系统辨识模型结构辨识

2、 Hankel矩阵定阶
问题 当噪声较大时，上图中的尖峰很难看出来
强噪声情Hale Waihona Puke Baidu 解决方法
根据脉冲响应序列，求自相关序列的估计值
Rh ( )
N
1
N
1 k 0 hk hk
,
0,1,2,....
自相关系数
h ( )
Rh ( ) ,
Rh (0)
0,1,2,....
以自相关系数作为汉格尔矩阵的元素，确定矩阵的秩
由
lnL(Y
|
θ)
N 2
lnσ
2 e
const
p n1 n2 2
AIC
2lnL
2、 Hankel矩阵定阶
问题
由于数据受到噪声的污染，当l=n+1时，行 列式的值并不会等于零
弱噪声情况
解决方法 行列式检测法
对于每个不同的l值，计算出汉格尔矩阵的行列式的平均值
Dl
H (l, k)的平均值 H (l 1, k)的平均值
Dl
画出Dl和l的关系图
l n0
Dl为最大时的l值是系统模型的合适阶次
2. 计算 J1 , J 2 ,... t1 , t2 ,...
3. 若 t(n0 1, n0 ) 3.00, t(n0 , n0 1) 3.00 则表示模型阶次从n0增加到n0+1，J减小已不明显
n
1
2
3
4
5
6
J 592.65 469.64 447.25 426.40 418.73 416.56
第7章 模型结构辨识
模型结构的判断问题 系统辨识中重要的一环
单输入-单输出系统 模型阶次 延迟时间
多输入-多输出系统 各种结构参数（状态模型的结构不变量）
1、纯滞后时间的确定
u(k)
B z d
A
1、模型结构的确定
y(k)
y(k) a1 y(k 1) ... an y(k n) b1u(k d 1) ... bnu(k d n)
hk l 1
hk l
hk l1
...
hk
2l
2
ll
推论：当
无噪声情况（扰动=0）
2、 Hankel矩阵定阶
定理(1964年Lee)： 若l大于系统的阶次n，则汉格尔矩阵的秩等于
系统的阶次n。
推论： 当l=n+1时，汉格尔矩阵的行列式为0
对于每个k值以及不同的l值，计算汉格尔矩 阵的行列式，可以判定模型的阶次n
由F分布表查得
F (2,100) 3.09 F (2,200) 3.04, F (2,300) 3.03 F (2,1000) 3.00 F (2, ) 3.00
在置信度 0.05 下，当N>100时，若模型阶次增
加1，则t至少大于3，J值的下降才明显。
3、残差平方和定阶
方法
1. 试探模型阶次n逐次的从n=1,2,…对模型参 数做出估计
向量形式
Y Φθ ε
LS估计
θˆ (ΦT Φ) 1 ΦT Y
残差
eˆ(k) y(k) yˆ(k)
指标函数
Jn
nN
eˆ
2
(k
)
kn 1
依次计算n=1,2,3,···时的指标函数Jn，并将其绘制成曲线。
3、残差平方和定阶
定阶原则：则随着n增大，J值是下降的。若n0为正确的阶次， 此时J值所在的点是曲线上最大的拐点，此后J值基本不变化或 变化很小。
t
50.94 9.67 9.43 3.15 0.99
依F检验法，系统模型阶次为3。
7.3 AIC信息准则(赤池，akaike)
4、AIC信息准则 1.AIC定阶原则
AIC准则定义为：
AIC 2lnL 2p
式中 L--是模型的似然函数； P--是模型中的参数个数。
定阶原则：AIC最小值所对应的n即为系统阶次。
7.2 用Hankel矩阵确定模型阶次
2、Hankel矩阵定阶 根据脉冲响应的采样值来判定模型的阶次
脉冲 系统
扰动
输出 h0 , h1,..., hN
汉格尔（Hankel）矩阵
hk hk1 hk2 ... hkl1
H
(l,
k)
hk 1
hk 2
hk 3
...
hk l
... ... ... ... ...
J1—模型阶次n1时的损失函数； J2—模型阶次n2时的损失函数
当N足够大是，t服从F(f1,f2)分布 自由度 f1 2(n2 n1 ), f 2 N 2n2
3、残差平方和定阶
t(n1 , n2 )
J1 J2 J2
N 2n2 2(n2 n1 )
令置信度 0.05 N 100,200,300,1000,
含义：使L最大时的最小的n值为模型阶次
2.AIC计算公式
4、AIC信息准则
(1) 白噪声情况
系统模型 a(z 1) y(k) b(z 1) u(k) e(k)
a(z 1 ) 1 a1z 1 an1z n1 b(z 1 ) b0 b1z 1 bn2 z n2
e(k)为服从正态分布的白噪声, 则似然函数为：
依上述原则，上述曲线模型阶次为3
3、残差平方和定阶
2.F检验法
实际工程应用时，在定阶过程中，并不是取Jn最小时n值， 作为系统模型的阶次，而是对在n增大过程中，使Jn显著 减小的n值感兴趣。
引入统计量t作为检验的准则
t(n1 , n2 )
J1 J2 J2
N 2n2 2(n2 n1 )
N--输入输出数据的组数；
7.3 用残差平方和判定模型的阶次
3、残差平方和定阶
定阶原理 计算不同阶次n辨识结果的估计误差方差，
按估计误差方差最小或最显著变化原则来确定模 型阶次n
按估计误差方差最小定阶 F检验法
实际工程中采用F检验法
3、残差平方和定阶 1.按估计误差方差最小定阶
系统差分方程
a(z 1 ) y(k) b(z 1 )u(k) ε(k)
L(Y
|
θ)
(2
πσσˆ
2 e
)
N
/
2
exp
1
2
σ
2 e
(Y
Φθ)T (Y
Φθ)
lnL
N 2
ln
2
π
N 2
lnσ
2 e
1
2
σ
2 e
(Y
Φθ )T
(Y
Φθ )
由
lnL θ
0
θˆ
(Φ
T
Φ)
1
ΦT
Y
lnL
σ
2 e
0
σˆ
2 e
1 N
eˆT eˆ
lnL(Y
|
θ)
N 2
lnσ
2 e
const
4、AIC信息准则
纯滞后时间一般式可事先已知的 阶跃响应曲线 计算输入与输出信号的互相关函数 比较不同纯滞后时间的损失函数 先辨识模型参数，再用F检验u(k)前面几项的零参数
1、模型结构的确定
2、模型阶次n的确定：
(1)按残差方差定阶 (2) AIC准则定阶 (3)按残差白色定阶 (4)零点-极点消去检验定阶 (5)利用行列式比定阶 (6)利用Hankel矩阵定阶