四年级奥数—和倍问题

名师堂学校【赢在秋季】方法讲义

四年级数学思维训练

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第八讲和倍问题

一、知识衔接

已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫和倍问题。

解这类应用题关键是要找准标准数（即1倍数），一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。数量关系可表示为：

*两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）

*小数（1倍数）×倍数=大数（几倍数）

*或两数和—小数（1倍数）=大数（几倍数）解决和倍问题，为了理解题意，可以画出线段图，使数量关系一目了然。

二、例题求解

例题一

书店去年和今年共售书500万册，今年售书量是去年售书量的4倍，今年比去年多售书多少万册？

思路点拨：题目要我们求的是：今年比去年多售书多少万册。那么就必须要知道今年和去年的售书量。今年的售书量是去年售书量的4倍，我们可以这样想：去年售书看成是单位1，也就是：1份，那么：

今年售书量就是：1×4，也就是4份

去年和今年一共的总售书量就是：1+4=5（份）题目中已经说了：“书店去年和今年共售书500万册”，所以500÷5=100（万册）就是每一份的售书数目。去年的售书量占了总售书量的1份，那去年的售书量：1×100=100（万册），今年的售书量占了总售书量的4份，那今年的售书量就是：4×100=400（万册）。知道去年的售书量和今年的售书量就可以回答题目中的问题了。

【解】

1+4=5

500÷5=100（万册）

1×100=100（万册）

4×100=400（万册）

400-100=300（万册）

答：今年比去年多销售300万册。

例题二

甲、乙两个车间一共生产了机床664台，而甲车间的产量是乙车间的3倍，问：两个车间各生产机床多少台？

思路点拨：这是一道非常典型、非常基础的“和倍问题”，与刚才的题目基本一样。由条件“甲车间的产量是乙车间的3倍”，我们可以把两个车间产量之间的倍数关系在下图中表示出来：

乙：

1倍共664台

甲：

3倍

这里，我们把“乙车间的产量”看作“1倍量”，这样“甲车间的产量”便是乙车间产量的“3倍量”，于是甲乙的总产量“664台”便是乙车间的“（1+3）倍量”了。所以，我们可以先求出乙车间的产量，进而求出甲车间的产量。所以：

乙车间生产机床数：664÷（3+1）=166（台）

甲车间生产机床数：166×3=498（台）或者664-166=498（台）

答：甲车间生产498台，乙车间166台

练习题：

1、红旗小学买回来足球和篮球共240个，而买来的足球是篮球的3倍，问：学校买来足球排球各多少个？

2、学校师生一共有500人，学生人数是老师人数的7倍，问：老师和学生各有多少人？

3、三（1）班原有学生42人，开学时又转来了3名男生，这时男生人数是女生人数的2倍，三（1）班原有男生多少人？

4、小华有书本15本，故事书是绘画书的4倍，问：小华有故事书和绘画书各多少本？

例题三

某校师生一共有800人，学生人数是老师人数的9倍多50人，求学生人数?

思路点拨：已知道学生和老师的总人数是800人，要求的就是学生的人数。在解题之前就要分清楚学生占总人数的多少份。题目中已给出：学生人数是老师人数的9倍还多50人。那么：

左边右边

老师人数看成单位：1，也就是1份；

学生人数-50人=老师人数的9倍：1×9=9（份）

老师和学生的人数跟倍数结合起来，那每一份占的人数是：

左边：老师人数+学生人数-50人=800-50=750（人）

右边：1+9=10（份）

左边和右边的关系就是：把左边的750人分成了右边的10份，这样我们就可以知道每一份占左边人数的数目了，750÷10=75（人）。那么老师的人数占了1份就是：1×75=75（人）。根据学生人数-50人=老师人数的9倍，那么学生人数=老师人数的9倍+ 50人：

学生人数=9×75+50=725(人)

也还可以这样考虑：知道了老师人数，那么：学生人数=总人数-老师人数【解】800-50=750（人）

老师人数：750÷(1+9)=75（人）

学生人数：800-75=725（人）

答：学生人数是725人

练习题：

1、小明和小华兄弟两人一共有300元钱，小华的钱数是小明的钱数的3被还多20元，问：小明、小华各多少钱？

2、老师买了一批篮球和足球，一共花了800元，买篮球花的钱是足球的钱的2倍还多40元钱，问：老师买篮球花了多少钱？买足球花了多少钱？

3、张伯伯家有苹果和梨一共3000斤，张伯伯告诉你，苹果的重量是梨的6倍还多200斤，问张伯伯家有多少斤的苹果？

4、已知被除数÷除数=7…5，被除数+除数=61，求除数是多少？

例题四

有甲、乙两个粮仓，甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮是乙仓库的3倍。必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？

思路点拨：这仍旧是一道“和倍问题”的题目，只不过条件中的“和”没有直接给出，所求的问题也是比较间接的。这样就要求我们：

(1) 自己找出“和”；

(2) 先由“和倍问题”求出两个量；

再来具体看题目的问题。

(1) 内部交换粮食，总和是不变的，所以甲、乙仓库总存粮（和）有（108+140）吨；

(2) 由“和倍问题”求出甲乙按规定应该存粮的量：

同上题一样，由于要求甲仓库应存粮为乙仓库应存粮的3倍，那么如果将乙仓库的应存粮量看作1倍量，那么甲乙仓库存量的总和相当于乙仓库应存粮量的（1+3）= 4倍量，从而可求出乙仓库应存粮量。再来具体看问题“必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库”，很明显用乙仓库原来的存粮量减去应存粮量，便可以解答了。即：甲、乙两仓库存粮的总和108+140=248（吨）

乙仓库应存粮量：248÷（1+3）=62（吨）

乙仓库运出粮食数量：140-62=78（吨）

【解】

108+140=248（吨）248÷（1+3）=62（吨）140-62=78（吨）答：乙仓库运出粮食78吨到甲仓库。

练习题：

1、航天电视厂有职工1850人，如果男职工再增加150人就相当于女职工数的3倍，求：该厂有男、女职工各多少人？