数形结合例题选集
(完整版)数形结合练习
1 / 2数形结合练习一．选择题：1．向高为 H 的水瓶中灌水，注满为止，假如灌水量 v 与水深 h 的函数关系以以以下图，那么水瓶的形状是2．已知定义在R 上的偶函数 f(x)在（ 0， +∞）上是增函数且 f( 1)＝0 则知足3f (log 1 x) ＞0 的 x 的取值范围是8（A ）{ 1} ∪(2, +∞ ) （ B ）(0,1)（C ）(0, 1)∪ (2, +∞) （D ） (2, +∞ )2223．方程 lgx=sinx 的根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）无数个4．函数 y ＝a|x|和 y= x+a 的图像恰巧有两个公共点，则实数 a 的取值范围为（A ）(1, +∞ ) （ B ）(－1, 1) （C ）(－∞ , －1) （D ）(－∞ , － 1)∪(1, +∞) 5．已知 0<a<1，方程 a |x| | log a x | 的实数根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）以上都有可能 ．若不等式2－log a ＜ 0在 (0, 1 内恒建立 ,则 a 的取值范围是6x x )2（A ）[ 1, 1)（ B ） (0, 1)（C ） ( 1, 1) （D ）(0, 1)1616167．代数式 x 2 y 2 x 2( y 1)2( x 1) 2 y 2(x 1) 2( y 1)2 的最小值为（A ）2 （B ）2 2（ C ）4 （D ）4 2．函数 ＝ sin2x+acos2x 图像的一条对称轴为 x ＝－，那么 a 等于8 y8（A ） 2（ B ）－ 2（ C ）1 （D ）－ 19．直线 y=a （a ∈R ）与曲线 y ＝ cot(ωt)，（ω＞ 0）的相邻两交点之间的距离是（A ）k（B ）2（ C ） （D ）以上都不对二．填空题：1．已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 分别为（－ 1，1）和（ 2, 2），若直线 l ：x+my+m=0 与 PQ 的延伸线订交，则 m 的取值范围是 . 2．若直线 l ：y ＝kx+1 与曲线 c ：x ＝y 2 1 只有一个公共点，则实数 k 的取值1范围是.3．函数 y=23x 的值域是1x4．若 a ∈ (0,1) ，则T＝ sin(1+a) ， T =sin(1－ a), T =cos(1+a) 的大小关系1232为．5．方程 |x－ |2x+1||=1 的不一样样样实根的个数为.6．函数 u＝2x 15 2x 的最大值是.三．解答题：．已知+十 3的最大值 .）, 求 2a b14a+9b＝10（a，b∈6 R2．假如对于x 的方程sinx+acosx= 2 恒有解，务实数 a 的取值范围3．已知函数 f(x)=ax2－c 知足一 4≤f(1)≤－ 1，－ 1≤f(2)≤5，求 f(3)的范围．4．已知 a ≥0, b≥0, a+b=1，求证：a1b 1≤2.225．若 A={ x| －2≤x≤a} ， B={ y| y＝2x+3，x∈A}, C＝{ z| z=x2, x∈ A} ，若 C B，求 a 的值．6．已知抛物线 C：y＝－ x2+mx－1，点 A（3，0）， B(0, 3), 求抛物线 C 与线段AB 有两个不一样样样交点时 m 的范围．22 / 2。
数形结合的几个经典题
数形结合1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。
2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.。
3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。
于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。
4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a2－b2；而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，其面积为()()()()))((22babababababa-+=-++-+。
于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。
5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2，从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。
6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。
数形结合例题例1在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b，所以面积为（a-b）2；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（a+b）2，a ba －baba －b甲乙每个长方形的面积为ab ，所以空白部分面积为（a +b ）2-4ab ．因此有恒等式（a +b ）2-4ab =（a -b ）2成立．故填（a +b ）2-4ab =（a -b ）2．例3 图4是由一个边长为a 的正方形与两个长、宽分别为a 、b 的小长方形拼接而成的长方形ABCD ，则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意三个等式______、______、_______．析解：读懂题意，观察图中数据关系是关键，其次利用面积写出代数式，．根据图形的组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如： a 2+2ab =a （a +2b ）；a （a +b ）＋ab =a （a +2b ）； a （a +2b ）-a （a +b ）=ab ；a （a +2b ）-ab =a （a +b ）； a （a +2b ）-a 2=2ab ；a （a +2b ）-2ab =a 2．数形结合解题1.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A()222b 2ab a b a +-=- B.()2222b ab a b a ++=+C()()22b a b -a b a -=+D.()ab a b a a -=-22.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--= B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-3.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A ．2m +3B ．2m +6C ．m +3D ．m +64.七年级学生小明剪出了多张如图⑴中的正方形和长方形的卡片，利用这些卡片他拼成了如图⑵中的大正方形，由此验证了我们学过的公式：2222)(b ab a b a ++=+．现在请你选取图⑴中的卡片（各种卡片的张数不限），并利用它们在图⑶中拼出一个长方形，由此来验证等式：2232)2)((b ab a b a b a ++=++．（请按照图⑴中卡片的形状来画图5.数形结合是一种重要的数学方法，，你能利用这种方法把算式(2a+b)(a+2b)=2a 2+5ab+2b 2的合理性解释清楚吗？aab b⑴（2）（3）。
数形结合的题目
数形结合的题目1. 已知一个圆的面积为 $\pi$，求它的周长。
解：圆的面积为$\pi r^2$，所以$r=1$。
周长为$2\pi r=2\pi$。
2. 在一个边长为 $1$ 的正方形中，一只苍蝇从一个角爬到另一个角，求苍蝇爬行的最短距离。
解：由于正方形的两条对角线相等，所以苍蝇从一个角到另一个角的最短距离为对角线的长度，即 $\sqrt{2}$。
3. 已知一个等边三角形的周长为 $6$，求其面积。
解：设该三角形的边长为 $a$，则 $a\times 3=6$，即 $a=2$。
由于该三角形是等边三角形，所以它的高等于边长的一半，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。
所以该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 在一个正方形中，一条对角线被分成两段，比为 $3:4$。
求正方形的边长。
解：设正方形的边长为 $a$，则对角线的长度为 $\sqrt{2}a$。
由于对角线被分成的两段比为 $3:4$，所以两段分别为$\frac{3}{7}\sqrt{2}a$ 和 $\frac{4}{7}\sqrt{2}a$。
根据勾股定理，我们得到$(\frac{3}{7}\sqrt{2}a)^2+(\frac{4}{7}\sqrt{2}a)^2=(\sqrt{2}a)^2$，化简得 $a=7$。
5. 已知半径相等的两个圆相切，其中一个圆的面积为$16\pi$，求另一个圆的面积。
解：由于两个圆相切，所以它们的切点处连线的长度等于两个圆的半径之和，即 $r+r=2r$。
设另一个圆的面积为 $S$，则$S=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2$。
设第一个圆的面积为 $16\pi$，则 $\pi r^2 = 16\pi$，即 $r=4$。
所以另一个圆的面积为 $3\pir^2=3\times 16\pi=48\pi$。
数形结合找规律试题集锦.doc
判断题1.销售统计表毛利成本分析不正确的可能是由于“销售出库单”在存货系统已审核，但在销售系统中发货单还未生成“销售发票”，从而造成销售与成本不匹配。
答案:False2.销售管理中发货开票勾对表统计出客户的收款情况，作为客户信用的评估依据。
答案:False3.发货开票勾对表可以统计发货、开票、收款情况等，其中收款情况来自应收系统的核销数据。
答案:True4.发货统计表只能统计发货的数量，但不能统计发货已结算（开票）部分的数量。
答案:False5.销售统计表能够提供销售金额、折扣、成本、毛利等数据，其存货成本数据来自存货系统。
答案:True6.退货明细表与销售综合统计表均有是否退货过滤项，劳务收入统计表和发货统计表具有按按劳务过滤的功能。
答案:False7.存货核算中填制出库调整单，在收发存汇总表金额已被调整，但此单据未回写到销售统计分析表中去。
可能的原因是由于销售出库调整单上的部门、客户等信息不全。
答案:True8.销售统计表中以前各月都可以显示本期成本，但是本与月不能显示成本金额，可能是存货中单据没有记账，全月平均的仓库未进行期末处理。
答案:True9.发货统计表中可以查询到去年已发货未开票的发货单。
答案:True10.销售账表，对于其中的数字型栏目，系统默认按照一定的数字格式显示，但可以修改。
答案:True11.销售综合统计表可以按货物、客户、部门三种方式进行货龄分析，分析。
答案:False12.查询发货单开票情况的做法还可通过发货单列表，设置出结算数量来查询相关数据。
答案:True13.销售成本只有到存货核算系统月末结账后才能取得准确的数据。
答案:True14.发货统计表可以统计存货的发货、开票、结存业务数据信息，其开票数据来自与发货单相关联的销售发票、销售调拨单、零售日报及其红字单据。
答案:True15.销售统计表能够提供销售金额、折扣、成本、毛利信息，其成本来源于《存货核算》的存货明细账。
小学数学数形结合练习题
小学数学数形结合练习题题目一：数形结合的认知训练1. 看图填空：(a) 在图中，将所有的三角形标记一下。
(b) 将你周围的物体，如书桌、椅子等尽可能多地找出正方形、长方形和圆形，并分别写下它们的名称。
2. 计算下列各图形的周长和面积：(a) 根据提供的边长，计算正方形的周长和面积。
(b) 根据提供的长和宽，计算长方形的周长和面积。
(c) 根据提供的半径，计算圆形的周长和面积。
(d) 尝试设计一个你认为面积最大的正方形，画出它的示意图，并计算周长和面积。
3. 图形转换：(a) 请将以下图形按照标号进行旋转，并写出每个旋转后的图形名称。
图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形(b) 请将以下图形按照标号进行翻转，并写出每个翻转后的图形名称。
图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形4. 找规律：(a) 请观察以下数字序列，找出其规律，并写出下一个数字：1, 4, 9, 16, ...(b) 请观察以下形状序列，找出其规律，并画出下一个形状：△, □, ○, ▽, ...5. 图形拼凑：(a) 使用提供的拼图块，组合成一个正方形。
(b) 使用提供的拼图块，组合成一个长方形。
(c) 使用提供的拼图块，组合成一个圆形。
6. 图形推理：给出以下图形的排列顺序，请写出图形编号，并解释其排列规律。
图1：▽图2：□ 图3：○ 图4：△题目二：数形结合的实际应用1. 实际问题运用：(a) 小明家花园的形状是长方形，长为8米，宽为5米，他要在花园的四周围上一圈砖。
砖的规格是2米长、1米宽，请问他需要多少块砖？如果砖的价格是每块20元，他需要多少钱？(b) 小红的家有一个圆形的花坛，直径是3米。
她想在花坛周围种植一圈花草，每株花草之间的间距是20厘米。
她需要多少株花草？题目三：数形结合的解决问题能力训练1. 智力题：(a) 小明手上有12枚硬币，其中有一个是假币，假币的重量比真币轻。
小明有一个天平，最多能使用3次天平，能否找出假币？如果能，请写出解决方法；如果不能，请解释原因。
数形结合专项训练(含答案)-
数形结合专项训练一、选择题1．有理数a，b在数轴上的对应点如图1所示，则│a│+│a+b│-│b-a│等于（）A．2b+a B．2b-a C．a D．bba c0a(1) (2)2．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图2所示，则下列关系式中成立的是（）A．c+b>a+b B．bc>ab C．b-c>a-c D．ca>ba3．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2003应在（• ）A．○A位 B．○B位 C．○C位 D．○D位4．a，b为数轴上的两个数，且a在b的右边，那么a+b（）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定5．数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是4，这两个数是（）A．0和4 B．0和-4 C．2和-2 D．4和-46．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图3所示，则下列结论中正确的是（）A．b>a B．│a│>-b C．│b│>-a D．│a│>│b│(3) (4) (5)7．有一个密码系数，其原理如下面的杠图所示：输入x → x+6 →输出，当输出的结果为10时，则输入的x为（）A．4 B．-4 C．16 D．-16二、填空题8．已知a，b，c•在数轴上的位置如图4所示，•用“<•”或“>•”连接，•则a-b_____0，abc_______0，b_______c．9．数a，b在数轴上的位置如图5所示，则│b│_____│a│．（填“>”“<•”或“＝”）10．m，n都是负数，n比m大，那么在数轴上，m，n都在原点的________侧，m点比n•点距离原点______．11．若x<y<0，则（x+y）（x-y）的符号为______，（x+y）·（x-y）的符号为____，（x-y）（y-x）的符号为_____．三、解答题12．如图所示，小丽在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试确定墨迹盖住的整数共有几个？13．如图所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，•如果小颖输入2后，所得的结果为5，这个计算装置中究竟是怎样进行计算的呢？•若小颖输入的数为x，请你用x表示运算规则．（至少写出三种运算规则）14．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A后，继续向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据点C在数轴上的位置，说明点C可以看作是蚂蚁从原点出发，•向哪个方向爬行了几个单位长度得到的．答案:1．C [提示：由图可知a<0，a+b<0，b-a>0，所以│a│-│a+b│-│b-a│=-a+（a+b）-（b-a）=-a+a+b-b+a=a，故选C．] 2．B [提示：由图可知，a>0，b>0，因为a>c，所以a+b>c+b，故A错；因为b<a，•所以b-c<a-c，故C错；因为c<b，a>0，所以ca>ba，故D错，因为bc>0，ab<0，所以bc>ab，故选B．]3．B [提示：由图可观察到：A位置的数为4n+2；B位置的数为4n+3；C位置的数为4（n+1）；D位置的数为4n+5（n为自然数），而2003=4×500+3，故2003应在B位置，故选B] 4．D [提示：因为a在b的右边，所以a+b>0或a+b<0或a+b=0，故大小不能确定，应选D] 5．C [提示：因为互为相反数的两个点之间的距离为4，而2和-2既互为相反数，又│2│+│-2│=4，故选C．]6．C [提示：由图可知0<a<1，b<-1，所以b>a错误；│a│-b错误；│a│>│b│也错误，│b│>-a正确，故选A．]7．A [提示：由图可知输入的x与6的和为10，则x=4，故选A．]8．> > > [提示：由图可知，a>0，b<0，c<0，且│a│>│b│．]9．> [提示：从图中可以看到a>0，b<0，所以a>b．]10．左远 [提示：因为m<n<0，所以m，n都在原点左侧，但m点比n点距离原点远．] 11．正负负 [提示：因为x<y<0，所以x+y<0，x-y<0，所以（x+y）（x-y）>0，•即符号为正，同样可得（x+y）（y-x）及（x-y）（y-x）的符号为负．]12．解：原点左边的-1的负号被盖住，-6．3与-1之间有5个整数，0与4．1之间有4个整数，所以共有9个整数．13．解：能用x表示运算规则：如2x+1，x2+1，3x-1．14．解：（1）点A表示4，点B表示6，点C表示-4．（2）点C是蚂蚁从原点出发向左爬行了4个单位长度得到的．。
高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解
高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =−，由()0g x =得2log x x =−.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =−的图像， 由图像知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例2、（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a a f a −=−．易知1e ex x y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图像，如图所示，则两图像交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例3、（2023·全国·高三专题练习）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x −'=>， 由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0x f x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln e πe<， 所以eln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 在同一坐标系中作出xy =与y x =的图像，如图：由图像可知在()2,4中恒有x x >， 又2π4<<，所以ππ>， 又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以e πe πe π=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例3、（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()lng x x =，()31h x x =−的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=， 由题意可得：1ln a α=， 令()1ln G x x x=−，则α为()G x 的零点， 可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->， ∴()1,e α∈；又∵()31h x x =−，则()23h x x '=， 由题意可得：3213ββ−=，令()3231H x x x =−−，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=−=−，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞−，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈−∞时，()()010H x H ≤=−<，则()H x 在(),2−∞内无零点， 当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =−<=>，则()3,4β∈， 综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.。
关于数形结合的高考题
1. 题目：一个正方形的边长为2cm，一条与其边平行的线段将该正方形分成两个小正方形和两个等边三角形。
求线段的长度。
答案：线段的长度为2√2 cm。
2. 题目：一个圆的半径为3cm，在圆的内部画一个正方形，且正方形的四个顶点分别位于圆的四个切点上。
求正方形的面积。
答案：正方形的面积为18 cm²。
3. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为6cm，顶边长度为2cm。
求截面的高度。
答案：截面的高度为3cm。
4. 题目：一个球的体积为36πcm³，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求球的半径。
答案：球的半径为3 cm。
5. 题目：一个正方体的表面积为96 cm²，将其剖开后得到的截面是一个正方形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为4 cm。
6. 题目：一个圆柱的底面积为16πcm²，高度为10 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为8cm，顶边长度为2cm。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
7. 题目：一个圆锥的底面积为9πcm²，高度为12 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为3 cm。
8. 题目：一个正方体的表面积为150 cm²，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为5 cm。
9. 题目：一个圆柱的底面积为25πcm²，高度为8 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
10. 题目：一个圆锥的底面积为16πcm²，高度为6 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为2 cm。
初一数形结合的典型例题
初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。
解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。
正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。
例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。
解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。
长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。
例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。
解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。
圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。
例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。
解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。
这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。
当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。
希望这些例题能对你有所帮助。
数形结合高中数学例题
例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？
分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数
y =2x 2－3x 。
和函数y =2k 的交点个数问题．
解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛
物线，随着k 的变化，易知2k ＝－8
9或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2
5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题3．已知s =
1
322+-t t ，则s 的最小值为 。
分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s |＝1
|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y
－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t
－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.
点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b
++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2
联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．。
四年级数学数形结合经典题
数形结合是一种重要的数学思想，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些适合四年级学生的数形结合经典题目：
1.小明用棋子摆成一个正方形实心方阵，最外边的一层共用96个棋子。
小明摆这个方
阵共用了多少个棋子？
2.小军用棋子摆成了一个空心方阵，最外边的一层共用棋子80个。
最里边的一层共用
棋子48个。
这个空心方阵共有几层？
3.小丽用棋子摆成了一个三角形实心方阵，最外边的一层共用72个棋子。
小丽摆这个
方阵共用了多少个棋子？
4.小华用棋子摆成一个空心三角形，最外边的一层共用96个棋子。
最里边的一层共用
24个棋子。
这个空心三角形共有几层？
5.小明用棋子摆成一个长方形实心方阵，最外边的一层共用88个棋子。
如果最外边一
边有n个棋子，那么这个长方形方阵共有多少个棋子？
这些题目需要学生通过观察图形，理解数形结合的思想，并运用数学公式和推理方法来解决问题。
数形结合练习题及答案小学
数形结合练习题及答案小学数形结合练习题及答案小学在小学数学教学中，数形结合是一种常用的教学方法。
通过将数学知识与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念。
下面将给出一些数形结合的练习题及答案，帮助小学生巩固数学知识。
1. 题目：一个正方形的周长是12cm，求正方形的面积。
解答：设正方形的边长为a，则周长为4a。
根据题意可得4a=12cm，解得a=3cm。
正方形的面积为a²=3²=9cm²。
2. 题目：一个长方形的周长是16cm，宽是3cm，求长方形的面积。
解答：设长方形的长为a，宽为b，则周长为2a+2b。
根据题意可得2a+2b=16cm，且b=3cm。
解方程可得a=5cm。
长方形的面积为a*b=5cm*3cm=15cm²。
3. 题目：一个圆的半径是5cm，求圆的面积和周长。
解答：圆的面积公式为πr²，周长公式为2πr。
根据题意可得半径r=5cm。
圆的面积为π*5²=25π cm²，周长为2π*5=10π cm。
4. 题目：一个三角形的底边长是8cm，高是4cm，求三角形的面积。
解答：三角形的面积公式为底边长乘以高的一半，即面积=底边长*高/2。
根据题意可得面积=8cm*4cm/2=16cm²。
5. 题目：一个梯形的上底长是6cm，下底长是10cm，高是5cm，求梯形的面积。
解答：梯形的面积公式为上底长加下底长乘以高的一半，即面积=(上底长+下底长)*高/2。
根据题意可得面积=(6cm+10cm)*5cm/2=40cm²。
通过以上练习题，可以看出数形结合的重要性。
通过将数学知识与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和应用数学概念。
在解题过程中，学生需要将所给的数值代入相应的公式中，进行计算。
这种练习可以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
除了以上的练习题，还可以通过其他形式的数形结合练习来巩固数学知识。
五年级数形结合法练习题
五年级数形结合法练习题一、填空题1. 在数轴上，点A表示的数是3，点B表示的数是5，那么点A和点B之间的距离是______。
2. 一个正方形的边长是4厘米，那么它的面积是______平方厘米。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，那么它的周长是______厘米。
4. 小华有10个苹果，小丽有8个苹果，小华比小丽多______个苹果。
5. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是30°，那么另一个锐角的度数是______°。
二、选择题A. 边长为3厘米的正方形B. 长为6厘米，宽为2厘米的长方形C. 半径为4厘米的圆A. 边长为5厘米的正方形B. 长为8厘米，宽为4厘米的长方形C. 直径为10厘米的圆A. 3 + 5B. 4 6C. 7 × (2)三、判断题1. 一个等边三角形的周长是15厘米，那么它的边长是5厘米。
（）2. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是5厘米。
（）3. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是50平方厘米。
（）4. 两个负数相乘，结果是正数。
（）四、应用题1. 小明家的花园是一个长方形，长是12米，宽是8米，求花园的面积。
2. 一个圆形游泳池的直径是20米，求游泳池的周长。
3. 小红和小刚同时从学校出发，小红向东走了200米，小刚向西走了300米，求两人之间的距离。
4. 一个正方形的边长增加了2厘米，原来的面积是16平方厘米，求现在的面积。
5. 一个等腰三角形的底边长是10厘米，高是6厘米，求这个三角形的面积。
五、作图题1. 画出边长为4厘米的正方形，并标出它的对角线。
2. 画出长为6厘米，宽为3厘米的长方形，并标出它的对角线。
4. 画出一个直径为8厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形。
5. 画出一个等腰三角形，底边长为8厘米，高为4厘米，并标出高所在的线段。
六、解答题1. 一个梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是5厘米，求梯形的面积。
数形结合例题选集
数形结合一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理：2222c b a b a 0.5ab 4=+=-+⨯）（）（解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。
2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222++=+）（解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。
3、证明基本不等式：解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为2ba +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。
4、证明正（余）弦定理：解析：（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 21h a 21S ABC =⇒⋅=⋅=∆的面积； 即sinCc sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinAa2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，；综上，得正弦定理：2R sinC csinB b sinA a ===。
（2）根据勾股定理22222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即⋅--=⋅--=-；整理可得余弦定理：2acb c a cosB 222-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。
5、证明结论），（，20x sinx x x tan π∈>>解析：如上图所示，根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在），（20x π∈上的图像可看出tanx>x>sinx ，），（20x π∈。
六年级数形结合的典型例题
六年级数形结合的典型例题
数形结合是数学中一个重要的概念，通过将数学问题与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解和应用所学知识。
以下是一些六年级数形结合的典型例题，旨在帮助学生进一步巩固和拓展他们的数学能力。
例题1：一个长方形花坛的长度是12米，宽度是8米。
如果一包草
籽足够播种4平方米的面积，那么这个长方形花坛最多可以播种多少包草籽？
解析：这个题目涉及到长方形的面积和乘法运算。
首先，我们可以计算出这个花坛的面积是12米乘以8米，等于96平方米。
然后，我们将96平方米除以每包草籽能够播种的面积4平方米，得到答案24。
所以，这个长方形花坛最多可以播种24包草籽。
例题2：一个正方形的边长是5厘米，如果将它分成4个小正方形，每个小正方形的边长是多少？
解析：这个题目涉及到正方形的边长和分割。
首先，我们知道正方形的四条边都是相等的，所以这个正方形的边长是5厘米。
然后，我们需要将正方形分成4个小正方形，所以每个小正方形的边长应该相等。
通过观察，我们可以将正方形垂直和水平地分割成4个相等的小正方
形，所以每个小正方形的边长是2.5厘米。
通过上述例题，我们可以看到数形结合在解决数学问题中的重要性。
它不仅让学生能够将抽象的数学概念具体化，还能够培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
在六年级的数学学习中，数形结合的例题可以帮助学生更好地理解和掌握各种数学概念，为他们将来的学习打下坚实的基础。
三年级数形结合的典型例题
三年级数形结合的典型例题
一、例题
1. 用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，按照这样的规律，摆n个正方形需要多少根小棒？
二、题目解析
1. 首先我们来分析小棒数量与正方形个数之间的关系：
摆1个正方形时，需要4根小棒，可表示为公式。
摆2个正方形时，我们可以看作第一个正方形用4根小棒，第二个正方形与第一个正方形共用1根小棒，所以只需要再用3根小棒，总共需要公式根小棒，也可表示为公式。
摆3个正方形时，第一个正方形4根小棒，后面两个正方形每个都与前面的正方形共用1根小棒，也就是每个只需3根小棒，总共公式根小棒，同样可表示为公式。
2. 然后我们可以总结出规律：
摆n个正方形时，除了第一个正方形用4根小棒，后面公式个正方形每个都只需3根小棒。
所以总共需要的小棒数量就是公式，化简这个式子：公式。
所以摆n个正方形需要公式根小棒。
数形结合专题高一版
数形结合专题(高一版)(集合)例1.设全集U ，A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A *B={x|x ∈A ⋃B,且x ∉A ⋂B}，则（A *B ）*A=（ ）A.AB.BC.(A C U )⋂B D.A ⋂(BC U )（解的个数）例2：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2,则方程f(x)=lgx 解的个数是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10（变式1）函数（函数）例3已知函数，若，且，则a+2b 的取值范围是A ．B ．C ．D ．（二次函数）例4、的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++（函数的奇偶性）设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f（变式训练）.已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为( C )Ａ．(1,2) Ｂ．(2,1)--Ｃ．(2,1)(1,2)-- Ｄ．(1,1)-（单调性）例6.函数f(x)=|x+2|+|x-1|的单调递增区间是BA （-2，+∞）B [1，+∞）C （-∞，1]D （-∞，-2]x201y ∙∙（复合函数）.已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ①②④ ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.（参数问题）例7、若关于x 的方程有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围【变式1】若关于x 的方程在（－1，1）内有1个实根，则k 的取值范围是 。
高三数形结合练习题
高三数形结合练习题1.已知直角三角形ABC，角A为90°，AB = 3 cm，BC = 4 cm。
求三角形ABC的面积。
解析：直角三角形ABC的面积可以通过底边AB和高BC求得。
由于角A为90°，AB为底边，BC为高。
所以，三角形ABC的面积为底边乘以高的一半。
面积 = (AB × BC) / 2= (3 cm × 4 cm) / 2= 12 cm² / 2= 6 cm²所以三角形ABC的面积为6平方厘米。
2.已知正方形ABCD，边长为5 cm。
求正方形ABCD内接圆的半径。
解析：正方形ABCD的对角线相互垂直且相等。
同时，内接圆的直径等于正方形的边长。
所以，通过对角线可以求得内接圆的直径，从而计算其半径。
对角线的长度可以通过勾股定理求得。
对角线的长度等于边长的√2倍。
对角线长度= 5 cm × √2≈ 7.07 cm内接圆的直径等于对角线长度，所以内接圆的直径≈ 7.07 cm。
内接圆的半径等于直径的一半，所以内接圆的半径≈ 7.07 cm / 2≈ 3.54 cm所以正方形ABCD内接圆的半径约为3.54厘米。
3.已知等边三角形ABC，边长为6 cm。
求等边三角形ABC的高。
解析：等边三角形的高是指三角形内部某一顶点到对边的垂直距离。
对于等边三角形ABC，我们可以通过勾股定理求得其高的长度。
等边三角形的高可以通过边长乘以根号3的一半来求得。
高 = 边长× √3 / 2= 6 cm × (√3 / 2)≈ 6 cm × 0.866≈ 5.196 cm所以等边三角形ABC的高约为5.196厘米。
4.已知正方形ABCD和矩形EFGH。
正方形ABCD的边长为8 cm，矩形EFGH的长为10 cm，宽为6 cm。
求矩形EFGH的面积与正方形ABCD面积的比值。
解析：正方形ABCD的面积可以通过边长的平方来求得。
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数形结合一、在一些命题证明中的应用举例: 1、证明勾股定理:2222c b a b a 0.5ab 4=+=-+⨯）（）（解析:上图中,四个小三角形(阴影部分)的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积,化简后得到勾股定理222c b a =+。
2、证明乘法公式(平方差与完全平方):））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222++=+）（解析:在上图中,利用正方形与小正方形面积的转化,能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。
3、证明基本不等式:解析:如上图所示,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,长度为2ba +,根据直角三角形的相似关系,可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab ,显然在直角三角形中,斜边上的中线的长度会大于等于高,利用这样简洁明了的几何图解,对基本不等式的理解也就更加简单了。
4、证明正(余)弦定理:解析:(1)如上图所示,csinB bsinC bsinC a 21h a 21S ABC =⇒⋅=⋅=∆的面积; 即sinCc sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得; 根据圆的性质(等弧对等角)2R sinAa2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，;综上,得正弦定理:2R sinC csinB b sinA a ===。
(2)根据勾股定理22222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即⋅--=⋅--=-;整理可得余弦定理:2acb c a cosB 222-+=;同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。
5、证明结论），（，20x sinx x x tan π∈>>解析:如上图所示,根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在），（20x π∈上的图像可瞧出tanx>x>sinx,），（20x π∈。
当然,实际考试作图不可能如此精确,那么转化到右图的单位圆中,当），（20x π∈时,角的终边始终在第一象限内,根据三角函数线可知,蓝线表示正弦线,红线表示正切线,再根据弧长公式x 1x R =⋅==θl ,即图中黑色弧线的长度表示x,显而易见。
红线长度>弧线长度>蓝线长度,即tanx>x>sinx,），（20x π∈。
6、证明两角差的余弦公式:解析:如上图所示,根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。
左图中,222sin sin cos cos AB ）（）（βαβα-+-=,将B 点旋转至(1,0)处(右图所示)。
此时,222][sin ]1[cos AB ）（）（βαβα-+--=,因为线段AB 的长度没有发生变化,即22sin sin cos cos ）（）（βαβα-+-22][sin ]1[cos ）（）（βαβα-+--=,化简:βαβαβαsin sin cos cos cos +=-）（。
当然也可以用向量的方法证明,利用向量数量积定义,证明更加简洁。
如左图,11sin cos sin cos OBOA cos ⋅⋅=⋅=-），（），（）（ββααβα βαβαsin sin cos cos +=。
二、在考试中的具体应用:1、与函数的综合运用,主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面: 例1 (14奉贤)已知定义在R 上的函数y=f(x)对任意x 都满足f(x+2)=-f(x),当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点,则a 的取值范围就是答案:），（），（533151⋃ 解析:根据已知条件,f(x)的周期为4,先画f(x)一个周期图像,当1≤x<3时,222x -x f x -f 2x 2x f ）（）（），（）（）（-==-=-,由此画出[-1,3)的图像,此为一个周期,图像如下,x log x f x g a -=）（）（只有四个零点即f(x)与y=x log a 只有四个交点,需分类讨论:(1)当0<a<1时,有两个界值,如下图所示:此时5个交点,代入点(-5,-1),解得a=51此时3个交点,代入点(3,-1),解得a=31(2)当a>1时,也有两个界值,如下图所示:此时3个交点,代入(-3,1),解得a=3。
评注:数形结合体型,一定要结合图像分析,并且一些用于定位的特殊点要善于把握;另一方面,必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。
例2 (14闵行)⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<=4x 3708x x 324x 0x log x f 22，，）（,若a 、b 、c 、d 互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围就是答案:(32,35)解析:根据题意,如下图所示,ab=1,abcd=cd=2c 12c 12c -=-）（,4<c<5,所以答案就是(32,35)。
评注:这类题出现很多,典型的数形结合题型,要让学生熟悉各类函数图像及相关性质,尤其就是对称性与周期性;在草稿纸上作图时,虽说就是草图,但有必要做出一些特殊点进行定位;写区间时,务必考虑区间的开闭情况。
变式 已知函数f(x)=||x-1|-1|,若关于x 的方程f(x)=t(t ∈R)恰有四个互不相等的实数根432143214321x x x x x x x x x x x x ⋅++<<<），则（、、、的取值范围就是 答案:(3,4)解析:根据题意,如下图所示,）（，3343432121x 4x x x x x x x 0x x -⋅=⋅=⋅++=+=），（，21x x 4x 3233∈-。
例3 (14杨浦)定义一种新运算:⎩⎨⎧<≥=⊗b a a ba b b a ，，。
已知函数f(x)=(1+x log x42⊗）,若函数g(x)=f(x)-k 恰有两个零点,则k 的取值范围就是( ) A 、(1,2];B 、(1,2);C 、(0,2);D 、(0,1) 答案:B解析:⎪⎩⎪⎨⎧≤<>+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≥+=⊗+=4x 0x log 4x x 41x41x log x log x 41x log x 41x log x 41x f 22222，，，，）（）（,如下图所示:令g(x)=f(x)-k=0,问题转化为函数y=f(x)与函数y=k 有两个交点,则k ∈(1,2)。
评注:本题考查分段函数表达式求法,函数零点问题转化成两函数交点问题,数形结合很容易求解,可以作适当的延伸,比如,有一个零点,求k 的取值范围等。
例4 (14宝山)关于函数f(x)=1x x -,给出下列四个命题:①当x>0时,y=f(x)单调递减且无最值; ②方程f(x)=kx+b(k ≠0)一定有解;③如果方程f(x)=k 有解,则解的个数一定就是偶数; ④y=f(x)就是偶函数且有最小值。
则其中真命题就是 答案:②、④ 解析:含绝对值、分类讨论。
先画x>1与0<x<1的部分,然后根据偶函数的性质(关于y 轴对称)画出左半部分,函数图像如下图所示:①明显错误;③k=0时,解的个数为1;②、④正确。
评注:含绝对值的数形结合题型,根据绝对值内的情况,进行分类讨论,画出函数图像,再结合函数性质,一般就是对称性或奇偶性,然后根据函数图像对各项进行分析筛选。
例5 (14奉贤)定义在），（∞+0上的函数f(x)满足: ①当），3[1x ∈时,⎩⎨⎧<<-≤≤-=3x 2x 32x 11x x f ，，）（; ②f(3x)=3f(x)。
设关于x 的函数F(x)=f(x)-1的零点从小到大依次记为54321x x x x x 、、、、、 ……,则=++++54321x x x x x 答案:50解析:结合已知条件,分析函数性质,画出函数图像,如下图所示,4321x x x x +++=+5x 2+4+8+10+26=50评注:数学结合最直观,或根据函数的对称性,找到对称关系,图像就画出来了,答案也就呼之欲出,这就就是数形结合在直观呈现方面的快捷。
2、与三角函数的综合运用:例 1 (14十三校联考)已知f(x)=asin2x+bcos2x(a 、b 为常数),若对于任意内的解为，在区间）（），则方程（）（都有][00x f 125f x f R x ππ=≥∈答案:x=32x 6ππ=或 解析:根据“若对于任意）（）（都有125f x f R x π≥∈”可知,当x=125π时,函数图像取最低点,再结合函数解析式可知函数周期为π,因为函数的最值横坐标与相邻零点之间相差41个周期,即4π,所以在区间[0,π]内的解(即在区间[0,π]内的零点)为x=32x 6x 4125ππππ==±或，即。
评注:本题瞧似复杂,因为有字母a 、b,但只要理解了“三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差41个周期”这样的图像性质,结合图像原理,就迎刃而解了。
例2 (14闸北)设a>0且a ≠1,已知函数f(x)=）（0x 2x sin22a x >-+π至少有5个零点,则a 的取值范围为 答案:(0,1)⋃(1,2)解析:就就是求函数），（在与函数∞+∈-==0x a 2y x sin22y x π上的交点个数,分两种情况:(1)当0<a<1时,在），（∞+∈0x 两个函数图像有无数个交点,如下图所示:所以0<a<1时,满足至少有5个交点(2)当a>1时,如下图所示,在），（∞+∈0x 要至少5个交点,x a 2y -=函数在x=1处要大于0即2-a>0,a<2,满足至少有5个交点。
评注:这就是一道典型的数形结合的题型,将零点问题转化成函数交点个数问题,注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。
例3 (14虹口)函数f(x)=2sin x π与函数31x x g -=）（的图像所有交点的横坐标之与为答案:17解析:画出函数f(x)=2sin x π与函数31x x g -=）（的图像,如下图所示:这俩图像都就是关于点(1,0)对称,所以它们的交点也就是关于点(1,0)对称,即一对对称交点的横坐标之与为2,总共有8对关于点(1,0)对称的点,再加上(1,0)点本身,即所有交点的横坐标之与为17。
评注:本题首先要熟悉函数的图像变换,精确画出函数图像,然后再研究交点的特性,在这道题中,交点关于点(1,0)对称的,在这个前提下,求横坐标之与就转化成简单的中点问题。
例4 已知函数y=f(x),任取t ∈R,定义集合:））（，（），点（t f t P x f y |{y A t ==,2PQ x f x Q ≤），（，（},设中元素的最大和最小值分别表示集合和t t t A m M ,记，则：）（t t m M t h -=(1)若函数f(x)=x,则h(1)= (2)若函数f(x)=sinx 2π,则h(t)的最大值为 答案:(1)2;(2)2解析:定义的意思就是函数y=f(x)在以定点P(点P 在函数图像上)为圆心半径为2的圆内的部分,这部分函数图像的值域即t A(1)定点P(1,1),如下图所示,蓝色实线段部分为符合定义的图像部分,这部分图像最大值为2,最小值为0,所以h(1)=2(2)对于f(x)=sinx 2π,函数最大值与最小值之差2,如下图所示,通过理解观察,可得出t A 能够同时包含最大值与最小值,所以h(t)的最大值为2,此时t=2k,k Z ∈。