．【点睛】本题考查解不等式，掌握不等式的基本性质即可解题.10.如果关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有两个相等的实数根，那么k 的值为_____．【答案】1．【解析】分析】根据题意方程有两个相等实根可知△=0，代入求值即可解题.【详解】∵关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4k ×9＝0且k ≠0，解得：k ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题解题关键是根据题意得到根的情况，代值到判别式即可解题.11.已知反比例函数的图象经过点()1,3A ，那么这个反比例函数的解析式是________．【答案】3y x=【解析】【分析】把(1,3)代入函数y=kx中可先求出k 的值,那么就可求出函数解析式.【详解】解:由题意知,k=1´3=3.则反比例函数的解析式为:y=3x故答案为:y=3x.【点睛】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式,此为近几年中考的热点问题,同学们要熟练掌握.12.如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为____．【答案】y ＝2（x +3）2．【解析】【分析】根据“左加右减”原则可知向左平移3各单位函数表达式变y ＝2（x +3）2.【详解】将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y ＝2（x +3）2，故答案为：y ＝2（x +3）2．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，本题的解题关键是牢记“上加下减，左加右减”的原则.【为13.一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有____个．【答案】6．【解析】【分析】通过概率的求法：P（A）=满足条件的可能性/所有的可能性，代值44x+=0.4，即可求得红球数量.【详解】设红球有x个，根据题意得：44x+＝0.4解得：x＝6答：红球有6个；故答案为：6．【点睛】本题考查了概率的应用，掌握随机事件概率的求法即可解题.14.为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为__________．组别分组（含最小值，不含最大值）频数频率190～10030.06 2100～1101a3110～120240.48 4120～130b c【答案】92%【解析】【分析】根据第一组数据，频数÷频率=抽查的学生人数（样本容量），进而算出第四组的频数b，要求初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率即为第三、四组频数和÷样本容量，即可求得答案.【详解】∵样本容量为：3÷0.06＝50，∴该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为503150--×100%＝92%，故答案为：92%【点睛】本题考查了随机抽样调查中样本容量，频数以及频率的求法，牢固掌握即可解题.15.已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．【答案】4．【解析】【分析】根据题意，两圆外切，故圆心距为两圆半径和，已知一个圆半径为3，可求得另一圆的半径.【详解】∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.16.如图，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，AC 与BD 相交于点O ，如果AO a =uuu v v ，OD b =uuu r r，那么用a r 、b r 表示向量ABuuu r 是___．【答案】a r -2b r【解析】【分析】根据题意可知△ADO ∽△CBO ，根据相似三角形对应边成比例可得12AD OD BC OB ==，即OD=13DB ，通过转化AB AD DB =+uuu vuuu v uuu v =3AO OD DO ++uuu r uuu ruuur =2a b -rr【详解】∵AD ∥BC ，∴△ADO ∽△CBO ，的∴12AD OD BC OB == ，∴AB AD DB =+uuu v uuu v uuu v ＝3AO OD DO++uuu r uuu r uuur ＝3a b b +-r r r＝2a b -rr，故答案为：2a b -r r．【点睛】本题考查了平面向量的相关计算，解决本题的关键是将要求的进行转化为与已知向量相关的两条线段.17.我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把αcos 1的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD 的面积为5，如果变形后的平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为___．【答案】54．【解析】【分析】根据变形前后底边不变，可根据面积算的变形后的平行四边形的高.根据题意，变形度即为求∠B 1的余弦，及转化为求B 1D 的长度，利用勾股定理可求得B 1D ，最终求得1cos α.【详解】过A 1作A 1D ⊥B 1C 1，设矩形的长和宽分别为a ，b ，变形后的平行四边形的高为h ，∴ab ＝5，3＝ah ，∴b ＝5a ，h ＝3a，∴B 1D 4a=，∴14551()cos 4a a α=¸¸=故答案为：54．【点睛】本题考查了平行四边形与矩形的性质，勾股定理，三角函数的求法，解决本题的关键即为求变形后平行四边形的高，即可解题.18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边AD 上且AE ＝4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG ＝3，那么BF 的长为____．【答案】8-.【解析】【分析】根据题意可得到△CDG ∽△A'EG ，利用对应边成比例可求得A'G 、B'G 的长，进而可求得CG'、CB'，再利用△CDG ∽△CFB'，根据比例关系''CB GDB F CD=代值求得B ’F 即BF 的长度.详解】∵△CDG ∽△EA'G ，A'E ＝4∴A'G ＝2∴B'G ＝4由勾股定理可知CG'＝则CB'＝-4由△CDG ∽△CFB'设BF ＝x''CB GDB F CD=36【解得x＝8-故答案为8-【点睛】本题考查了图形的三大变化之轴对称，解答本类题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，可进一步得到全等三角形或相似三角形，进而解题.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：35(2)242mmm m-¸+---，m﹣3．【答案】【解析】【分析】根据题意将括号部分进行通分整理，再利用除法法则转化为乘法进行运算，进而约分化简即可，最后代值算的结果.【详解】解：原式＝(3)(3)(3) 2(2)2m m mm m--+-¸--＝(3)22(2)(3)(3) m mm m m---´-+-＝12(3)m-+当m﹣3时，原式＝12(3)m-+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握相关的运算法则即可解题.20.解方程组：22560312x xy yx yì--=í-=î①②【答案】11244x y =ìí=î，2233x y =ìí=-î.【解析】【分析】将①式进行因式分解的（x ﹣6y ）（x+y ）=0，故将式子拆分为两个式子与②式组成两个二元一次方程组进行求解，求得的两组解即为原方程组的解.【详解】由①得，x ﹣6y ＝0或x+y ＝0，将它们与方程②分别组成方程组，得：60312x y x y -=ìí-=î或0312x y x y +=ìí-=î分别解这两个方程组，得原方程组的解为11244x y =ìí=î或2233x y =ìí=-î．【点睛】此题本质考查二元一次方程组的运算，解本题的关键是将①式化为两个二元一次方程进行计算即可.21.如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ．（1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ；（2）联结AD ，AD ＝7，sin ∠DAC ＝17，BC ＝9，求AC 的长．【答案】（1）线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC ＝．【解析】【分析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=17，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.【详解】（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝7∴CD＝BC﹣BD＝2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝17 DFAD=，∴DF＝1，在Rt△ADF中，AF=，在Rt△CDF中，CF=，∴AC＝AF+CF＝=．【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.22.甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．x（小时）246y（件）50150250（1）求y与x之间的函数关系式；（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？【答案】（1）y＝50x﹣50；（2）经过3小时恰好装满第1箱．【解析】【分析】（1）根据已知条件乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，利用待定系数法代入两对x、y值即可求函数解析式；（2）根据题意甲生产零件+乙生产零件=340件（1箱），时间相同，故设时间为x小时恰好装满第1箱可列式80x+50x﹣50＝340，解得的x即为所求.【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）把（2，50）（4，150）代入，得50=21504k bk b+ìí=+î解得5050kb=ìí=-î∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50；（2）设经过x小时恰好装满第1箱，根据题意得80x+50x﹣50＝340，∴x＝3，答：经过3小时恰好装满第1箱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键为乙装箱的数量可用时间表示，明确这个隐藏条件即可解题.23.如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据BE∥AC，△COF∽△BEF，又因为F为BC的中点可得CF=BF，所以BE=OC=OA，结合BE∥AC，即可证得AOEB是平行四边形.（2）根据题意可证得△COB∽△CBA，即BO BCAB AC=，在依据AC＝2OC，BC＝2FC，可得BO FCAB OC=，即可证得BO•OC＝AB•FC 【详解】（1）∵BE∥AC，∴△COF∽△BEF∴OC CF BE BF=∵点F为BC的中点，∴CF＝BF，∴OC＝BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO∴AO＝BE∵BE∥AC，∴四边形AOEB是平行四边形（2）∵四边形AOEB是平行四边形，∴∠BAO＝∠E∵∠OBC＝∠E，∴∠BAO＝∠OBC∵∠ACB＝∠BCO，∴△COB∽△CBA∴BO BC AB AC=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC∵点F为BC的中点，∴BC＝2FC∴BO FC AB OC=即BO•OC ＝AB•FC.【点睛】本题考查了平行四边形性质与判定的综合应用，本题的关键是通过平行得到几组相似三角形来解题.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +8与x 轴相交于点A （﹣2，0）和点B （4，0），与y 轴相交于点C ，顶点为点P ．点D （0，4）在OC 上，联结BC 、BD ．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；（2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标；（3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD ∽△CPQ ，求点Q 的坐标．【答案】（1）点P 的坐标为（1，9）；（2）点E 的坐标为（2，8）；（3）点Q 的坐标为（1，11）或（1，10）．【解析】【分析】（1）通过待定系数法代入A 、B 坐标即可求得解析式；（2）根据解析式可求得点C 坐标（0，8），根据点E 为第一象限内抛物线上一点设点E （（x ，﹣x 2+2x+8）再根据S △COE ＝S △BCD ，可求得E 点坐标.（3）根据点B 、D 的坐标可得到∠BDC ＝135°，要满足△BCD ∽△CPQ ，∠CPQ=135°或者∠PCQ=135°，通过点C 、P 的坐标可得，∠PCM ＝45°，所以∠MCQ=90°，Q 在对称轴上，此情况不成立，所以要满足△BCD ∽△CPQ ，仅∠CPQ=135°，即Q 在P 点上方，可分两类讨论，CP PQ CD DB =或CP PQ BD DC=代值即可求出Q 点坐标.【详解】（1）将点A （﹣2，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx+8，得：428016480a b a b -+=ìí++=î解得：12ab=-ìí=î，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴12×8•x＝12×4×4，解得：x＝2，∴点E的坐标为（2，8）．（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4，∴∠ODB＝45°，BD＝，∴∠BDC＝135°．∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8），∴CM＝PM＝1，∴∠CPM＝45°，CP，∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△BCD∽△CPQ，∴CP PQCD DB=或CP PQBD DC=．①当CP PQCD DB==，解得：PQ＝2，∴点Q 的坐标为（1，11）；②当CP PQ BD DC =4PQ =，解得：PQ ＝1，∴点Q 的坐标为（1，10）．综上所述，点Q 的坐标为（1，11）或（1，10）．【点睛】本题前两问考查了二次函数常考的求解析式和点的坐标，最后一问考查了二次函数与相似三角形的结合，解答本类型题重点是发现成相似的两个三角形有什么特点，是否有隐藏条件已知角度的对应或者边的对应.25.如图，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，点P 为射线BC 上一动点，以P 为圆心，BP 长为半径作⊙P ，交射线BC 于点Q ，联结BD 、AQ 相交于点G ，⊙P 与线段BD 、AQ 分别相交于点E 、F ．（1）如果BE ＝FQ ，求⊙P 的半径；（2）设BP ＝x ，FQ ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结PE 、PF ，如果四边形EGFP 是梯形，求BE 的长．【答案】（1）⊙P 的半径为32；（2）x 的取值范围为2506x <£；（3）BE ＝710或65．【解析】【分析】（1）由题意BE＝FQ可得∠BPE＝∠FPQ，进而可得∠EBP＝∠FQP.又AD∥BC，故∠ADB＝∠EBP，即∠FQP＝∠ADB，故两角的正切值相等即可求出半径.（2）要求y关于x的函数关系式即可通过过P点做垂线PM，将QM用含x的式子表示，利用QM＝PQcos∠AQB，而FQ=2QM，即y=D点相交时，x最大，可求出x的取值范围；（3）根据题意四边形EGFP是梯形，由于P点是动点所以产生两种情况，当GF∥EP时和GE∥FP时，故应进行分类讨论.①当GF∥EP时，可发现PE为△BGQ的中点，根据线段关系可求得BP的长度，因为△BGQ和△DGA相似，故有BG QGBD AQ=，可求得BG＝75，所以BE=12BG.②当GE∥FP时，过点P作PN⊥BG ，跟①同理，可求得BE＝2BN.【详解】（1）∵BE＝FQ，∴∠BPE＝∠FPQ，∵PE＝PB，∴∠EBP＝12（180°﹣∠EPB），同理∠FQP＝12（180°﹣∠FPQ），∴∠EBP＝∠FQP，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBP，∴∠FQP＝∠ADB，∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝43，设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝42 ABBQ r=，∴44 32r =，解得：r＝32，∴⊙P的半径为32；（2）过点P 作PM ⊥FQ ，垂足为点M ，如图1所示：在Rt △ABQ 中，cos ∠AQB ＝BQ AQ ===在Rt △PQM 中，QM ＝PQcos ∠AQB ，∵PM ⊥FQ ，PF ＝PQ ，∴FQ ＝2QM∴y =当圆与D 点相交时，x 最大，作DH ⊥BC 于H ，如图2所示：则PD ＝PB ＝x ，DH ＝AB ＝4，BH ＝AD ＝3，则PH ＝BP ﹣BH ＝x ﹣3，在Rt △PDH 中，由勾股定理得：42+（x ﹣3）2＝x 2，解得：x ＝256，∴x 的取值范围为：0＜x ≤256；（3）设BP ＝x ，分两种情况：①EP ∥AQ 时，∴∠BEP＝∠BGQ，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠BEP，∴∠BGQ＝∠PBE，∴QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，解得：x＝7 12，∴QG＝QB＝2x＝76，∵EP∥AQ，PB＝PQ，∴BE＝EG，∵AD∥BC，∴BG QG BD AQ=，即767 536 BG=+，解得：BG＝75，∴BE＝12BG＝710；②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），∴BQ＝2，∴BP＝1，作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠PBN＝∠ADB，∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝35，即BNBP＝35，∴BN＝3 5，∴BE＝2BN＝65；综上所述，BE=710或65．【点睛】本题考查了圆与函数，四边形的综合，已知条件较多，存在不确定的动点情况，难度较大，解决本类题目的关键因素有①找到动点问题的临界点或特殊位置来解题；②对已知条件充分把握和利用，准确进行分类讨论.。
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2019年上海中考数学二模汇编 第25题
1.（杨浦）已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦AO BC =，点D 为BC 的中点．
（1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示AOD ∠； （2）如图2，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；
（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求 弦AE 的长．
图1 图2 图3
2.（黄浦）已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.
（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .
求证：GE=DF ；
（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1
cos 3
A =，
设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；
（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段AE 的长.
D A B
C
E
F 图9
A
B
C
E F G D
图8
A
B
C
D
E
备用图
3.（闵行）如图1，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ． （1）求证：∠BPD =∠MAN ； （2
）如果sin MAN ∠=
AB =BE = BD ，求BD 的长； （3）如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果 ∠MAN = 45°，且BE
PQF
CEF
S S ∆∆金山）如图，在ABC Rt ∆中，
90=∠C ，16=AC cm ，
20=AB cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒cm 1速度在边AC 上运动，动点E
由点C 向点B 以每秒cm 34
速度在边BC 上运动，若点D ，点E 从点C 同时出发，运动t 秒(0>t )，联
结DE .
（1）求证：DCE ∆∽BCA ∆．
（2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P .
①当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值. ②在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧）
，联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当PFM ∆与CDE ∆相似时，求t 的值.
E M （图2） A
N Q F
P
C D
B
M N A B C
D P （图1）
E
A B
5.（宝山）如图已知： AB是圆O的直径，AB=10，点C为圆O上异于点A、B的一点，点M 为弦BC的中点．
（1）如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；
（2）如果AM⊥OC于点E，求∠ABC的正弦值；
（3）如果AB：BC=5：4，D为BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究．
探究一：设BD=x，FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度．
6.（静安）已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，6AB BC CD ===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的
P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、
PC ，设BP x =，PC y =.
（1）求证：PE ∥DC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值
范围.
7.（徐汇）如图，在△ABC 中，10AC BC ==，3
cos 5
C =，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为
D ，
过点D 作DE CB ⊥于点E . （1）当
P 与边BC 相切时，求P 的半径；
（2）联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交
所得的公共弦的长.
8.（奉贤）如图，已知△ABC ，2AB =，45B ∠=︒，点D 在边BC 上，联结AD ，以
点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF AD ⊥. （1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）如果E 是弧DF 中点，求:BD CD 的值；
（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长.
9.（崇明）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，8AB DC ==，12BC =，3cos 5
C =
，点E 为AB 边上一点，且2BE =，点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且EFG B ∠=∠，设BF 的长为x ，CG 的长为y .
（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的C 相切时，
求线段BF 的长；
（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长.
10.（普陀）如图12，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=5，
4
cos
5
BAC
∠=，点O是边AC
上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作O，O与射线AB交于点D；以点C为圆心，CD为半径作C，设OA x
=.
（1）如图13，当点D与点B重合时，求x的值；
（2）当点D在线段AB上，如果C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在点O的运动的过程中，如果C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围.
11.（松江）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，BC=16．点O 在边BC 上，以
O 为圆心，OB 为半径的弧经过点A ．P 是弧AB 上的一个动点．
（1）求半径OB 的长；
（2）如果点P 是弧AB 的中点，联结PC ，求∠PCB 的正切值； （3）如果BA 平分∠PBC ，延长BP 、CA 交于点D ，求线段DP 的长．
·
（第25题图）
O
B
C
A ·
（备用图）
O
B
C
A
12.（长宁）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=3AC =，4BC =，点P 在边AC 上（点
P 与点A 不重合）
，以点P 为圆心，PA 为半径作P 交边AB 于另一点D ，ED DP ⊥，交边BC 于点E ；
（1）求证：BE DE =；
（2）若BE x =，AD y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；
（3）延长ED 交CA 延长线于点F ，联结BP ，若BDP 与DAF 相似，求线段AD 的长.
C A
C
A C A。