二次根式讲义

）
(A) －1
(B) 1
(C) 2a－7
(D) 7－2a
【例 8】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ (a b)2 的
结果等于（ ）
A．－2b
B．2b
C．－2a
b ao D．2a
举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简： a 1 (a 2)2 ______ ．
①单项二次根式：利用 a a a 来确定，如： a与 a ， a b与 a b ， a b 与 a b
等分别互为有理化因式。
② 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 。 如 a b 与 a b ， a b与 a b ，
a x b y与a x b y 分别互为有理化因式。
．[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
举一反三：
1、使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（ ） x4
A、x>3
B、x≥3
来自百度文库
C、 x>4
D 、x≥3 且 x≠4
2、如果代数式 m 1 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（ ） mn
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
（C） 2≤a ≤4
（D） a 2 或 a 4
【例 10】化简二次根式 a a 2 的结果是（ ） a2
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（A） a 2 (B) a 2 (C) a 2 (D) a 2
举一反三：1、把二次根式 a 1 化简，正确的结果是（ ） a
A. a
B. a
C. a
3.
a2
|
a|
a(a 0) a(a 0)
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式
a2
|a|
a(a 0) a(a 0)
与
(
a )2 a(a 0) 的区别与联系
A． 7
B． 3
C． 1 2
D． 2
【例 11】 举一反三： 1、下列根式不是最简二次根式的是( )
A. a2 1
B. 2x 1
C. 2b 4
D. 0.1y
2、在根式 1) a2 b2 ; 2) x ;3) x2 xy; 4) 27abc ，最简二次根式是（ ） 5
A．1) 2)
B．3) 4)
C．1) 3)
ab = a · b （a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a · b ＝ ab ．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
a = a （a≥0，b>0） bb
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
(2)
64b2 9a 2
(a 0,b 0)
(3)
9x 64 y2
(x 0, y 0)
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【知识要点】
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减， 被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把 同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
2、平方法
当 a 0,b 0 时，①如果 a2 b2 ，则 a b ；②如果 a2 b2 ，则 a b 。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】 【例 13】 把下列各式分母有理化
（1） 1 48
（2） 4 3 37
（3） 1 1 2 12
（4） 1 3 5 50
【例 14】把下列各式分母有理化：
．
举一反三：
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1、若 m 3 (n 1)2 0 ，则 m n的值为
。
二次根式的性质 2 （公式 ( a ) 2 a(a 0) 的运用）
【例 6】 化简： a 1 ( a 3)2 的结果为（ ）
A、4—2a B、0 举一反三：
C、2a—4 D、4
1、在实数范围内分解因式： x4 9 __________, x2 2 2x 2 __________
5
3
其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
a A、 a B、 10 C、 a 1 D、 2 1
2、在 a 、 a2b 、 x 1 、 1 x2 、 3 中是二次根式的个数有______个.
【例 2】若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x3
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二次根式复习讲义
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：
形如
的式子叫二次根式，其中 a 叫被开方数，只有当 a 是一个非负数时，
【典型例题】
才有意义．
【例 1】下列各式 1）
1 , 2) 5, 3) x2 2, 4) 4, 5) ( 1)2 , 6) 1 a, 7) a2 2a 1 ，
（1） 2 2 1
（2） 5 3 5 3
（3） 3 3 3 22 3
举一反三：
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1、已知 x 2 3 ， y 2 3 ，求下列各式的值：（1） x y （2） x2 3xy y2
2 3
2 3
x y
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
【典型例题】
【例 17】计算（1） 32 1 2
75 2 0.5 3
1 27
；（2）10
12 53
20
5 4
43 57
245 ；
【例 18】（3） 1 27a3 a2 3 3a a a 108a
3
a
34
（4） a
1 a
4b
a b 2
1 b
【例 19】1、 2 ab5 ( 3 a3b ) 3 b
（1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．
（2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
（3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的． 【典型例题】
题型一：二次根式的双重非负性
【例 5】若 a 2 b 3 c 42 0，则 a b c
【例 3】若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y=
解题思路：式 子
a
（a≥0），
x 5
5 x
0 ,
0
x 5 ，y=2009，则 x+y=2014
举一反三：
1、若 x 1 1 x (x y)2 ，则 x－y 的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
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a = a （a≥0，b>0） bb
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边， 同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例 15】化简
(1) 9 16
(3) 5 2 15
(3) 1 × 6 2 3 2
【例 16】化简：(1) 3 64
二次根式的性质 3 （公式
a2
a
a(a a(a
0) 0)
的应用）
【例 7】已知 x 2 ,则化简 x2 4x 4 的结果是（ ）
A、 x 2
B、 x 2
C、 x 2
D、 2 x
举一反三：
1、根式 (3)2 的值是( )
A．-3
B．3 或-3
C．3
D．9
2、若 a－3＜0，则化简 a2 6a 9 4 a 的结果是（
【典型例题】
【例 21】 比较 3 5 与 5 3 的大小。
【例 22】比较 2 与 1 的大小。 3 1 2 1
【例 23】比较 15 14 与 14 13 的大小。
【例 24】比较 7 3 与 87 3 的大小。
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a
1 0 1 2
【例 9】化简 1 x x2 8x 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是（ ）
（A）x 为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1
（D）x≤1
举一反三：若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（ ）
（A） a≥4
（B） a ≤ 2
b
2
a
2、 1 x2 y ·（-4 y2 ）÷ 1 x2 y
3
x6
3、 ( 72 2 ) 3 7 6 2 3
4、 (2 6 5)10 (2 6 5)11
）
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【例 20】求
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的值．
【知识要点】
知识点七：根式比较大小
1、根式变形法 当 a 0,b 0 时，①如果 a b ，则 a b ；②如果 a b ，则 a b 。
D．1) 4)
3、把下列各式化为最简二次根式：
(1) 12
(2) 45a2b
【例 12】下列根式中能与 3 是合并的是( )
A. 8
B. 27
举一反三：
C.2 5
D. 1 2
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1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A、 3和 18 B、 3和 1 3
C、 a2b和 ab2
D、 a 1和 a 1
2、若 x、y 都是实数，且 y= 2x 3 3 2x 4 ，求 xy 的值
【例 4】已知 a 是 5 整数部分，b 是 5 的小数部分，求 a 1 的值。 b2
举一反三：
1、若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
。
知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性： a (a 0) 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ( a )2 a(a 0) ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： a ( a )2 (a 0)
D. a
【知识要点】 1、最简二次根式：
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即 可以合并的两个根式。 【典型例题】 下列根式中，不．是．最简二次根式的是（ ）
2 、 在 二 次 根 式 ： ① 12 ； ②
是
。
23 ； ③
2 ； ④ 27 中 ， 能 与 3 合 并 的 二 次 根 式 3
知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因 式。有理化因式确定方法如下：