空间图形的公理(难)

复习:
空间中的直线与直线之间有几种位置关系？ 它们各有什么特点？
共面直线
同一平面内，有且 相交直线: 只有一个公共点；
同一平面内，没有 平行直线: 公共点； 异面直线: 不同在任何一个平面内，没有 公共点
思考4:为了表示异面直线a，b不共面的 特点，作图时，通常用一个或两个平面 衬托,如图.
a
b
a
b
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a
b
a
b来自百度文库
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； B. 分别在不同平面内的两条直线； C. 不在同一个平面内的两条直线； D. 不同在任何一个平面内的两条直线.
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知识探究：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？
北师大版高中数学必修2第一 章立体几何初步
1
复习：
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
应用：
1、判断直线是否在平面内的依据。 2、检验一个面是否是平面。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面 . 这是确定平面的依据之一 3、公理的推论 推论1 过一条直线和直线外一点有且只有一 个平面。

l

A
推论2 过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3 过两条平行线有且只有一个平面 。

公理3 如果两个不重合平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
应用：判断多点是否共线
推论1
过一条直线和直线外的一点有且只有一个平 即：一条直线和直线外的一点确定一个平面。
过两条相交直线有且只有一个平面即：两条相 交直线确定一个平面 过两条平行直线有且只有一个平面。即：两平 行直线确定一个平面
C G D H A B H G C E A B D
F
E F
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例2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC1∩平面 A1BD=M，求作点M。 C D
A B C1
D1
A1
B1 本题体现了转化的思想，将在空间难以把握 的线面交点转化为同一平面内的线线交点， 确定了交点的位置。
例3：求作下列截面：
D
作业:P26习题1.4A组：4，5 B组1，2.
教学反思：
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A
推论2
推论3

l
B

C


b
a
C


B A

a

A
B


b
C

推论1证明
证： （存在性） 在l上任取两点B、C，则A,B,C不共线; 由公理3，经过不共线的三点A,B,C有一个平面 .
l 因为B、C在平面 内，所以根据公理1， B 直线l在平面 内,即 是经过直线l和点 A的平面 。 （唯一性） 因为B、C在直线l上，所以任何经过l和点A的平面
E´
A´ E
A D
D´
B´
C
B
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思考4:综上分析我们可以得到什么定理?
定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补. 思考5:上面的定理称为等角定理，在等 角定理中，你能进一步指出两个角相等 的条件吗？ 角的方向相同或相反
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巩固练习：
1．两个平面重合的条件是（ c ） A．有两个公共点 B．有无数个公共点 C．存在不共线的三个公共点 D．有一条公共直线 2．下列命题中，真命题是（ D ） A．空间不同三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．两组对边相等的四边形是平行四边形 D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 3．空间有四个点，其中无三点共线，可确定 __________ 一个或四个 个平面．
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
A H E
例1
D
B F
G
C
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例2 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对?
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思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
C' D'
B' A'
B A D'
C'
B'
A'
C B A
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C
D
D
思考3:如图，在空间中AB// A′B′， AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？ C´
C
(1) M , N为中点， 作截面DMN
A
M

B D1
C1
N

A1
B1
练习：
D
C
A
B

N
D1
C1
A1

B1
M
M , N为中点，作截面 DMN
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三 条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
课堂小结：在师生互动中让学生 了解：（1）本节课学习了哪些知 识内容？（2）计算异面直线所成 的角应注意什么？
一定经过A,B,C . 于是根据公理3，经过不共线的三 点A,B,C的平面只有一个所以经过l和点A的平面只有

A

C
一个.
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公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行
（
空间平行线的传递性）
理解： （1）已知直线a、b、c，且a∥b，b∥c，则a∥c （2）空间平行直线具有传递性 （3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的 方向