平面的法向量 ppt课件

2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1， 则侧棱与底面所成的角为( C )
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底 面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝ OD，则直线BC与平面PAC所成的角是 __3_0_°______．
4. 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB ＝BC＝2，AA1＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所
例2、设平面α的法向量为(1, 2, －2),平面β 的法向量为(－2, －4, k),
若α//β，则k=
4；
若α⊥β, 则 k= －5 。
练习 1、已知l//α，且l的方向向量为(2, m, 1)， 平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= －8 .
2
2、已知l⊥α，且l的方向向量为(2, 1, m), 平面α的法向量为(1, 1 , 2), 则m= 4 .
BM 1 BD, AN 1 AE ,求证： MN // 平面 CDE
3
3
z F
E
N A
B
M
x
D y
C
证明：建立如图所示空间坐标系，设 AB, AD, AF 长分别为 3a, 3b, 3c
NM NA AB BM (2a,0,c) 又平面 CDE 的一个法向量 AD (0,3b,0) 由 NM AD 0 , 得到 NM AD 因为 MN 不百度文库平面 CDE 内, 所以 NM//平面 CDE.
m 上分别取非零向量 n, a, b, m ，
因为 a 与 b 相交，由共面向量定理可知，存在
惟一的数对(x，y)，使 m xa yb ， n m xn a yn b ，由已知 n a 0, n b 0 ，所以 n m 0 ，即 n⊥m.
因为直线 n 垂直于平面 α 内的任一直线，所以 直线 n 垂直于平面 α.
3.2.2 平面的法向量与 平面的向量表示
已知平面α，如果向量 n 的基线与平面α
垂直，则向量 叫n 做平面α的法向量或说 向量 与n 平面α正交。
由平面法向量的定义可知，平面α的一个 法向量垂直于与平面共面的所有向量。
由于同时垂直于同一平面的两条直线平 行，可以推知，一个平面的所有法向量互 相平行。
三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一 条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的 射影垂直。
1．已知平面α内有一个点M(1, －1, 2)，
平面α的一个法向量是 n ＝(6,－3, 6)，
则下列点P中在平面α内的是( A ) A．P(2, 3, 3) B．P(－2, 0, 1) C．P(－4, 4, 0) D．P(3,－3, 4)
现在我们来研究问题：
设 A 是空间任一点， n 为空间任一非零向量，
问适合条件 AM n 0 ① 的点 M 的集合构成
什么样的图形？
容易看出，如果任取两点 M1，M2(M1，M2 和 A
三点不共线)，且 AM1 n 0, AM2 n 0 ，
n
则 n ⊥平面 AM1M2.
M1
M
A
M2
由直线与平面垂直的判定定理，就可以 推知，在平面AM1M2内的任一点M都满足 条件①式，
成角的正弦值为( D )
A.
6 3
B.2 5 5
C.
15 5
D.
10 5
5 ． 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ， ACB 900 , BAC 300 , BC 1, A1 A 6, M 是 CC1 的中点。 求证： A1B AM
6．如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF 所在平面 互相垂直，点 M , N 分别在对角线 BD, AE 上，且
2
例3．已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，
C(0，0，c)，其中abc≠0，如图，求平面
ABC的一个法向量。
z C
n =(bc，ac，ab)
n
O x
y B
例4．已知：AB，AC分别是平面α的垂线
和斜线，BC是AC在α内的射影，l α且
l⊥BC，求证：l⊥AC.
三垂线定理
A
B
lv C
证明：取向量 v / /l ，则 v / / ，且 v BC ，
由平面法向量的性质，很容易通过向量 运算证明直线与平面垂直的判定定理。
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面的两条相交直线垂 直，那么这条直线垂直于这个平面。
已知: a、b是平面α内
的两条相交直线，且
直线n⊥a，n⊥b， n
l
求证：n⊥α.
c ba
n
n
b
mm
b
a
a
证明：设 m 是平面 α 内任意一条直线，在 n，a，b，
因为 AB⊥α，l α，所以 v AB ，
又因为 AC AB BC ，
所以 AC v (AB BC) v AB v BC v 0 ，
因此 v AC ，所以 l⊥AC.
A
B
lv C
三垂线定理: 如果在平面内的一条直线与平面的一条 斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这 条斜线垂直。 类似地可以证明
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中, E, F分别 是BB1, CD中点，求证：D1F⊥平面ADE.
证明：设正方体棱长为 1，建立如图所示坐标系
D－xyz, DA (1,0,0) , DE (1,1, , 1) ，
2
因为
D1 F
(0,
1 2
,1)
所以 D1F DA 0, D1F DE 0 ，
又知满足条件①的所有点M都在平面 AM1M2内。
这就说明，我们可以用①式表述通过空 间内一点并且与一个向量垂直的平面。① 式通常称为一个平面的向量表示式。
设 n1, n2 分别是平面 α，β 的法向量，则容易 得到 α//β 或 α 与 β 重合 n1 / /n2 ，
n1 n2 n1 n2 0 。
D1F DA, D1F DE
DE DA D ，所以 D1F 平面 ADE
8．如图，在底面是菱形的四棱锥P—AB CD 中, ∠ABC=60°,PA=AC=a, PB=PD= 2 a, 点 E在PD上, 且PE:ED= 2: 1. 在棱PC上是否存 在一点F, 使BF∥平面AEC ? 证明你的结论。
于是我们就可以利用向量的平行或垂直的条 件，来讨论平面的平行或垂直。
例1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根
据下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交