高三数学课件：正态分布3
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人教版高中数学选择性必修第三册7.5正态分布【课件】
第七章 随机变量及其分布
课标要求
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例， 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.理解正态 曲线的特点，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状 的影响.
素养要求
通过本节的学习，使学生了解正态分布的特征，能够利用正态曲线 分析实际问题，发展数学抽象、数学建模及数据分析素养.
(2)如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝____2____.
解析 因为ξ～N(μ，σ2)， 故正态密度函数关于直线x＝μ对称， 又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)， 从而 μ＝1＋2 3＝2，即 μ 的值为 2.
4.思考辨析 正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”.
迁移 若“本例”的条件不变，试求P(ξ>5).
解 P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝12[1－P(－3≤ξ≤5)] ＝12[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)] ＝12[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈12×(1－0.954 5)＝0.022 75.
思维升华
利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直 线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
(2)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ>11)＝___0__.3___.
解析 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线关于μ＝10对称， 则P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4. ∴P(10≤ξ≤11)＝0.2. 又∵P(ξ≥10)＝0.5， ∴P(ξ>11)＝0.5－0.2＝0.3.
课标要求
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例， 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.理解正态 曲线的特点，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状 的影响.
素养要求
通过本节的学习，使学生了解正态分布的特征，能够利用正态曲线 分析实际问题，发展数学抽象、数学建模及数据分析素养.
(2)如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝____2____.
解析 因为ξ～N(μ，σ2)， 故正态密度函数关于直线x＝μ对称， 又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)， 从而 μ＝1＋2 3＝2，即 μ 的值为 2.
4.思考辨析 正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”.
迁移 若“本例”的条件不变，试求P(ξ>5).
解 P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝12[1－P(－3≤ξ≤5)] ＝12[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)] ＝12[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈12×(1－0.954 5)＝0.022 75.
思维升华
利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直 线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
(2)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ>11)＝___0__.3___.
解析 由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线关于μ＝10对称， 则P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4. ∴P(10≤ξ≤11)＝0.2. 又∵P(ξ≥10)＝0.5， ∴P(ξ>11)＝0.5－0.2＝0.3.
高三数学正态分布课件
解：设为行车时间 （ 1 ）走第一条路线，及时赶到的概率为： 70 50 0 50 P（ 0 70 ） （ ） （ ） 10 10 70 50 （ ） （ 2 ） 0.9722 10 走第二条路线，及时赶到的概率为： 70 60 0 50 P（ 0 70 ） （ ） （ ） 4 4 70 60 （ ） （ 2 .5 ） 0.9938 4
2
从而，可计算服从(, )的正态分布
的随机变量取值在a与b之间的概率.
例题4.正态总体N（ 0， 1 ）在区间（ 2， 1 ）和 （ 1 ， 2 ）上取值的概率分布为 P1、P2，则（定.
c
例题5.已知 ~ N(, 2 ), E 3, D 1, 则P( 1 1) （） B A.2(1) 1; B.( 4) ( 2); C.( 4) ( 2); D.( 2) ( 4)
4 4 5
0.9707
例题8.一投资者在两个投资方 案中选择一个， 这两个投资方案的利润 X（万元）分布 服从正态分布N（ 8， 3 2）和N（ 6， 2 2）投资 者要求“利润超过5万元”的概率尽量地 大，那么他应该选择哪 一个方案？
解：对第一种方案有X ~ N（ 8， 3 2），于是 58 P（X 5 ） 1 P（X 5 ） 1 （ ） 3 选第 1 （ 1 ） （ 1 ） 0.8413 对第二种方案有X ~ N（ 6， 2 2），于是 种方案 . 56 P （X 5 ） 1 P（X 5 ） 1 （ ） 3 1 （ 0.5 ） （ 0.5 ） 0.6915
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
人教版数学选择性必修三7.5正态分布课件
去估计．把μ＝0，σ＝1的正态散布叫做标准正态散布.
新知精讲
知识点二 正态曲线的特点及3σ原则
1．正态曲线的特点
1
e
正态曲线 φμ，σ(x)＝
2
x 2
2 2
，x∈R 有以下特点：
(1)曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴 不相交 ；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ
对称；
b
P(a＜X≤b)≈ aφμ，σ(x)dx
，即由正态曲线，
过点(a,0)和点(b,0)的两条 x 轴的垂线，及 x 轴所围成的平面图形的面积，就是 X 落在
区间(a，b]的概率的近似值，如图．
新知精讲
2．正态散布
如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足
b
P(a＜X≤b)＝ aφμ，σ(x)dx
(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所
给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结
合思想的应用．
典例剖析
题型一 正态曲线的图象和性质
[例 1]
如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的
概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．
故及格的人数为 54×0.8413≈45(人)，130 分以上的人数为 54×0.1587≈9(人)．
类题通法
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向
P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)进
行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好
①
②
③
则三个随机变量 X，Y，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.
新知精讲
知识点二 正态曲线的特点及3σ原则
1．正态曲线的特点
1
e
正态曲线 φμ，σ(x)＝
2
x 2
2 2
，x∈R 有以下特点：
(1)曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴 不相交 ；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ
对称；
b
P(a＜X≤b)≈ aφμ，σ(x)dx
，即由正态曲线，
过点(a,0)和点(b,0)的两条 x 轴的垂线，及 x 轴所围成的平面图形的面积，就是 X 落在
区间(a，b]的概率的近似值，如图．
新知精讲
2．正态散布
如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足
b
P(a＜X≤b)＝ aφμ，σ(x)dx
(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所
给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结
合思想的应用．
典例剖析
题型一 正态曲线的图象和性质
[例 1]
如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的
概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．
故及格的人数为 54×0.8413≈45(人)，130 分以上的人数为 54×0.1587≈9(人)．
类题通法
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向
P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)进
行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好
①
②
③
则三个随机变量 X，Y，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
人教A版高中数学选择性必修第三册7.5《正态分布》名师课件
, 对应的正态曲线与轴在区间[, ]内围成的面积,则称
服从参数为与的正态散布,记作~ ( , )
探究新知
3.正态曲线的性质
y
y
y
μ= -1
σ=0.5
μ=1
μ=0
σ=1
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
σ=2
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
那么 , , 的大小关系是( D )
A． > > > >
B． < < < <
C． > > > >
D． < < ＝ <
解析
当＝, ＝时,正态曲线()＝
值
·
−
.在＝时,取最大
,故 .由正态曲线的性质,当一定时,曲线的形状由确
定．越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线越“矮胖”,于是有 <
< ＝ < .
当堂练习
2.已知随机变量服从正态散布(, ),且( < )＝. ,则
( ≤ )＝________.
.
图可得
典例讲授
例2、已知随机变量ξ服从正态散布(, ),且( < )＝. ,则
( < < )＝( C )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
解析
∵随机变量服从正态散布(, ),
∴＝,对称轴是＝.
∵( < )＝. ,
∴( ≥ )＝( < )＝. ,
《正态分布》教学课件(32张PPT)
x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
人教版高中数学选择性必修3《正态分布》PPT课件
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
2.3σ原则
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
名师点析 对于正态分布N(μ,σ2)而言,随机变量X在[μ-3σ,μ+3σ]之外取值几
第七章
7.5 正态分布
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.利用实际问题的直方图,了解正态分
布密度曲线的特点及曲线所表示的意
义.(直观想象)
2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.(数学
运算)
3.会用正态分布去解决实际问题.(逻辑
变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分
布比较分散,如图②.
微练习
(多选)已知三个正态密度函数φi(x)=
所示,则下列结论正确的是(
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3
C.μ1=μ2 D.σ2<σ3
)
1
2π
(- )2
2
e 2
(x∈R,i=1,2,3)的图象如图
乎不可能发生,它在产品检查、质量检验中起着重要的作用.
微练习
设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1≤X≤3);
(2)P(3≤X≤5);
(3)P(X≥5).
解 ∵X~N(1,22),
∴μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682 7.
《高中数学正态分布》课件
正态分布的实例分析
1 案例一：商品售价的概率分布
探讨商品售价符合正态分布时的概率分布情况，为合理定价提供依据。
2 案例二：身高的概率分布
分析人类身高在不同群体中的分布，理解身高的统计特征和差异。
3 案例三：考试成绩的分布
研究考试成绩的正态分布特征，评估学生的相对表现和优势科目。
总结与思考
正态分布在数学与实践中的重要 性
3
应用示例
通过标准化后的数据，可以进行正态分布的统计估计、抽样与推论，并用于描述 实际情况。
正态分布的应用
统计估计
正态分布在估计总体参数和进行 置信区间估计时非常有用。
抽样与推论
正态分布可用于抽样分布的建立 和统计推断的进行。
实际情况分析
通过近似描述实际情况，例如商 品售价、身高和考试成绩的分布。
《高中数学正态分布》 PPT课件
引言
正态分布的定义
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线，以均值μ和标准差σ来描述。
正态分布的性质
正态分布的均值、中位数和众数相等；左右对称；68%的数据落在一个标准差内；95%的数 据落在两个标准差内。
概率密度函数
密度函数的输入和输出，函数图 像
密度函数接受一个输入值x并给出对应的概率密度 值。函数图像呈现出正态分布的钟形曲线。
正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，在自 然科学、社会科学和经济金融等领域有广泛应用。
对于其他分布的启示
正态分布的性质和应用可以启发我们研究和理解其 他概率分布。
参考文献
• 统计学与实际 • 十二年高等数学 • 数学建模及其应用 • 离散数学及其应用
均值和标准差对函数图像的影响
均值决定函数图像的中心位置，标准差影响函数图 像的分散程度。正态分布的Fra bibliotek准化1
正态分布课件课件ppt(共50张PPT)
m和标准差s
(1)
(x)
1
x2
e2,x( ,)
2
m0 , s 1
(2) (x)21 2e(x 8 1)2,x ( , ) m1 , s 2
说明：当m0 , s 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
变式训练1
若一个正态分布的密度函数是一个偶函数且该函数与y
轴交于点 (0 , 1 ) ，求该函数的解析式。
ms ms P(70X110) P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 4 .
ms ms P(80X100) P ( X ) 0 .6 8 2 6 .
即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6826.
考试成绩在(80,100)间的考生大约有
2 0 0 0 0 .6 8 2 6 1 3 6 5 .
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，
曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大 ，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
主页
课堂练习 正态分布(选修2-3)
3σ)之间的值,并简称之为 3σ原则.
主页
正态分布(选修2-3)
例4.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布 X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间(70,110) 上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生, 试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人 ?
解:依题意,X～N(90,100), m90,s10.
图2.46
68.26%
μ
新人教版高中数学必修第三册-7-5 正态分布【课件】
(6)当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图 1 所示．
(7)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示随机变 量 X 的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量 X 的分布越分散，如 图 2 所示．
4．3σ 原则 (1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____0_._6_8_2_7________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈___0_._9_5_4_5_________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____0_._9_9_7_3________. (2)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的 值，这在统计学中称为 3σ 原则．
__μ_＝__0___，标准差为 σ＝ 2π.
4.如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是什么？
提示：0<σ1<σ2＝1<σ3.
二、练一练 1．设 X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足( D ) A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2 C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ 解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
第七章 随机变量及其分布
7．5 正态分布
[课标解读]1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例、 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方 差及其含义．
[素养目标] 水平一：利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲 线所表示的意义．(逻辑推理)
，x∈R，则称随机变
(7)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示随机变 量 X 的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量 X 的分布越分散，如 图 2 所示．
4．3σ 原则 (1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____0_._6_8_2_7________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈___0_._9_5_4_5_________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____0_._9_9_7_3________. (2)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的 值，这在统计学中称为 3σ 原则．
__μ_＝__0___，标准差为 σ＝ 2π.
4.如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是什么？
提示：0<σ1<σ2＝1<σ3.
二、练一练 1．设 X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足( D ) A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2 C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ 解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
第七章 随机变量及其分布
7．5 正态分布
[课标解读]1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例、 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方 差及其含义．
[素养目标] 水平一：利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲 线所表示的意义．(逻辑推理)
，x∈R，则称随机变
正态分布课件
矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。
《高考数学正态分布》课件
高考数学中的重要性
掌握基本概念和应用方法
正态分布在高考数学中应用广泛， 具有重要意义。
学生需要掌握正态分布的基本概 念、特点和应用方法，以便在考 试中更好地应用。
《高考数学正态分布》 PPT课件
探索高考数学中重要的概率分布——正态分布。了解其特点、应用和解决问 题的方法，提升应试技巧，迈向成功。
什么是正态分布？
正态分布，又称高斯分布，是一种重要的概率分布，具有钟形曲线，常用于描述自然界、社会现象中的随机变 量。
正态分布的特点
1 数学期望与中位数相同
正态分布的均值与中位数相等，呈现对称性。
高用正态分布计算某一分数线上的学生人数。
2
达到某一分数线的最低分数
利用正态分布推算达到某一分数线的最低分数。
3
某一分数段之间的学生人数占总人数的比例
利用正态分布计算某一分数段之间的学生人数占总人数的比例。
总结
正态分布是一种重要的概 率分布
具有钟形曲线和对称性。
2 对称性
正态分布曲线呈现完美的对称性，两侧面积相等。
3 标准差越小，曲线越陡峭
标准差决定了曲线的宽窄，标准差越小，曲线越陡峭。
正态分布的应用
研究各种变量的分布情况
正态分布可用于了解各种变量在总体中的分布情况。
制定基于概率的决策方案
正态分布提供了制定决策方案时的概率依据。
高考数学中的应用
正态分布在高考数学中被广泛应用于解决概率统计相关的问题。
《正态分布》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.4课时)
课堂小结
1. 正态总体函数解析式
f(x)
1
e
( x μ )2 2σ 2
2πσ
x ( , )
2. 正态曲线
y μ= -1
σ=0.5
y
μ=0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
课堂小结
3. 正态曲线的性质 （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交； （2）曲线关于直线x=μ对称； （3）曲线在x=μ时位于最高点； （4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近 线，向它无限靠近； （5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小， 曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
f(x)
1
e
(xμ)2 2σ 2
,
x
(
,
)
2πσ
其中实数μ和
为参数.我们称f(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
新知探究
如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并沿着其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球 槽的宽度，用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标，则X是一个随机变量. X落 在区间(a，b]的概率为
课前导入
下图就是一块高尔顿板示意图
球 球槽
课前导入
如果把球槽编号，就可以考察球到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验，随着试验次 数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，堆积的高度也会越来越高.各个球槽内 的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少.
这节课我们就学习——正态分布
高中数学人教A版 选择性必修第三册 正态分布 课件
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.
观察图形可知: 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示.
解：设正常情况下，该生产线上生产出来的食盐质量为 <m></m> ,由题意可知 <m></m> .
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
1. 正态分布：
正态密度函数：
0.5
1-a
a
1-a
1-2a
0.5-a
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ ≤X≤ μ+kσ)是一个只与k有关的定值.
特殊区间的概率：
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则.
探究新知
1.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ .
20
2
2. 设随机变量X~N(0, 1)，则X的密度函数为________________，P(X≤0)=_____ ，P( |X|≤1)=_______， P(X≤1)=________， P(X>1)=________.
观察图形可知: 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示.
解：设正常情况下，该生产线上生产出来的食盐质量为 <m></m> ,由题意可知 <m></m> .
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
1. 正态分布：
正态密度函数：
0.5
1-a
a
1-a
1-2a
0.5-a
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ ≤X≤ μ+kσ)是一个只与k有关的定值.
特殊区间的概率：
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则.
探究新知
1.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ .
20
2
2. 设随机变量X~N(0, 1)，则X的密度函数为________________，P(X≤0)=_____ ，P( |X|≤1)=_______， P(X≤1)=________， P(X>1)=________.
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正态分布2
X W ( — oo,
+oo)
标准正态曲线:当皆0、b二1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
(-00 < X < 00)
其相应的曲线称为标准正态曲线
正态分布表中，相应于必的值①(必)是指总体取值小于必的概率 ①仗沪P(0),用图形表示为(阴影部分面积) 说明：
(1)①
(2) 标准正态总体在任一区间(x 19 x 2)内取
值的概率
P (勒＜30沪①偽)-①(野) (3) 对任一正态总体N(AQ 2),取
值小于x 的概率F(X )=①(匕上)
即，若E 服从正态分布N@Q2),则上上服从标准正态分布
y
兀oC
一％1 x
2
例1.若兀〜N(O，1)，求(l)P(-2.32<x<1.2)；(2)P(x>2).解:⑴P(-2・32<rvl・2)=①(1.2)-①(一2・32)
=O (1.2H1-①(2・32)]=0・8849-(1一0.9898)=0・8747・
(2)P(x>2)=l-P(x<2)=l-0(2)=l-0.9772=0-0228.
例2：已知正态总体N（l，4），求取值小于3的概率.
/a _i A
F（3）=O -— =0（1） = 0.8413 ・
I 2丿
例3：分别求正态总体N(“,b2) 在区间：
(// — CT, // + b)、(// — 2b, “ + 2b)、(“ _ 3b, “ + 3b)、
(“ + b)_“]=①(1)
_ b 」
("_b)_ 可=0(-1)
_ b 」
(宀旌区间6 “ + b)、 内取值的概率是
F （“ + b）-F （“-b ）二①⑴—①（一 1）二 2①（1）一1
内取值的概率. 解:
F(“ + b)=①
F （“-b ）二①
所以，正态总体N
« 2x0.8413-1 = 0.683;
例3:分别求正态总体N0Q* 在区间
(“-cr,“ + C (“ — 2cr,“ + 2cr)、(“-3cr,“ + 3b)、
解：同理，正态总体N(“Q2)在区间：(“-2cr,“ + 2cr)、取值的概率是
F0 + 2cr)- F(“ - 2b)二①⑵-①(-2)u 0.954 正态总体
N Q Q H在区间: (“ 一3cr, “ + 3cr)、
内取值的概率是=
F(“ + 3cr)-F(p - 3cr)=①⑶ _ ①(- 3)q 0.997.
上述计算结果可用下表和图来表示:
区间
取值概率
(“-b,〃 + b) 68.3% (//- 2cr,//+ 2cr) 95.4% (“ — 36“ + 3cr)
99.7%
◎2尸
①小概率事件的含义:
我们从上图看到'正态总体在(“-2cr,“ + 2b) 以外取值的概率只有4.6% ,在(“-3cr,“ + 3b) 以外取值的概率只有0・3 %。
由于这些概率值很小(一般不超过5 % ), 通常称这些情况发生为小概率事件。
即事件在一次试验中几乎不可能发生。
例4：某校高中二年级期末考试的数学成绩
g~N（7，102）•①若参加考试的学生有100人学生
甲得分为80分，求学生甲的数学成绩排名；
②若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的数学应绩.。