影院座位设计

影院座位设计
摘要
本文研究了电影院座位设计问题，由于座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，我们建立了满意程度的数学模型，并进行最优求解。

问题一，首先利用了加权平均数建立满意度随座位与屏幕距离的变化而变化的模型，并利用matlab软件对该函数进行分析，结果当座位在最后一排时，观众的满意度最大。

问题二，在问题一的模型的基础上，将θ角也定为变量，建立满意程度随座位与屏幕距离和θ角的变化而变化的模型，再对变量x求相应区间的定积分，从而可以得到平均满意度随θ角变化的模型，再用matlab软件分析模型，求得当θ=20︒时，平均满意度最大。

关键词：加权平均数满意度函数定积分
一、问题重述
影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。

视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大是人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒.
记影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D，观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。

已知参数h=1.8m，H=5m，D=19m，c=1.1m。

1)地板线倾角θ=10︒，问最佳作为在什么地方？
2)求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众平均满意
度最大。

二、问题的分析
根据观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，β越小越好，最佳位置β就是在这两者之间找一个平衡点，使观众的综合满意度最大。

既然β>30︒不可避免，那么在建立模型时，必须将α与β同时考虑。

于是本文通过对α与β分别设立权重，建立适当的坐标系，从而形成一个线性的满意度函数。

对于问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化为求综合满意度函数的最大值，用matlab软件做出综合满意度图像，在进行求解。

对于第二问，将所有的座位想像为一个个连续的点，此时，综合满意度为关于x与θ的二元函数，先对x求所在区间的积分，从而求
出其在所有位置上的平均满意度，再利用matlab做出平均满意度关于θ的函数的图形，从而可进行直观求解。

三、模型假设
1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；
2.观众对座位的仰角的正切值的满意程度呈线性；
3.观众对座位的水平视角的正切值呈线性；
4.所有的观众的座位等高，且为平均坐高。

四、符号说明
α视角
β仰角
θ地板线与水平线的倾角
D 最后一排离屏幕的水平距离
d 第一排离屏幕的水平距离
h 屏幕的高度
H 屏幕上边缘离地面的高度
Pα主观给定α的权重
Pβ主观给定β的权重
五、模型的建立
1、问题一
以第一排观众的眼睛为原点，建立直角坐标系如图1所示：
图1
其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。

则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为（x,xtan ），屏幕上下点的坐标分别为A（-d,H-c），B(-d,H-h-c)，PA的斜率记为k PA，PB的斜率记为k PB。

则直线PA与PB的斜率分别为
k PA=xtanθ−H+c
x+d
k PB=xtanθ−H+ℎ+c
x+d
则
tanα=k PB−k PA 1+k PA k PB
=
ℎ(x+d)
(x+d)2+(xtanθ−H+c)(xtanθ−H+ℎ+c) tanβ=−k PA=
H−c−xtanθ
x+d
而
A
tan(30°−β)=tan30°−tanβ1+tan30°tanβ
由我们假设的模型可知，满意度S的表达式为：
S=Pαtanα+Pβtan(30°−β)
这里主观设定Pα=Pβ=0.5，再对S关于x的函数分析可得到其在其定义域上的最大值，即所求。

2、问题二
如上文建立坐标系，将θ角设为变量，可得此时满意度
S1=Pαtanα+Pβtan(30°−β)
再对S1求其x∈[0,D-d]上的定积分得到总的观众满意度，再除以D-d 得到平均满意度S2，即：
S2=∫S1dx D−d
D−d
则得到的S2是关于θ的函数，再对该函数进行分析，得到最大值及满足条件的θ。

六、模型求解
1、问题一
运用matlab软件对上面的S函数作图（见附录二），如图2所示：
图2
由上图知，当x=D-d=14.5时，观众的满意度最大，即对于我们所建立的模型，最后一排的满意度最大。

2、问题二
运用matlab软件求出上述S2函数，在对S2作图（见附录三），如图3所示：
图3
由图可知，观众的平均满意度S2随θ增大而增大，故当θ=20︒时，观众的平均满意度最大。

七、附录
附录一参考资料
1、郑阿奇曹弋《MATLAB实用教程》（第三版）
2、王正林刘明《精通MATLAB》（升级版）
3、吴礼斌闫云侠《经济数学与建模》
附录二问题一的matlab语言
x=0:0.05:14.5;
y1=(1.8*(x+4.5))./((x+4.5).^2-(x*tan(pi/18)-5+1.1).*(x*tan(pi/18)-5+1 .8+1.1));
y2=(5-1.1-x*tan(pi/18))./(x+4.5);
y3=(tan(pi/6)-(5-1.1-x*tan(pi/18))./(x+4.5))./(1+tan(pi/6)*(5-1.1-x*t an(pi/18))./(x+4.5));
y=0.5*y1+0.5*y3;
plot(x,y)
附录三问题二的matlab语言
x=linspace(0,14.5,300);
t=linspace(0,pi/9,300);
y1=(1.8*(x+4.5))./((x+4.5).^2-(x.*tan(t)-5+1.1).*(x.*tan(t)-5+1.8+1.1 ));
y2=(5-1.1-x.*tan(t))./(x+4.5);
y3=(tan(pi/6)-y2)./(1-tan(pi/6)*y2);
y=0.5*y1+0.5*y3;
Y=sym(y);
ya=int(Y,'x');
ya=int(Y,'x','0','14.5');
ya=double(ya);
yb=ya./14.5;
plot(t,yb)。