直线与平面所成的角教学设计

【课题】9.3 直线与平面所成的角

【教学目标】

知识目标：

理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念．

能力目标：

培养学生的空间想象能力和数学思维能力．

【教学重点】

直线与平面所成的角的概念

【教学难点】

直线与平面所成的角的求解

【教学设计】

斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

1课时．(40分钟)

【教学过程】

过 程 行为 行为 意图

图9−33

*动脑思考 探索新知

如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足. 画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．

图9−34

提问 指导

思考 解答

领会知识

*创设情境 兴趣导入

将一根木棍P A 直立在地面α上，用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离（图9−35），发现P A 最短．

质疑 引导 分析

思考

启发 学生思考

*动脑思考 探索新知

如图9−35所示，PA α⊥，线段P A 叫做垂线段，垂足A 叫做点P 在平面α内的射影．

直线PB 与平面α相交但不垂直，则称直线PB 与平面α斜交，直线PB 叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜

讲解 说明

思考

图9−35

过程行为行为意图

足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线

段．

过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图

9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．

从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引

垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到

平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．

引领

分析

理解

带领

学生

分析

*创设情境兴趣导入

如图9−36所示，科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程

度呢？

图9−36

质疑思考带领

学生

分析

*动脑思考探索新知

斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平

面α所成的角．如图9−37所示，PBA

∠就是直线PB与平面

α所成的角．

规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线

与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直

线与平面所成角的取值范围是[0,90]．

【想一想】

如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直

线一定平行吗？

图9−37

讲解

说明

引领

分析

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

理解

记忆

带领

学生

分析

*巩固知识典型例题

例2

如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在质疑思考

带领

学生

过 程

行为 行为 意图

平面α内，已知底边长BC =16，腰长AB =17，又知点A 到平面α的垂线段AD =10．求

（1）等腰∆ABC 的高AE 的长； （2）斜线AE 和平面α所成的角的大小（精确到1º）．

分析 三角形AEB 是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE 的长；AED ∠是AE 和平面α所成的角，三角形ADE 是直角三角形，求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角． 解 (1) 在等腰∆ABC 中，AE BC ⊥，故由BC =16可得BE =8.

在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此 222217815AE AB BE =-=-=.

（2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，

102

sin 153

AD AED AE ∠===，

所以

42AED ∠≈︒.

即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线？

分析

*运用知识 强化练习

长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.

练习9.3.2图

讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆

带领 学生 分析 *归纳小结 强化思

提问 巡视 思考 求解

及时了解

图9−38

过 程

行为 行为 意图

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

指导

学生知识掌握情况 *自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 自我测评 1、判断：

（1）若直线和平面相交，则直线与平面所成的角小于等于90度。（）

（2）若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行。（） 2、填空：

（1）已知斜线段长是它在平面直线上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角是（ ）

（2）已知线段AB=23，AB 与平面α所成的角为θ=

45，则线段AB 在平面α内的射影长为（ ）。

3、解答：

在长方体1111D C B A ABCD 中，高1DD =23cm ，底面是边长

为3cm 的正方形，求对角线 B D

1与底面ABCD 所成角的

质疑 归纳强调

回答

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题9.3.2 A 组（必做）；9.3.2 B 组（选做）

(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的线面角的实例

引导

回忆