正弦定理及其应用

正弦定理

一、正弦定理及其证明

1、向量法

2、三角函数法

3、外接圆法

二、三角形解的个数

例、不解三角形，判断V ABC解的个数

（1）a=5，b=4，A=1200 （2）a=30，b=30，A=500

（3）a=7，b=14，A=300 （4）a=9，b=10，A=600

（5）c=30，b=9，C=450 （6）a=50，b=72，A=1350

三、三角形的面积公式

，，c=1,则V ABC

例、（1）在V ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A=

3

的面积是

，,则V ABC的面积是

（2）在V ABC中，已知B=600，cosC=1

3

V ABC的面积是

（3）在V ABC中，已知A=600，AC=4，

四、判断三角形的形状

例、（1）在V ABC中，若tanA:tanB=a2:b2，试判断V ABC的形状.

（2）在V ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断V ABC的形状.

五、利用正弦定理证明

例、（1）在V ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，证明：222sin()sin a b A B c C --=.

（2）a ，b ，c 分别为V ABC 中角A ，B ，C 所对的边，若a ，b ，c 成等比数列，求证：1

11

tan tan sin A C B +=.

六、利用正弦定理解三角形

例、（1）在V ABC 中，a=3，，A=23π

，则B=

（2）设V ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，sinB=1

2，C=6π，则b=

（3）在V ABC 中，a=10，A=750,C=450,求角B ，边b ，c.

（3）已知b=4，c=8，B=300,求角C ，A 及边a.

（4）已知b=3，B=300,求角A 及边a.

七、正弦定理与其它知识的综合应用

例、（1）在V ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则（ ）

A. a ，b ，c 成等差数列

B.a ，c ，b 成等比数列

C.a ，c ，b 成等差数列

D.a ，b ，c 成等比数列

（2）在V ABC 中，

①求角A 的大小②若BC=3，求V ABC 周长的取值范围.

课堂练习：

1、在V ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC+csinBcosA=1

2

b ，且a>b ，则B=

2、在V ABC 中,角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若b ，则角A=

3、在V ABC 中,∠A=750,∠B=450，则AC=

4、在V ABC 中，已知A=6

π

，a=1，则B= 5、在V ABC 中，已知sinB ⋅sinC=cos 22

A

,A=1200，a=12,求V ABC 的面积.

6、在V ABC 中，若2a=b+c ，sin 2A=sinBsinC,是判断V ABC 的形状.

7、在V ABC 中，求证：

cos sin cos sin b a C C c a B B -=-