沪教版七年级下册 -全等三角形2-学生版讲义

（D）两个等边三角形全等.
6．下列条件能判定△ABC≌△DEF 的一组是（ ）
（A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF; （B）AB=DE，BC=EF,∠A=∠D
（C）∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F;（D）AB=DE，△ABC 的周长等于△DEF 的周长
7．已知，如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个 （
~1~
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E
D
题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件 分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 例 1 已知：如图 1，CE⊥AB 于点 E，BD⊥AC 于点 D， BD、CE 交于点 O，且 AO 平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
3.如图，AC、BD 是矩形 ABCD 的对角线，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E，则图中与△ ABC 全等
的三角形共有（ A．1 个
） B．2 个
C．3 个
D．4 个
A
D
B
C
~E 3 ~
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4.在△ ABC 和 ABC中，∠C＝ C ，且 b-a= b a ,b+a= b a ,则这两个三角形（ ）
（2）条件不足，会增加条件用判别方法
此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等
的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答
案．
A
例 2 如图 2，已知 Biblioteka BaiduB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，
1
DE，连接 AE、CE，△ ADE 的面积为 3，则 BC 的长为
．
7.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG，点 E、F 分别在 AG 上， 连接 BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. (1)证明：△ ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求 EF 的长.
~4~
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A
D
1 4
E
3
F 2
B
C
G
精解名题
例 1. 已知：如图 ，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC，D 为 BC 的中点，CE⊥AD 于 E，交 AB 于
F，连接 DF． 求证：∠ADC=∠BDF．
C
ED
A
F
B
G
例 2. 如图 ，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于 E． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD．
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
找夹角（SAS）
已知两边找直角（HL）
找第三边（SSS）
若边为角的对边，则找任意角（AAS）
已知一边一角边为角的邻边找找已已知知边角的的对另角一（边A（ASSA）S）
找夹已知边的另一角（ASA）
已知两角找找任两意角一的边夹（边A（AASS）A）
① AB DE，BC EF，AC DF ；② AB DE，B E，BC EF ； ③ B E，BC EF，C F ；④ AB DE，AC DF，B E ． 其中，能使 △ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
2. 如图， △ACB ≌△ACB ， BCB =30°，则 ACA 的度数为（ ）
1
3
B
O
2
4
C
（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等， 一般需要作辅助线来构造全等三角形．
C ED
~2~
A F 创新三维学习法让您全面发展 B G
（见例 1）
说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方 法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对 全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形． 热身练习 1.如图，给出下列四组条件：
（A）BC=EF （B）∠A=∠D （C）AC∥DF （D）AC=DF
~6~
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A
D
C
A
O
B
B
E
C
F
D
（第 2 题图）
（第 3 题图）
3．已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论，不．正确的是（
）
（A）CO=DO （B）AO=BO （C）AB⊥BD （D）△ACO≌△BCO
8. 如图，已知△ABC 的周长为 21，OB，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 与 D，且 OD=3，求△ ABC 的面积。
9. 如图，已知 AC 平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD.
~9~
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4．在△ABC 内部取一点 P 使得点 P 到△ABC 的三边距离相等，则点 P 应是△ABC 的哪三条线交点（ ）
（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）垂直平分线已知
5．下列结论正确的是 （
）
（A）有两个锐角相等的两个直角三角形全等；
（B）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
（C）顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；
例 3．如图，在 ABC 中，AB BC CA, AE CD, AD 、BE BQ AD 于 Q .求证:(1) ABE CAD; (2) BP 2PQ
A
FE C
D B
相交于 P 点，
~5~
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备选例题
例：如图：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD 的延长于 E 。
三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的
角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么
我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？
（1）条件充足时直接应用
在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考
）
（1）AD 平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD；
B E
（3）BD=CD；
（4）AD⊥BC．
（A）1 个
（B）2 个
A
D
FC
（C）3 个
（D）4 个
8. 如图，AB∥CD，E 为 AD 上一点，且 BE、CE 分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．
F
D
E
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~7~ A
H
B
GC
自我测试 1.根据下列条件，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ A ） （A）AB=DE,BC=EF, ∠A=∠D; （B）∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF; （C）∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF; （D）AB=DE,BC=EF, ∠B=∠E. 2.如图 1-92 所示，已知 AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，图中全等三角形有（ ） （A）3 对 （B）4 对（C）5 对 （D）6 对 3.如图 1-93 所示，已知△ABD 和△ACE 都是等边三角形，那么△ADC≌△ABE 的根据是（ ） （A）边边边（B）边角边 （C）角边角（D）角角边 4.如图 1-94 所示，已知在△ABC 中, ∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E， AB=8cm，那么△DEB 的周长为（ ）
6. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（
）
（Ａ）三条中线的交点
（Ｂ）三条高的交点
（Ｃ）三条边的垂直平分线的交点
（Ｄ）三条角平分线的交点
7．.如图，在△ABC 中，∠B=60°，AD,CE 分别平分∠BAC, ∠BCA,且 AD 与 CE 的交点为 F，求证 FE=FD.
~8~
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A.不一定全等
B.不全等
C.全等，根据“ASA” D. 全等，根据“SAS”
5. 如图，已知△ ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ ABC 全等的图形是（ ）
（A）甲乙
（B）甲丙
（C）乙丙
（D）乙
6.如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至
求证：BD＝2CE。
F
证明：
A
E
D
1
2
B
C
巩固练习
1.如图，已知 AB AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC ≌△ADC 的是（ ）
A． CB CD
B．∠BAC ∠DAC C．∠BCA ∠DCA D．∠B ∠D 90
2．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE （ ）
（A）4cm （B） 4 2 cm （C）6cm （D）8cm
A
F
D
O
B
E
C
图 1-92
D
A
E
B
C
图1 -9 3
A
E
C
D
B
图1 - 9 4
5. 具有下列条件的两个三角形，不可以证明它们全等的是（ ）
（A）两角相等，且其对应角所对的边也相等; （B）两角相等，且有一边也相等;
（C）一边相等，且这边上的高也相等; （D）两边相等，且其中一条对应边的对角相等。
初中数学备课组
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班级 初一
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上课时间 ：
全等三角形 2
知识精要
1．判定和性质
一般三角形
直角三角形
边角边（SAS）、角边角（ASA） 具备一般三角形的判定方法 判定
角角边（AAS）、边边边（SSS） 斜边和一条直角边对应相等（HL）
对应边相等，对应角相等 性质
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
2
还需添加的条件是（只需填一个）_____．
B
D
E
（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法
C
在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，
A
使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．
例 3 已知：如图 3，AB=AC，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC．