平面的法向量

g = xm + yn , l g = xl m + yl n , l
∵ l m = 0, l n = 0 , ∴ l g = 0, 即l ⊥ g .
g l m
m
n
n g
l ∴ l ⊥ g , 即 l 垂 直 于 平 面 α内 任 一 直 线 . ⊥ α .
6.有关平面的斜线概念， 6.有关平面的斜线概念， 有关平面的斜线概念 三垂线定理及其逆定理 P104
答：a⊥PO
为什么呢？ 为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α a α
P
PA⊥a ② a⊥平面PAO
AO⊥a PO 平面PAO
①
③
a⊥PO
a α A o
数式板书
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 三垂线定理描述的是PO(斜线) AO(射 PO(斜线 影)、a(直线)之间的垂直关系。 a(直线 之间的垂直关系。 直线) 2、a与PO可以相交，也可以异面。 PO可以相交，也可以异面。 可以相交 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 平面内的一条直线垂直的判定定理。 4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五 三垂线定理的图形是由“四线一面” 个部件组成——垂线 斜线、射影、面内一线、 垂线、 个部件组成——垂线、斜线、射影、面内一线、 平面
高中数学选修2 高中数学选修2－1
3.2.2平面的法向量与 3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示
沈阳二中
平面的向量方程
提问： ， ， ，三点不线，四点A， ， ， 提问：A，B，C，三点不线，四点 ，B，C，M 共面的充要条件是： 共面的充要条件是：
AM = x AB + y AC ,( x, y ∈ R)
3 取 x = 4 ,则 n = (4, 3, 6) y = 4 x ∴ 的一个法向量. z = 3 x ∴ n = (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量. 2
5.求平面法向量的方法： 求平面法向量的方法： 求平面法向量的方法 ⑴设平面的法向量为 n = ( x , y , z ) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 找出(求出)
练习 1： 已知 AB = (2, 2,1), AC = (4, 5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量. 单位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z )
n 则 n ⊥ AB ， ⊥ AC . ( x , y, z ) (2, 2,1) = 0 2 x + 2 y + z = 0 y = 2 x ∴ 即 ∴ ① ( x, y, z ) (4,5, 3) = 0 4 x + 5 y + 3z = 0 z = 2 x 1 2 2 2 ②∴由①②得 ∵ x + y + z = 1 ②∴由①②得 x = ± 3 1 2 2 1 2 2 单位法向量 法向量为 ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( ， ，） ( ，， ） 或 . 3 3 3 3 3 3
坐标 a = ( a1 , b1 , c1 ), b = ( a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
n a = 0 组 待定系数法 n b = 0 解方程组,取其中的一个解,即得法向量. ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
1 2 2 1 2 2 ( ， ，） ( ， ， ） 或 . 3 3 3 3 3 3
4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件 两平面平行或重合、
e1
n1
l1
α
l1 // α1或l1在α1内
e1 ⊥ n1 e1 n1 = 0
教材未提
l
e1
n1
α
l1 ⊥ α1 e1 // n1 e1 = λ n1
教材未提
n 1
α
1
n 2
α
2
α1 // α 2或α1与α 2重合
n1 // n2 n1 = λ n2
什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
PO是平面 的斜线, PO是平面α的斜线, 是平面α 是平面α O为斜足; PA是平面α 为斜足; PA是平面
P o α A a
的垂线, A为垂足 的垂线, A为垂足; AO 为垂足; 是PO在平面α内的射 PO在平面 在平面α 影. 如果a 如果a α, a⊥AO， a⊥AO， 思考a PO的位置关 思考a与PO的位置关 系如何？ 系如何？
∴a PA = a ( PO + OA)
P
= a PO + a OA =0 ∴ a ⊥ PA, 即l ⊥ PA
l
分析:逆定理 分析 逆定理 同样可用向量,证明思路几乎 同样可用向量 证明思路几乎 一样,只不过其中的加法运算 一样 只不过其中的加法运算 用减法运算来分析. 用减法运算来分析
P a α A o
数式
另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量 的数量积为零. 的数量积为零.
在平面内的一条直线, 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知:如图, PA 的垂线、 ， 斜线， 已知:如图, PO 、 分别是平面 α 的垂线、 斜线 内的射影， AO 是 PA 在平面 α 内的射影， l α ，且 l ⊥ OA ， 求证： 求证： l ⊥ PA P 分析： 分析： 用向量来证明两直线 垂直， 垂直， 只需证明两直线的方 a O A 向向量的数量积为零即可！ 向向量的数量积为零即可！ l
已知直线m 是平面 内的两条相交直线, 例:已知直线 ,n是平面 α 内的两条相交直线 已知直线 求证: 如果 l⊥m, l ⊥n,求证 l ⊥ α . 求证 内作不与m 重合的任一直线 重合的任一直线g,在 解: 在α 内作不与 ,n重合的任一直线 在 l , m , n, g 相交,故向量 上取非零向量 l , m , n , g ,因m与n相交 故向量 ,n 与 相交 故向量m 不平行,由共面向量定理 由共面向量定理,存在唯一实数 不平行 由共面向量定理 存在唯一实数 ( x, y ) ,使 使
三垂线定理
例题分析： 例题分析： 1、判定下列命题是否正确 (1)若 是平面α的斜线、直线b垂直于a (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 内的射影， a⊥b。 ( ×)
(2)若 是平面α的斜线， 是平面α内的直线， (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 垂直于a 内的射影， a⊥b。 ( ×)
试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理 例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理 试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m 是平面 内的两条相交直线, 已知直线 ,n是平面 α 内的两条相交直线 求证: 如果 l⊥m, l ⊥n,求证 l ⊥α . 求证 分析： 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直, 垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直. 任意一条直线都垂直. 都垂直
图示： M C A B
α
OM = (1 x y )OA + xOB + yOC
1.直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 平面的法向量：
α
如果向量 n 的基线与平面 α 垂直，则向量 n 叫平面α 的法向量。 几点注意： 几点注意：
1.法向量一定是非零向量 法向量一定是非零向量; 法向量一定是非零向量 2.一个平面的所有法向量都 一个平面的所有法向量都 互相平行; 互相平行 3.向量n 是平面的法向量，向 向量 是平面的法向量， 与平面平行或在平面内， 量m 与平面平行或在平面内， 则有 n m = 0
α
2
n 2
n 1
α
1
α1 ⊥ α 2 n1 ⊥ n2 n1 n1 = 0
已知不共线的三点坐标, 已知不共线的三点坐标 ,如何求经过这三点的平面的 一个法向量? 一个法向量? 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , 的一个法向量. C (0, 0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n = ( x , y , z) n 则 n ⊥ AB ， ⊥ AC .∵ AB = ( 3, 4, 0) , AC = ( 3, 0, 2) ( x , y , z ) ( 3, 4, 0) = 0 3 x + 4 y = 0 ∴ 即 ( x , y , z ) ( 3, 0, 2) = 0 3 x + 2 z = 0
所在平面互相垂直， 如图， 例 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上，且 BM = BD, AN = AE， 3 3 求证： 求证：MN // 平 面 CDE 简证：因为矩形 和矩形ADEF 简证：因为矩形ABCD和矩形 和矩形 F 所在平面互相垂直，所以AB， ， 所在平面互相垂直，所以 ，AD， AF互相垂直。以 AB， ， 为正交 互相垂直。 互相垂直 AD AF 基底，建立如图所示空间坐标系， 基底，建立如图所示空间坐标系， A 长分别为3a， ， ， 设AB,AD,AF长分别为 ，3b，3c， 长分别为 B 则可得各点坐标， 则可得各点坐标，从而有